弱收斂在勒貝格積分中存在性證明及其具體應用

吳志勇

(遵義師范學院 繼續教育學院， 貴州 遵義 563002)

弱收斂在勒貝格積分中存在性證明及其具體應用

吳志勇

(遵義師范學院 繼續教育學院， 貴州 遵義 563002)

為了證明勒貝格積分是否具有弱收斂性，基于勒貝格相關理論，得到勒貝格積分存在弱收斂的充要條件為{fk}在Lp空間中有界；同時，得出需滿足{fk}在測度E范圍內的積分極限值等于其積分值的條件.最后，將勒貝格積分應用在概率統計方面，并采用Lebesgue-Stieltjes積分分別表示隨機變量及數學期望. 關鍵詞： 勒貝格積分； 弱收斂； 測度； 概率統計； 隨機變量； Lebesgue-Stieltjes積分

勒貝格控制收斂定理的證明及其應用是經典實變函數論中的重要課題，得到了相當廣泛深刻的研究.勒貝格Lp可積函數空間中的收斂性以勒貝格積分中的各種收斂性質為工具，深入到測度收斂、集中緊致、補償緊致等[1].雖然勒貝格積分已經應用于少數領域之中[2]，但目前有關空間勒貝格積分中的許多收斂性是分散在各文獻中，大部分沒有系統全面地總結[3].本文通過闡述黎曼積分及勒貝格積分理論，研究弱收斂在勒貝格積分中存在性證明及其具體應用.

1 黎曼積分定義

設f(x)是[a,b]上的有界函數，任意分點滿足以下關系[4]，即

(1)

如果將區間[a,b]分成n部分，對小區域[xi-1,xi]內的任意一點ξi(i=1,2,3,…)求和，有

(2)

(3)

2 勒貝格積分定義

2.1 分劃

引理1 給定E任意兩個分劃D′,D,必存在比其細的第3分劃，即

(4)

2.2 大和與小和

(5)

2) 設分劃D′比D細，則s(D,f)≤s(D′,f),S(D,f)≤S(D′,f)；

3) 對于任兩個分劃D′，D，有s(D,f)≤S(D′,f)；

設f(x)是E?Rq(mE<∞)的有界函數，

(6)

分別稱為f(x)在L上、下積分,當f(x)滿足

(7)

則稱f(x)在E上L可積，并稱此共同值為f(x)在E上的L積分，記為∫Ef(x)dx.

以上是Rq中測度有限可測集上有界函數的L積分定義，形式上同R積分完全類似.除了積分區域更一般之外，主要不同之處在于采用的測度和分劃的不同[4].

2.3 有界函數的勒貝格積分

設f(x)定義在E?Rq測度有限集E上的有界函數[7]，

(8)

分別稱為f(x)在E上的L上、下積分.

2.4 勒貝格積分的充要條件

設f(x)是定義在E?Rq測度有限集E上的有界函數[8]，則f(x)在E上L可積的充要條件為：對任何ε<0，存在E的分劃D，使

(9)

定理1 設f(x)是定義在E?Rq測度有限的集E上的有界函數，則f(x)在E上L可積的充要條件是f(x)在E上可測.

定理2 設f(x)在E上L可積，且f(x)=g(x),a.e.于E，則g(x)在E上L可積，且∫Ef(x)dx=∫Eg(x)dx.

根據上述闡述的黎曼積分與勒貝格積分定義可知，黎曼積分在實際應用過程中存在一定的局限性，而勒貝格積分的可積范圍更加廣泛，有效地克服黎曼積分的局限性.

3 勒貝格積分弱收斂存在的充要條件

3.1 強收斂與弱收斂定義

1) 設X是賦范線性空間,X為X′共扼空間，{xn}?X′，如果存在f∈X′，有

(10)

則稱{xn}強收斂于x.

2) 設X是賦范線性空間,{xn}?X，如果存在f∈X，使得?f∈X*，有

(11)

根據強收斂與弱收斂定義，強收斂必定弱收斂，但弱收斂不一定強收斂.

3.2 勒貝格積分弱收斂存在的充要條件

設Ω為Rn中可測集，測度mesΩ>0，{fk}在Lp(Ω)(1≤p≤∞) 弱收斂于f∈Lp(Ω).

設‖fn‖≤M(n=1,2,…),f∈Lp(Ω)，令φ∈Lp′(Ω)(1-p′<∞),根據函數集在Lp(Ω)上的稠密性，當m無限大時，則有任意的δ>0，滿足

(12)

令k→∞,ε→0,δ→0，則有

(13)

因此，{fk}弱收斂于f的充要條件為

1) {fk}在Lp(Ω)中有界；

如果f∈Lp(Ω)1

(14)

(15)

由此可知，當p=1時，式(13)關系不成立.

