例談分類討論思想在初中數學解題中的應用

廣東佛山南海大瀝鎮海北中學(528231) 郭秀群

例談分類討論思想在初中數學解題中的應用

廣東佛山南海大瀝鎮海北中學(528231) 郭秀群

一、問題的提出

《義務教育數學課程標準》總目標之一指出:“通過義務教育階段的數學學習,學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”.發展學生數學素養,只有知識技能是不夠的,基本思想和基本活動經驗正是學生數學素養的重要組成部分.分類討論思想是中學數學重要的思想方法,在初中階段數學教學中主要是以滲透的方式進行.分類討論問題是創新性問題之一,此類題綜合性強,難度較大,在歷年中考試題中多以壓軸題出現,對考生的能力要求較高,具有很強的選拔性.為了使學生能突破教學中的難點,有必要對分類討論思想在初中教材中的分類原則和技巧進行探究,形成一定的分類體系,有利于提高學生對學習數學的興趣,培養學生思維的條理性、縝密性、科學性,這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響.

二、目前教師及學生的現狀

1.教師平時的教與學中,對“分類討論”的數學思想滲透不夠重視

在數學教學中,碰到分類討論思想一帶而過,不重視從小滲透分類思想的教學,基本上是在一些特定的情境或者以例題、習題為載體,通過解決問題或者解答題目時蜻蜓點水地講解.

2.初中學生對“分類討論”的數學思想中分類的標準和方法不明白

分類討論思想是貫穿于整個中小學數學教材的一條暗線,初中數學中的許多題目需要運用分類討論思想來解決.我們發現學生在解決此類問題時遇到的主要困難是:①不知道需要通過分類討論來解決;②知道要通過分類討論來解決,但分類方法不科學、考慮不周全,導致解答不全面.

三、分類討論的原則

分類是按照數學對象的相同點和差異點,將數學對象區分為不同種類的思想方法,掌握分類的方法,領會其實質,對于加深基礎知識的理解.提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的.正確的分類必須是周全的,既不重復、也不遺漏.分類的原則:(1)分類中的每一部分是相互獨立的;(2)一次分類按一個標準;(3)分類討論應逐級有序進行.(4)以性質、公式、定理的使用條件為標準分類.分類討論問題是創新性問題之一,此類題綜合性強,難題較大,在歷年中考試題中多以壓軸題出現,對考生的能力要求較高,具有很強的選拔性.

四、分類討論思想在初中常規題的分類原則

1.與概念有關的分類.

初中課本中很多概念本身是分類概括的,教師在教學過程中要有意識地讓學生在學習中逐漸體會分類討論的思想.在平時各階段概念教學中,將分類討論思想融入自己的教學中,在教學中不要一帶而過.實質上每個學生在日常生活中都具有一定的分類知識,如人群的分類、文具的分類等,我們利用學生的這一認識基礎,把生活中的分類遷移到數學中來,在教學中進行數學分類思想的滲透,挖掘教材提供的機會,把握滲透的契機.在教材中有關分類討論的數學思想在課程內容的呈現層次很清晰,有利于學生體驗、思考與探索.如無理數的分類、絕對值的意義等,都是滲透分類思想的很好機會.

2.與待定參數有關的方程的分類

例1.關于x的方程(m?4)x2?(2m?1)x+m=0,當m為何值時,方程有實根?

分析:方程有實根,即方程有兩個實根或一個實根,相應的方程為一元二次方程或一元常見病癥:(很多同學會從(2)直接開始而且會忽略m?4=0的條件)

3.與性質、公式有關的分類

初中課本中很多性質定理是分類定義、分類概括的,教師在教學過程中要有意識地讓學生在學習中逐漸地體會分類討論的思想.如:函數的增減性、含絕對值的一元一次方程解法、九年級課本中點與圓位置關系、直線與圓的位置關系以及圓與圓的位置關系等等.

4.與幾何圖形相有關的分類

4.1 與等腰三角形有關的問題

分析:要求等腰三角形的內角時,要分兩種情況討論,題目的條件可能與等腰三角形的底角或頂角有關.求出角度后要檢驗三角形的內角和一定要等于180°,否則答案不成立.

例2.一個等腰三角形的一個外角等于110°,則這個三角形的三個角應該為____.

