折疊問題中折痕平移的探索

浙江省金華市第九中學(xué)(321000) 金建偉

新疆溫宿縣第五中學(xué)(843000)馮婷婷

折疊問題中折痕平移的探索

浙江省金華市第九中學(xué)(321000) 金建偉

新疆溫宿縣第五中學(xué)(843000)馮婷婷

折疊、軸對(duì)稱問題的解決,離不開對(duì)折痕、對(duì)稱軸的研究,結(jié)合折疊前后圖形之間的全等,對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分等知識(shí)來解決問題.如果折痕(對(duì)稱軸)是固定不動(dòng)的題型,考生相對(duì)容易解決.如果折痕(對(duì)稱軸)是平移運(yùn)動(dòng),折疊后的圖形會(huì)隨著折痕(對(duì)稱軸)的變化而發(fā)生運(yùn)動(dòng)改變,要解決這類題,學(xué)生難在找出變換后的圖形的位置特征,不知從何下手解題,無法解出題目.下面對(duì)涉及紙片折疊中有折痕(對(duì)稱軸)平移進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)其規(guī)律,從而找出變換后圖形的位置特征,讓學(xué)生容易入手.

首先我們來研究當(dāng)直線l(對(duì)稱軸)沿水平向右(固定方向)平移時(shí),固定點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′有什么特征呢?

圖1

如圖1,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知:AA′⊥l,AB=A′B必成立,由于點(diǎn)A固定,隨著對(duì)稱軸l水平向右(固定方向)平移,對(duì)稱點(diǎn)A′始終在與對(duì)稱軸l垂直的射線AA′上運(yùn)動(dòng)(AA′⊥l),速度是對(duì)稱軸l平移速度的2倍.即當(dāng)對(duì)稱軸沿某一固定方向平移時(shí),對(duì)稱點(diǎn)在過固定點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的射線上運(yùn)動(dòng).

如果能發(fā)現(xiàn)折痕(對(duì)稱軸)平移這一特征,在解題時(shí)過固定點(diǎn)畫與對(duì)稱軸垂直的射線,再來研究題目,可以達(dá)到降低難度目的.

圖2

例1.(寧波中考數(shù)學(xué)第24題)如圖2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過點(diǎn)B作射線BB1//AC.動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)D作DH⊥AB于H,過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F,G是EF中點(diǎn),連結(jié)DG.設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t為何值時(shí),AD=AB,并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度;

(2)當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí),求t的值;

②當(dāng)線段A′C′與射線BB1有公共點(diǎn)時(shí),求t的取值范圍(寫出答案即可).

分析:第(3)小題的②問中當(dāng)線段A′C′與射線BB1有公共點(diǎn)時(shí),求t的取值范圍.學(xué)生初看這題,很難想象對(duì)稱線段A′C′隨著對(duì)稱軸DH的運(yùn)動(dòng)后的位置,學(xué)生較難入手.通過分析題目中有下劃線的已知條件,如果能發(fā)現(xiàn)對(duì)稱軸DH⊥AB,沿著射線AB的固定方向運(yùn)動(dòng),固定點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′滿足AA′⊥DH,在射線AB上運(yùn)動(dòng);固定點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C′滿足CC′⊥DH的射線上運(yùn)動(dòng)(如圖3),把這兩條射線畫出來,找出射線AA′、CC′與射線BB1的兩個(gè)交點(diǎn)位置(如圖4、5),就是線段A′C′與射線BB1有公共點(diǎn)的邊界值了.這樣學(xué)生就比較容易求出t取值范圍了.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

(1)當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是___;

(2)設(shè)P(t,0),當(dāng)O′B′與雙曲線有交點(diǎn)時(shí),t的取值范圍是___.

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

分析:第(2)小題,從考生反饋信息了解到:有的考生讀完本題后,無從下手,直接放棄解本題;有的考生花了十幾分鐘只能算出部分答案,造成后面解題時(shí)間不夠;做出該小題的幾乎沒有.如果考生能分析題目中有下劃線的已知條件,發(fā)現(xiàn)對(duì)稱軸l⊥OA,沿著直線OA的固定方向運(yùn)動(dòng),固定點(diǎn)O、B經(jīng)對(duì)稱軸l軸對(duì)稱后的像是O′、B′,分別在OO′⊥l、BB′⊥l的直線上運(yùn)動(dòng)(如圖9、10).找出與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn),就是取值范圍的四個(gè)分界位置(如圖11、12、13、14).接下來,轉(zhuǎn)化成求直線OO′、BB′的解析式與反比例函數(shù)的解析式交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合△POO′、△PBB′都是等邊三角形,比較容易求出t取值范圍了.

折疊問題中“折”是過程,“疊”是結(jié)果,其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱變換,平面圖形的折疊問題能夠考查學(xué)生空間想象能力與動(dòng)手操作能力及推理能力.這也是新課標(biāo)對(duì)我們提出更高的要求.如果能發(fā)現(xiàn)折痕(對(duì)稱軸)平移時(shí)對(duì)稱點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng)的特征,在解決這類問題時(shí),可以達(dá)到降低難度,學(xué)生易解目的.

所以教師在課堂教學(xué)過程中要多挖掘一些行之有效的例題和習(xí)題,發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)、規(guī)律,打開學(xué)生的思路,使學(xué)生的解題思路更為清晰,思維的應(yīng)變能力得到充分的鍛煉和培養(yǎng).

[1]吳巖,破解2012年中考折疊問題的思路[J],中學(xué)教學(xué)參考,2013, (14):9-10.

[2]劉強(qiáng),中考試題中的折疊問題[J],中小學(xué)數(shù)學(xué)(初中版),2014(6): 28-29,31.