采用MCMC方法的上海股市隨機波動模型

趙慧琴, 劉金山

(1. 廣東財經大學 華商學院， 廣東 廣州 511300；2. 華南農業大學 數學與信息學院， 廣東 廣州 510642)

采用MCMC方法的上海股市隨機波動模型

趙慧琴1, 劉金山2

(1. 廣東財經大學 華商學院， 廣東 廣州 511300；2. 華南農業大學 數學與信息學院， 廣東 廣州 510642)

采用貝葉斯統計中的馬爾科夫鏈-蒙特卡羅(MCMC)方法對上海股市的隨機波動性進行研究，基于Gibbs抽樣的MCMC數值計算過程，對上海股市的隨機波動率模型(SV)進行參數估計,并在WinBUGS軟件中實現.根據信息判別準則(DIC)，對比擬合的SV-N，SV-T，SV-MT模型參數，結果表明：SV-T模型最能反映上海股市波動具有尖峰厚尾的特性，可進一步用于預測樣本外的波動率結果. 關鍵詞： 隨機波動率模型； 馬爾科夫鏈-蒙特卡羅方法； 股市波動； 貝葉斯分析； 上海股市

經濟或金融時間序列均存在著普遍的波動性現象，隨機波動率模型(SV)可以模擬和預測波動狀況.近年來，隨機波動率模型在我國得到了不斷的發展，研究者們提出一種最常用的擴展模型，即標準模型(SV-N模型)[1-3].SV族模型較難找到精確的似然函數，需要模擬建立完全的似然函數進行參數估計，如馬爾科夫鏈-蒙特卡羅(MCMC)方法.國內已有一些相關研究,但較少將SV族的SV-MT，SV-T模型與SV-N模型進行比較分析[4-7].因此，本文基于貝葉斯統計中的MCMC方法，結合Gibbs抽樣，對SV族的模型參數進行估計.

1 SV族模型的統計結構

1.1 SV-N模型

標準的SV模型形式[8]為

(1)

(2)

式(1),(2)中:yt為t時刻的標準化對數收益率;θt為對數波動，服從一個持續性參數為φ的高斯自回歸AR(1)過程;誤差項εt與ηt是不相關的，都服從均值0，方差σ2的正態分布;對于|φ|<1,SV模型的協方差是平穩的.

潛在波動θt的分布為

(3)

yt|θt的分布為

(4)

若令φ=2φ1-1，τ=σ2,且y1：n=(y1,y2,…,yn)′,θ1：n=(θ1,θ2,…,θn)′，根據Kim等[9]提出的方法，假定模型參數φ,τ,μ,θ1的先驗分布為

μ,φ,τ,θ0的先驗分布聯合密度函數為

(5)

根據貝葉斯定理，后驗分布的參數為

(6)

式(6)中:L(μ,φ,τ,θ0：n)為SV模型的似然函數.

1.2SV-T模型

SV-T模型表示一個混合的正態分布模型，其形式為

(7)

(8)

式(7)，(8)中：εt服從自由度為w>2的t分布.

若假定λt服從倒伽馬分布，是一個潛在的變量，則有

(9)

(10)

(11)

取參數ω的先驗分布ω～χ2(8)，其他參數的先驗分布同SV-N模型[10].w和θt的后驗條件分布為

(12)

1.3SV-MT模型

SV-MT模型形式為

(13)

(14)

式(13)，(14)中：εt為服從自由度為w>2的t分布.