解:當這個外角是等腰三角形的頂角的外角時,三角形的三個角應該為55°,55°,70°.當這個外角是等腰三角形的底角的外角時,三角形的三個角應該為40°,70°,70°.

4.2 等邊三角形頂點與正方形位置的問題

例3.已知正方形ABCD,以CD為邊作等邊△CDE,則∠AED的度數是___.

分析:已知正方形ABCD,以CD為邊作等邊△CDE,要對點E的位置作分兩種情況考慮.

4.3 與圓有關的分類

4.3.1 圓心距與半徑的問題

例4.若兩圓相切,圓心距是7,其中一圓的半徑為4,則另一圓的半徑為____.

分析:兩圓相切,包括內切和外切兩種情況.

解:若兩圓相切,圓心距是7,其中一圓的半徑為4,則另一圓的半徑為3或11.

4.3.2 平行弦與圓心的位置的問題

例5.在半徑為5cm的⊙O中,弦AB=6cm,弦CD=8cm,且AB//CD,求AB與CD之間的距離.

分析:兩平行弦與圓心的位置關系一般有兩種:兩弦在圓心的同側;兩弦在圓心的異側.

4.3.3 弦所對的圓周角的問題

例6.半徑為1的圓中有一條弦,如果它的長為那么這條弦所對的圓周角的度數等于____.

分析:弦所對的圓周角有兩種情況:圓周角的頂點可以在優弧上或劣弧上.此時這兩個圓周角的度數之和等于180.

4.3.4 點與弦的相對位置的問題

例7.⊙O是△ABC的外接圓,OD⊥BC于D,且∠BOD=48°,則∠BAC=___.

分析:點與弦的位置關系一般有兩種:點A和圓心O在弦BC同側;點A和圓心O在弦BC異側.

4.3.5 圓心與圓周角的位置的問題

例8.在半徑為1的⊙O中,弦AB、AC的長分別為和則∠BAC的度數___.

分析:圓心與圓周角的位置關系一般有兩種:圓心在圓周角的內部;圓心在圓周角的外部.

5.與動點問題有關的分類

5.1 等腰三角形中的動點問題

例9.如圖,點A的坐標是(2,2),若點P在x軸上,且△APO是等腰三角形,則點P的坐標是____.

圖3

分析:已知等腰三角形的一邊求等腰三角形時,要分兩種種情況:已知邊是所示等腰三角形的腰;已知邊是所示等腰三角形的底..

5.2 相似三角形中的動點問題

圖3

例10.在矩形ABCD中, AB=12cm,BC=6cm,點P沿AB邊從點A出發向B以2cm秒的速度移動;點Q沿DA邊從點D開始向A以1cm/秒的速度移動.如果P、Q同時出發,用t秒表示移動的時間(0＜x＜6)那么當t為何值時,以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似?

分析:當△ABC與以Q、A、P為頂點的三角形相似時,QA可以與AB是對應邊,也可以與BC是對應邊,所以本題分兩種情況:

5.3 函數中的動點問題

例題11.(2011湘潭)如圖,直線y=3x+3交x軸于A點,交y軸于B點,過A,B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使三角形ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點坐標;若不存在,請說明理由.

分析:已知等腰三角形的一邊求等腰三角形時,要分兩種種情況:已知邊是所示等腰三角形的腰;已知邊是所示等腰三角形的底.從以上的例題中不難看出,分類討論思想在初中數學練習的運用中占有很重要的地位.這就要求我們在學習數學的同時要不斷積累數學知識,形成知識網絡,領悟其中蘊含在數學教學內容中的數學思想方法,以提高學生自身的數學解題能力.所以在教學中要對分類討論思想,有意識地加以滲透;對于蘊含在數學知識中的思想適時予以揭示,反復強化以優化學生的思維品質.分類討論思想能夠提高學生的數學解題能力,促使學生全面而周密地分析和思考問題,促進并提升思維的邏輯性和嚴謹性,有效克服思維的片面性,科學性.這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響.

圖3

*注:本文是董磊老師主持的廣東省教育科學“十二五”規劃2011年度立項課題“如何在初中數學教學中滲透數學思想方法的實踐研究”(課題批準號:2011TJK014)的研究成果之一.