廣義Toda晶格方程的對(duì)稱和精確解

李 紅，王 鑫，李吉娜

（中原工學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 450007）

廣義Toda晶格方程的對(duì)稱和精確解

李 紅，王 鑫，李吉娜

（中原工學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 450007）

本文主要研究了Blaszak-Marciniak結(jié)構(gòu)方程廣義Toda晶格方程的Lie對(duì)稱和約化問題，并給出有理形式和指數(shù)形式的顯式解.同時(shí)，給出序列的廣義對(duì)稱，進(jìn)一步地證實(shí)其可積性.

廣義Toda晶格；Lie對(duì)稱；新顯式解

1 引言

近些年，非線性離散孤子方程的研究引起研究者的廣泛關(guān)注[1-4].連續(xù)孤子方程，可積非線性偏微分-差分方程等豐富了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，例如，Lax對(duì)，無窮守恒定律，哈密頓結(jié)構(gòu)，經(jīng)典對(duì)稱，廣義或高階Lie-B?cklund對(duì)稱[5-9]等等.其中，Lie對(duì)稱[10]是尋求非線性偏微分-差分方程精確解的非常有效的方法之一，同時(shí)也可以預(yù)測(cè)可積性.

文獻(xiàn)[11]在代數(shù)移位算子中采用r-矩陣形式，Blaszak和 Marciniak提出一個(gè) m階離散等譜問題：LmΨn=λΨn，Lm=Eα+m+uα+m-1Eα+m-1+…+uαEα,其中-m≤α≤-1，E是由Eun= un+1定義的移位算子.當(dāng)m=3時(shí)，有如下形式的廣義Toda晶格方程

令wn=0，上述方程可退化為著名的Toda晶格方程.大量豐富的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)均與這個(gè)方程有關(guān)，例如哈密頓結(jié)構(gòu)，Miura-like規(guī)范變換，可積辛映射，無窮守恒定律，Darboux變換等等.

本文的目的是求方程（1）的Lie點(diǎn)對(duì)稱，然后方程可以簡(jiǎn)化為一個(gè)普通的微分-差分方程，找到有理形式和孤子形式的顯式解.最后，給出序列的廣義對(duì)稱，更進(jìn)一步證實(shí)其可積性.

2 Lie對(duì)稱和冪零Lie代數(shù)

首先，我們介紹含有一個(gè)參數(shù)的連續(xù)點(diǎn)變換

這里，無窮小生成元是

現(xiàn)在假設(shè)Blaszak-Marciniak晶格方程在這個(gè)變換下是不變的，也就是說

將方程（1）代入上式，得到

其中α，β，γ是任意參數(shù)，因此無窮小生成元是

生成元G1,G2,G3是

其交換算子如下：

這表明Lie代數(shù)是冪零的.

3 約化和顯式解

接下來，根據(jù)特征方程的對(duì)稱，我們得到相似變量和相似變換

通過兩種情況可以得到對(duì)稱約化方程.

1）當(dāng)β≠0，令

方程（1）可以約化為

2）當(dāng)β=0，γ≠0，令

方程（1）可以約化為

接下來得到β=0情況下的兩個(gè)特解.

（i）有理解

其中a=α/γ，c1,c2,η0是任意參數(shù).

（ii）孤子解

這里p,c0,c1,c2是任意參數(shù)，那么我們有

4 廣義對(duì)稱

在這一部分，我們通過Hereman等人提出的算法研究方程（1）的廣義對(duì)稱.首先，從生成元G2我們得到一個(gè)伸縮對(duì)稱

un,vn和wn分別對(duì)應(yīng)于關(guān)于t的二階，一階和三階導(dǎo)數(shù).也就是說，

接下來我們推導(dǎo)方程（1）秩為（3,2,4）的廣義對(duì)稱.秩為2,3和4的un,vn和wn的所有單項(xiàng)式構(gòu)成形式如下

通過方程（1），可得

關(guān)于t的求導(dǎo)的單項(xiàng)式為

同樣地，可得到

聯(lián)合R3,R2和R4，可以得到如下廣義對(duì)稱

其中Dt是全導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3是方程（1）的右端項(xiàng).接著就可以確定系數(shù)，且對(duì)稱可以表示為

同樣地，可以得到秩為（4,3,5）和秩為（5,4,6）的廣義對(duì)稱

同樣地，上述方法可以直接推廣到高階廣義對(duì)稱，這里不在贅述.

5 結(jié)論

在本文中，我們通過經(jīng)典的Lie對(duì)稱方法得到廣義Toda晶格方程的Lie對(duì)稱和約化，并給出有理形式和孤立形式的特解.如同其他BM分層晶格方程，我們得到方程（1）也有廣義的對(duì)稱序列，并進(jìn)一步證實(shí)其可積性.此外，一旦得到方程的廣義對(duì)稱，利用Sahadevan和他的同事的研究，就可以進(jìn)一步得到主要對(duì)稱性和遺傳算子，下一步我們將深入研究這類問題.

〔1〕Balakrishnan S.Similarity reduction,generalized symmetries,recursion operator,and integrability of coupled Volterra system[J].J.Math.Phys.,2008,49(11):737-754.

〔2〕Sahadevan R. Nonlinear differential-difference and difference equations:integrability and exact solvability[J]. Comput.Math.Appl.,2001,42(3-5):627-637.

〔3〕Blaszak M.Soliton point particles of extended evolution equations[J].J.Phys.A:Math.Gen.,1987,20(18): L1253-L1255.

〔4〕Wang X,Li Y Q,Huang F,Chen Y,Rogue wave solutions of AB system [J],Commun.Nonlinear Sci. Numer.Simulat.2015,20:434-442.

〔5〕Luo L,Fan E G.A Hierarchy of Differential-Difference Equations and Their Integrable Couplings[J],Chinese Physics Letters,2007,24(6):1444-1447.

〔6〕Zhang D J,Chen D Y.The conservation law of some discrete soliton systems[J].Chaos Solitons Fract.,2002, 14:573-579.

〔7〕WangX ,ChenY,DongZ Z,Symmetriesand conservation laws of one Blaszak-Marciniak four-field lattice equation[J],Chin.Phys.B,2014,23：010201.

〔8〕Xin X P,Chen J C,Chen Y,Nonlocal symmetries and explicit solutions of the Boussinesq equation[J], Chin.Ann.Math.B.,2014,35B:841-856.

〔9〕Qu C Z,Group classification and generalized conditional symmetry reduction of the nonlinear diffusion-convection equation with a nonlinear source[J], Studies in Applied Mathematics,1997,99(2):107-136.

〔10〕Olver P J,Applications of Lie groups to differential equations[M],Springer-Verlag,2000.

〔11〕Blaszak M,Marciniak K.R-matrix approach to lattice integrable systems[J].Journal of Math.Phys.,1994,35 (9):4661-4682.

O175.2

A

1673-260X（2017）03-0003-03

2016-12-21

河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15B110012，17A110036);河南省科技廳項(xiàng)目（152300410227）