三圓兩兩外切的空隙圓

毛舜華

一、引理 在△ABC中，D、E、F分別是邊BC、CA、AB上的點，而且AE=AF=a，BF=BD=b，CD=CE=c，a>0，b>0，c>0（如圖1），那么

（1） = 。 （1）

（2）△ABC的內切圓與邊BC，CA，AB，分別切于點D，E，F。

（3）△ABC的內切圓的半徑R= 。 （2）

證明（1）△ABC的三邊長分別為AB=a+b，BC=b+c，CA=c+a，半周長p= （AB+BC+CA）

=a+b+c，由三角形面積的海倫公式得

= = 。

（2）設△ABC的內切圓的圓心為O，⊙O切邊BC，CA，AB于L，M，N.由切線性質得AM=AN，BN=BL，CL=CM，而且

AM+BN=AN+BN=a+b

BN+CL=BL+CL=b+c

CL+AM=CM+AM=c+a

由這三式解得AM=a=AE，BN=b=BF，

CL=c=CD，從而L與D重合，M與 E

重合，N與F重合。

（3）因D，E，F是⊙O與邊BC，CA，AB的

切點，所以OE丄CA，OD丄BC，OF丄AB，而且OD=OE=OF=R， = + + =

R（AB+BC+CA） =R（a+b+c），再由（1）式得R= .

說明，在引理中，若分別以△ABC的三頂點A、B、C為圓心，以a、b、c為半徑作圓，那么⊙A、⊙B、⊙C兩兩外切，而且OF、OD、OE就是⊙A、⊙B、⊙C兩兩的公切線。

二、空隙圓的半徑

在一平面上，設⊙A，⊙B，⊙C兩兩外切，切點分別是AC上的點L，AB上的點M，BC上的點N.顯然，由弧線LM，MN，NL所圍成的“三角形”區域（簡稱空隙域）內，存在一個⊙P與⊙A，⊙B，⊙C都外切，稱此圓為空隙圓（見圖2）。

定理 在一平面上，設⊙A，⊙B，⊙C兩兩外切，而且它們的半徑分別為 ， ， ，則與⊙A，⊙B，⊙C都外切的空隙圓⊙P的半徑為

r= . （3）

其中R= ， =1+ ，i=1，2，3. = . （4）

證明 在圖2中，設O為△ABC的內心，連接OL，OM，ON。由引理及其說明知，OL，OM，ON分別是⊙A與⊙C、⊙A與⊙B、⊙B與⊙C的公切線，而且是△ABC的內切圓的半徑，再設⊙P分別與⊙A、⊙B、⊙C外切于點Q，T，S，過Q、T、S分別作⊙P的切線，三切線兩兩相交于D、E、F，由引理及引理的說明知， D、E、F分別在線段ON，OL，OM內，而且是△BOC，△COA，△AOC的內心，設DN= ，EL= ，FM= ，那么 、 、 分別是△BOC、△COA、△AOC的內切圓的半徑.由切線性質知，△DEF的三邊邊長分別為 + ， + ， + .由引理知△DEF的內切圓⊙P

的半徑r= ，下面求 、 、 。

設△ABC的內切圓半徑為R，.連接BF，BD，則BF，BD分別是∠MBP，∠NBP的角平分線，且BP⊥DF。設∠MBF= ，∠NBD= ，則 + = ∠MBN=∠MBO.在Rt△BMF、Rt△BND、Rt△BMO

中，tg = = ，tg = = ， = =tg∠MBO=tg（ ）= = ，于是

+ + =R （5）

同理可得 + + =R， + + =R （6）

（5）（6）變形得

（7）

方程組（7）的每個方程的兩端都乘以R后再變形得

（8）

令 =1+ ，i=1，2，3. = . 因為D，E，F分別在線段ON，OL，OM內，且ON=OL= OM=R，

所以 ， ， .將方程組（8）的三個方程兩端相乘后再開平方，便得 = ，此式與（8）可解得 -1= ， -1= ， -1= ，

所以 = ， = ， = . （9）

于是 = = ，

+ + = + +

=

=

= 。

所以r= = ，

其中R， ， ， ， 由（4）式確定。

推論1當 = = 時，r= 。 （10）

證明 由（4）式，R= ， = = =1+ = ， = ，將它們代入（3）式得（10）。

推論2當 = 時，

r= （11）

證明 據（4）式， R= ， = =1+ =

，

= ， = .將它們代入到（3）式經化簡即得（11）。

參考文獻

[1]數學手冊。人民教育出版社，1979年5月。

[2]許莼舫初等幾何四種，中國青年出版社1978年10月。