淺談勾股定理的證明與推廣應用

卿易

摘要：勾股定理作為世界范圍內(nèi)數(shù)學界最為偉大的發(fā)明之一，其是一個十分偉大的數(shù)學定理。迄今為止，勾股定理已經(jīng)被使用多種方法給予證明，并在較多領(lǐng)域中得以推廣。在本文中作者將結(jié)合自身學習經(jīng)驗，在對大量文獻進行閱讀與總結(jié)基礎(chǔ)上，對當前勾股定理的證明方法進行分類研究，并在此基礎(chǔ)上對勾股定理在平面、三維空間及三角形三邊關(guān)系的推廣應用進行了討論。

關(guān)鍵詞：勾股定理；定理證明；推廣應用

1引言

自我國改革開放以來，國內(nèi)政治、經(jīng)濟、社會、文化等諸多環(huán)境得以完善，從而吸引了大量外國企業(yè)、居民進入國內(nèi)，給中國當代文化氛圍、科學技術(shù)發(fā)展帶來了較為深刻的影響。中外文化的交流，在一定程度上給整個世界學術(shù)界、實務(wù)界的發(fā)展提供更加鮮活的血液與動力。（刪除）勾股定理作為世界范圍內(nèi)數(shù)學界最為偉大的發(fā)明之一，其是一個十分偉大的數(shù)學定理。迄今為止，勾股定理已經(jīng)被利用多種方法給予證明，并在較多領(lǐng)域中得以推廣。作為一個具有歷史厚重感的數(shù)學定理，在當前中學教課書中也是僅僅列舉了一種證明方法，而對其他方法的證明及其推廣應用的介紹十分之少。為此，作者將在本文中針對勾股定理的證明方法進行研究，作者謹此希望能夠利用本文的研究豐富當代中學生的視野，使他們能夠利用對定理背后歷史的探究，更好的掌握數(shù)學應用方法，為步入大學校園繼續(xù)深造奠定堅實的基礎(chǔ)，為社會主義現(xiàn)代化建設(shè)需求人才素質(zhì)的提升做出自身貢獻（刪除）。

2勾股定理的證明方法研究

勾股定理作為一種舉世聞名的數(shù)學定理，其（刪除）現(xiàn)存的證明方法繁復多樣，可根據(jù)主流的分類方法將其歸為三類。在下文當中，作者將對前兩種方法分別進行一種證明方法的研究。

第一，面積法。該種證明方法是由畢達哥拉斯所發(fā)明的，其當初所使用的面積法證明采用了分解的思路，具體如下圖所示：

在兩個繪制的圖形當中，可以發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯共設(shè)計出了八個大小完全相等的直角三角形。并對每個直角三角形的邊進行了賦值，其中直角邊的賦值分別為a與b、斜邊的賦值為c。接下來，在上述八個直角三角形的位置周圍繪制出了三個等邊正方形。最終就形成了如上兩個圖形。在做好上述準備工作之后，就可開始對勾股定理進行了證明，其證明思路主要為利用正方形所具有的面積對定理進行證明。可以發(fā)現(xiàn)，左圖當中將所有小矩形的面積進行相加，就等于整個大正方形的面積。并可得出如下公式：

（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab

在得出上述等式基礎(chǔ)上，再將面積相等的方法應用于右圖當中，也可以得出另一等式：

（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab

通過上述兩個公式之間的合并，最終可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2

第二，拼接法。拼接法證明與面積法證明之間存在著較大差異。為此，可以先繪制以下圖形，以便于利用拼接法進行更為準確的證明：

其通常所采用的方法之一具體由上圖列示。該圖形主要由四個大小相同的直角三角形所構(gòu)成。并對每個直角三角形的邊進行賦值，賦值方法與面積法基本相同。在此基礎(chǔ)上，可利用上述拼接圖形進行勾股定理的證明。由上圖可以發(fā)現(xiàn)，DE=AF=HE=b，且角GDE為90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG為90度。因此，上圖當中的兩個四邊形就可以利用已經(jīng)為直角三角形的賦值進行替代表示。從而又可將上圖分解為兩個圖形，并實現(xiàn)勾股定理的證明。

3勾股定理的推廣應用研究

勾股定理不但可以在平面圖形當中得以應用，更加可以在三維圖形，乃至n維圖形當中得以應用，并給解決諸多較為復雜的數(shù)學問題提供重要幫助。例如：假設(shè)ABC為等邊三角形，D是該三角形內(nèi)部的一點。如果假設(shè)角BDC為150度，并假設(shè)BD長度為2，CD長度為1。那么，AD的長度應當是多少。在上述旋轉(zhuǎn)三角形邊長求解的運算當中，就可以借助勾股定理的方法實現(xiàn)對最終答案的求解。該求解的主要利用圖形的旋轉(zhuǎn)將現(xiàn)有三角形ABC等位移動至三角形AEC處，從而構(gòu)造出了一個新的等邊三角形ADC。那么，依據(jù)這一思路之后，就可以利用對現(xiàn)有容易求解的方法對ED求解，并利用兩者之間相等的思想，實現(xiàn)對目標邊AD長度的求解。其中針對EC的求解就可以應用到勾股定理，并構(gòu)造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。進而也就求得了邊AD的長度。通過這則案例可以得出結(jié)論，勾股定理在平面圖形之外的立體多位圖形當中可以實現(xiàn)推廣與應用。

4結(jié)論

通過本文的研究，可以發(fā)現(xiàn)，勾股定理作為一個舉世聞名的數(shù)學定理，其現(xiàn)存的證明方法繁復多樣，可根據(jù)主流的分類方法將其歸為三類：其一為面積法；其次為拼接法；另外一種為定理法。通過對不同方法的探究，作者以案例的方式對其中兩種方法的大致證明思路提出了思考，并在此基礎(chǔ)上對不同方法的推廣應用進行了研究。作者謹此希望，能夠利用本文的研究，給數(shù)學界勾股定理應用范圍及深度的提升帶來促進作用，也希望能夠在未來求學過程中繼續(xù)深入思考研究數(shù)學理論的相關(guān)問題。

參考文獻

[1]周麥常. 勾股定理的推廣及應用[J]. 中學數(shù)學，2008（10） .