在模型中，d的先驗分布近似服從正態分布，其他參數的先驗分布與SV-T模型參數相同.μ,τ,φ的后驗條件分布也與SV-T模型參數相同，即

(15)

1.4 模型的比較

基于貝葉斯方法，采用信息判別準則(DIC)[11-12]對SV模型進行比較，具體形式為

(16)

DIC準則可以很好地比較復雜的統計模型，即

(17)

2 上海股市SV族模型參數的貝葉斯估計

在SV族模型中，其參數用MCMC方法中的Gibbs抽樣進行估計.數據源于新浪財經網2013年9月2日至2014年8月29日的上海股市的收盤價格，共242個數據.在進行模型參數的貝葉斯估計前，用WinBUGS軟件對模型參數進行10 000次預迭代，再進行20 002次迭代，以保證參數的收斂性.3種模型參數的貝葉斯估計，如表1所示.由表1可知：波動水平參數μ在SV-N模型中的絕對值較大，說明在SV-N模型中上證綜指的波動性體現得比較強烈；3個模型中的波動持續性參數φ的估計值相差不大，都在0.98以上，說明3個模型都能刻畫上證綜指收益率序列的波動持續性，也說明我國股市具有波動集聚性；在SV-T和SV-MT模型中加入自由度參數ω，其值分別為16.260，16.480，體現了上海股票尖峰厚尾的特性[13]，而SV-N模型并未體現這一特性.SV-T模型參數的后驗核密度估計，如圖1所示.

表1 SV族模型參數的貝葉斯估計

(a) ω的核密度 (b) μ的核密度

(c) φ的核密度 (d) τ的核密度圖1 SV-T模型參數的后驗核密度估計圖Fig.1 Posterior density function for SV-T model

表2 各模型的DIC值的比較

明3個模型中，模擬上海綜指的數據最好是SV-T模型，最差是SV-N模型；對于PD值的模擬，SV-T模型最大，而SV-MT最小.說明對于上海綜指的模擬，SV-MT模型相對于其他模型來說是最簡單的模型，而SV-T模型是最復雜的；對于綜合了模型的復雜度和擬合優劣的DIC值，SV-T模型的值最小，其值為389.676，而SV-N模型的值最大，其值為398.868，這說明在模擬上海股市波動特性時，SV-T模型要優于SV-N模型和SV-MT模型.

3 結束語

對SV-T，SV-N，SV-MT模型的參數估計、后驗核密度估計和DIC值進行比較，可以得出在模擬我國上海股市的波動性中，SV-T模型比SV-N，SV-MT模型更優，更能反映上海股市的尖峰厚尾的特性，并且證明了上海股市具有很強的波動持續性.利用SV-T模型，可進一步用于預測樣本外的波動率結果.對于國外已有的杠桿SV模型[14]、長記憶SV模型[15-16]研究，將是今后進一步研究的方向.

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(責任編輯： 錢筠 英文審校： 黃心中)

Stochastic Volatility Modeling of Shanghai Stock Exchange Using MCMC Method

ZHAO Huiqin1, LIU Jinshan2

(1. Huashang College， Guangdong University of Business Studies， Guangzhou 511300, China;2. College of Mathematics and Informatics, South China Agricultural University， Guangzhou 510642, China)

One method is by Markov chain Monte Carlo (MCMC) bias statistics method. In this paper, we study the stochastic volatility of Shanghai Stock market, and estimate the parameters of the stochastic volatility model (SV) of Shanghai Stock market based on the MCMC sampling, and implement the Gibbs software in the WinBUGS software. By comparingthe parameters of SV-N, SV-T, SV-MT model, and according to discriminative information criterion, we find the SV-T model is the best model in China reflecting the fluctuation of the stock market of Shanghai which has peak thick tail characteristics, this model can also be used to step out of sample forecasting volatility results. Keywords： stochastic volatility models; Markov chain Monte Carlo method; stochastic volatility; Bayesian analysis； Shanghai Stock

10.11830/ISSN.1000-5013.201702024

2017-02-14

趙慧琴(1982-)，女，講師，博士，主要從事經濟統計和概率統計的研究.E-mail:zhq_6285144@163.com.

廣東省青年創新人才類重點課程建設項目(2014WQNCX177)； 廣東省質量工程經管綜合實驗教學中心建設項目(2013年度)； 廣東省質量工程統計學專業實驗教學示范中心建設項目(2014年度)

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A

1000-5013(2017)02-0262-04