證明 充分性.由于f∈Lp(Ω)，因此對于任一的ε>0，均存在無限大的m，滿足

(16)

(17)

由于積分具有絕對連續性，因此，任一e?Ω,mese<δ，滿足

(18)

根據葉果洛夫定理，fk→f, x∈Ωm，對于以上的δ>0，存在F?Ωm，使mes(Ωm-F)<δ,fk→f在F內是一致收斂的，則有

(19)

根據上述充分證明，有

(20)

由于式(20)中的ε>0具有任意性，則存在ε，有

(21)

根據定理3，必要性顯然是成立的.

4 勒貝格積分在概率中的應用

4.1 Lebesgue-Stieltjes積分理論

4.2L-S積分表示的隨機變量函數

設ξ=(ξ1,…,ξn)為(Ω,A,P)的n維隨機變量，其中，分布函數為F(x1,…,xn),gkk=1,…,m是n維實空間的有限Borel函數.若ηk=gk(ξ1,…,ξn)(k=1,…,m)，則有

(22)

根據L-S積分定義[10]，有

(23)

4.3 L-S積分表示的數學期望

若ξ=(ξ1,…,ξn)為(Ω,A,P)的n維隨機變量，其中，分布函數為F(x1,…,xn)是n維實空間的有限Borel函數，則η=g(ξ1,…,ξn)存在數學期望則需滿足如下2個條件.

1) 分布函數F(x1,…,xn)存在積分；

2) Eη=Eg(ξ1,…,ξn)=∫…∫g(x1,…,xn)dF(x1,…,xn).

證明 根據積分變換定理，有

(24)

式(24)中:左、右兩端分別等于

(25)

4.4 實例應用

設隨機變量ξ的分布函數為F(x)，隨機變量的分布函數為η=aξ+b(a,b均為實數)；η=cosξ.

證明 令Fη為η的分布函數，有

(26)

式(26)中：G={x,ax+b

(27)

式(27)中：G={x,cosx

5 結束語

勒貝格積分的創立，是彌補了黎曼積分的不足.文中在介紹勒貝格積分概念的同時，證明了勒貝格積分弱收斂存在的充要條件；同時，將勒貝格積分應用在概率統計上，并采用Lebesgue-Stieltjes積分分別表示隨機變量及數學期望.

[1] 趙建英,李海英.函數空間類Vitali覆蓋證明及其應用[J].華僑大學學報(自然科學版),2016,6(2):88-91.

[2] 楊潔.關于可測函數數列各種收斂性的幾點注記[J].工科數學,1998,14(2):120-123.

[3] 程基嚷,張奠宇,魏國強,等.實變函數論與泛函分析基礎[M].北京:高等教育出版社,2003：121-122.

[4] 姚建武.極限與三種收斂之間的關系[J].陜西教育學院學報,2003,19(1):70-73.

[5] 趙目,趙玉華.關于弱收斂的一些結果[J].安徽教育學院學報,2007,25(3):9-10.

[6] 黃永峰.也談黎曼積分與勒貝格積分的區別及聯系[J].時代教育(教育教學),2011,31(9):212-214.

[7] 劉皓春曉.勒貝格控制收斂定理及其應用[J].品牌:下半月,2015,13(3):67-68.

[8] 柴平分.關于可測函數列積分的收斂性[J].青海師范大學學報(自然科學版),1996,21(2):33-35.

[9] 侯英.勒貝格控制收斂定理的應用[J].中國新技術新產品,2010,22(23):12-15.

[10] 何婷妹.淺析黎曼積分與勒貝格積分[J].科技經濟導刊,2016,36(14):321-323.

(責任編輯： 陳志賢 英文審校： 黃心中)

Existence Proof of Weak Convergence in Lebesgue Integral and Its Application

WU Zhiyong

(College of Extended Education， Zunyi Normal College， Zunyi 563002, China)

In order to prove the Lebesgue integral is of weak convergence, basing on Lebesgue theory, we prove the necessary and sufficient conditions for the existence of the weak convergence of Lebesgue integral sequence {fk} are that the sequence are bounded inLpspace; at the same time, it must satisfy that the integral limit value of {fk} in the measure range ofEis equal to the integral value. Finally, by the application of Lebesgue integral to probability statistics, we use Lebesgue-Stieltjes integral to represent the random variables and mathematical expectation respectively. Keywords： Lebesgue integral; weak convergence; measure； statistical probability; random variable; Lebesgue-Stieltjes integral

10.11830/ISSN.1000-5013.201702026

2017-02-14

吳志勇(1963-)，男，副教授，主要從事函數論的研究.E-mail:zysfjks484@163.com.

貴州省高校人文社會科學資助項目(2015JD114)

O 10

A

1000-5013(2017)02-0271-05