行列式及其性質的幾何解釋

楊先山

（長江大學 信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023）

行列式及其性質的幾何解釋

楊先山

（長江大學 信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023）

對行列式及其性質的幾何意義進行研究，得到二階行列式是平行四邊形帶符號的面積，三階行列式是平行六面體帶符號的體積，將其推廣，引入超平行多面體和多個向量的向量積的概念，得到高階行列式的幾何意義是超平行多面體帶符號的廣義體積.最后，以二階行列式為例，對行列式的性質進行了幾何直觀上的解釋.

行列式；超平行多面體；向量積；面積；體積

行列式是理工科數(shù)學中的一個重要的工具性知識，不僅在代數(shù)中起著不可或缺的作用，而且在計算機科學，工程技術，經濟管理等領域有著廣泛的適用性.在線性代數(shù)教材[1,2]中對行列式的介紹大多都是“由定義到定理”式的層層推進，雖然嚴密，體現(xiàn)了數(shù)學邏輯性強和抽象性的特點，但復雜、晦澀的表達式也使得初學者對線性代數(shù)望而生畏.下面，筆者將對行列式的定義及常見性質給出幾何直觀的解釋.

1 行列式的幾何意義

證明 如圖1所示，以行向量α1=(a11,a12)與α2=(a21,a22)為鄰邊構成的平行四邊形OACB,記α1=a11i+a12j，α2=a21i+a22j，則α1×α2=(a11a22-a12a21)k，因此平行四邊形OACB的面積

圖1 二階行列式的幾何示意

圖2 三階行列式的幾何示意

證明 如圖2所示，以行向量 α1=(a11,a12,a13)，α2=(a21,a22, a23)，α3=(a31,a32,a33)為相鄰的棱構成的平行六面體的體積

另一方面，α1·(α2×α3)=|α1||α2×α3|cosγ，γ為 α2×α3與α1的夾角，當α1，α2，α3構成右手系時γ為銳角，行列式符號為正，反之為負.

將二、三階行列式的幾何意義向n(n＞3)階行列式類推，三維空間中的平行六面體和兩個向量的向量積的概念推廣到Rn中，引入如下定義：

定義1[3]Rn中m個行向量α1,α2,…,αm構成的形式為

的所有向量的集合稱為由向量α1,α2,…,αm張成的超平行多面體，記作Hm.稱α1,α2,…,αm為Hm的棱.由向量α1,α2,…,αm張成的超平行多面體Hm-1稱為Hm對應于α1的底.記矩陣稱為超平行多面體Hm的廣義體積（面積）.

顯然，如此定義的體積（面積）V(Hm)是二維、三維歐氏空間中面積、體積概念的推廣，當α1,α2,…,αm線性相關時V (Hm)=0，α1,α2,…,αm線性無關時，體積V(Hm)≠0，稱超平行多面體Hm的維數(shù)為m.

定義 2[4]設e1,e2,…,en是Rn中的一個標準正交基，Rn中的n-1個向量αi,=(ai1,ai2,…,ain)的向量積是一個向量，記作ψ或[α1α2…αn-1].

其中A1j(j=1,2,…,n)為ψ的(1,j)元的代數(shù)余子式.

容易驗證ψ與α1，α2，…，αn-1都正交，且ψ的方向由α1，α2，…，αn-1順次按右手法則確定.

引理1 |[α1α2…αn-1]|是由向量α1，α2，…，αn-1張成的超平行多面體Hn-1的廣義體積（面積）.

當α1，α2，…，αn-1線性相關時，R(AAT)≤R(A)＜n-1，故|AAT|=0；當α1，α2，…，αn-1線性無關時，[α1α2…αn-1]2≠0，此時

上式中|[α2α3…αn]|是由向量α2α3…αn張成的超平行多面體Hn-1的廣義體積，|α1|cosθ是向量α1在向量[α2α3…αn]上的投影，其絕對值恰好是超平行多面體Hn對應于α1的底上的高，符號與cosθ的正負一致.

2 行列式的性質[1]的幾何解釋

性質1 如果行列式中有一行元素全為零，則行列式等于零；有兩行元素成比例，則行列式等于零；有兩行完全相同，則行列式等于零.

從行列式的幾何意義上看，如果行列式中有一行元素全為零，或有兩行元素成比例，或有兩行完全相同，則α1，α2，…，αn線性相關，此時由向量α1，α2，…，αn張成的超平行多面體的維數(shù)小于n，因此其廣義體積等于零.

性質2 互換行列式的兩行，行列式變號.

由定義2可知，如果互換α1，α2，…，αn中兩個向量的順序，則[α2…αn的方向恰好反向，因此[α1α2…αn]與α1的夾角θ變成α±π，余弦值變成原來的相反數(shù)，故其帶符號的體積變號.

性質3 行列式與它的轉置行列式相等.

記 α1=(a11,a12)，α2=(a21,a22)，β1=(a11,a12)，β2=(a21,a22)，則 det的轉置行列式為見圖3，按行列式的幾何意義的絕對值等于平行四邊形OACB的面積（記作S1）的絕對值等于平行四邊形ODFE的面積（記作S2），

圖3 行列式轉置的幾何示意

性質4 行列式的某一行中所有的元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.

圖4 數(shù)乘行列式的幾何示意

見圖4，將平行四邊形OACB的一邊OA伸長k倍變成OD，則平行四邊形變成ODEB，其面積也擴大k倍.即det

性質5 若行列式的某一行的元素是兩數(shù)之和，則等于兩個行列式之和.

如圖5所示，平行四邊形OACD與平行四邊形ADEC的面積之和等于平行四邊形ODEB的面積.即

圖5 行列式的和的幾何示意

性質6 把行列式的某一行的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行對應的元素上去，行列式不變.

圖6 行列式的性質6的幾何示意

如圖6所示，將向量α2+kα1的起點固定在原點，則對任意實數(shù)k，其終點D落在直線BC上，即平行四邊形OAED與平行四邊形OACB的OA邊上的高相等，所以面積相等.另外，α1，α2與 α1，α2+k α1的相對方位一致，因此 det

〔1〕同濟大學數(shù)學系.線性代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2014.

〔2〕王萼芳,石生明.高等代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2013.

〔3〕高立仁.超平行體的體積[J]．工科數(shù)學,1993,9(1):23～25.

〔4〕張沛和,周瑜.空間的矢量積及其應用[J]．嘉應大學學報(自然科學),2000(3):5～9.

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〔8〕謝琳,張靜.從幾何直觀理解行列式與Cramer法則[J]．高等數(shù)學研究，2009，12(1):61～62．

〔9〕郭文獻.實矩陣行列式的幾何解釋[J]．殷都學刊(自然科學版),1998(5):8～9.

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1673-260X（2017）03-0009-03

2016-12-17