多體、多程問題的解題方略探析

鄭行軍

中學物理模型中，由多個物體組成的系統(tǒng)研究一直是一個難點。由于涉及對象的合理選擇及復雜過程的動態(tài)分析，因此在高考試題中常以中檔偏難的題目出現(xiàn)。下面就動量守恒定律框架下涉及的多體、多程問題的命題與解題策略進行歸類說明，以期能對高三同學的復習起到一點借鑒作用。

1. 模型定義：對于研究對象為多個物體組成的系統(tǒng)或涉及多個過程的動量守恒問題統(tǒng)稱為多體問題。

2. 溫馨提示：多個物體相互作用經(jīng)歷多個運動階段時，物理過程往往比較復雜，分析時要注意以下幾點：①正確分析作用過程中各物體狀態(tài)的變化情況，建立運動模型；②分清作用過程中的不同階段，并找出聯(lián)系各階段的狀態(tài)量；③合理選取研究對象，既要符合動量守恒的條件，又要方便解題。

3. 方法歸類分析：

①分過程法：若系統(tǒng)中的物體在作用的全過程中系統(tǒng)動量不守恒或速度大小與過程相關(guān)聯(lián)，則列式時往往要根據(jù)作用過程中的不同階段，建立多個動量守恒方程，或?qū)⑾到y(tǒng)內(nèi)的物體按作用的關(guān)系分成幾個小系統(tǒng)，分別建立動量守恒方程聯(lián)立求解。

②全過程法：若在作用全過程中系統(tǒng)始終符合動量守恒的條件，則在運用動量守恒定律時只須關(guān)注初、末狀態(tài)的動量，而不用注重中間狀態(tài)的具體細節(jié)，這樣可以給解題帶來很大便利。

4. 命題設(shè)計及解題策略：

命題設(shè)計1 速度關(guān)聯(lián)類問題

題型分析：在研究多體、多程問題時，命題條件常常會關(guān)聯(lián)物體運動的速度，這類問題的關(guān)鍵在于注意條件中有關(guān)參考系的關(guān)聯(lián)確定：若作用過程中研究對象的速度始終相對于地面而變化，可考慮全過程法；若物體的速度與系統(tǒng)中其它物體相關(guān)聯(lián)（如以其它物體為參考系運動），則要利用分過程法聯(lián)立方程分析求解。

【例1】甲、乙兩小孩各乘一輛小車在光滑水平面上勻速相向行駛，速率均為9m/s，甲車上有質(zhì)量m0=1kg的小球若干個，甲和他的車及所帶小球總質(zhì)量為m1=50kg，乙車和他的車總質(zhì)量為m2=40kg，甲不斷地將小球以21m/s的對地水平速度拋向乙，并被乙接住，問甲至少要拋出多少個小球才能保證兩車不相撞。（不考慮空氣阻力）

解析：當甲、乙兩車最終速度相等時，兩車剛好不相撞，設(shè)此速度為v，取甲運動方向為正方向，甲、乙車及球組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，有：m1v1-m2v2=（m1+m2）v，又v1=v2=9m/s，將質(zhì)量代入解得v=1m/s，方向與甲原運動方向相同。

甲每次拋出小球時，小球相對于地面的速度始終不變，可利用全過程法分析，設(shè)拋出n個球后使得甲的速度為v，對甲和被拋出的球，拋球過程水平方向動量守恒，有m1v1= nm0v0 +（m1-nm0）v，其中v0=21m/s，將質(zhì)量代入得n=20個，即甲至少拋出20個球才能避免兩車相撞。

點評：在研究多個物體組成的系統(tǒng)中，合理的選擇研究對象是解題的關(guān)鍵，本題保證兩不相撞的臨界條件是末狀態(tài)兩車應有共同的速度，先取兩車與球組成的系統(tǒng)，全過程動量守恒，利用全過程法即可求最終的臨界速度；甲在拋球過程中由于拋出小球的速度相對地面始終不變，與甲、乙兩車無關(guān)，故可以甲車和拋出的小球為系統(tǒng)，利用全過程法求解。

命題設(shè)計2 作用關(guān)聯(lián)類問題

題型分析：在動量守恒定律的應用中，首先要注意選擇的系統(tǒng)否滿足守恒條件，在多體系統(tǒng)組成多過程運動中，若系統(tǒng)在全過程始終滿足守恒條件（不受外力或所受的合外力為零），可用全過程法；若選擇全過程無法滿足守恒條件，則需按作用關(guān)系分解為多個小過程，分別建立動量守恒方程聯(lián)立求解。

【例2】如圖2所示，人與冰車質(zhì)量為M，球質(zhì)量為m，開始均靜止于光滑冰面上，現(xiàn)人將球以對地速度v水平向右推出，球與檔板P碰撞后等速率彈回，人接住球后又將球以同樣的速度v向右推出……如此反復，已知M=16m，試問人推球幾次后將接不到球？

解析：當球與檔板碰撞瞬間，檔板會對球產(chǎn)生作用力，故人在推接球的全過程中，系統(tǒng)動量不守恒，可考慮分過程法。

點評：在分析多體問題時，清楚物體運動的過程，靈活選用分過程法和全過程法，應用動量守恒定律可正確解題。推球過程系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可以求出小車的速度，球與檔板碰撞瞬間動量不守恒，應用分過程法多次聯(lián)立推球過程的動量守恒公式即可求出碰撞的次數(shù)。

命題設(shè)計3 多體臨界問題

題型分析：在動量守恒定律的應用中，常常會遇到相互作用的兩物體恰好分離、恰好不相碰，兩物體相距最近，某物體恰好開始反向等臨界問題，分析時應注意：①分析物體的受力、運動情況，合理的選擇研究對象，判斷是否滿足動量守恒的條件；②分析臨界狀態(tài)出現(xiàn)所需的條件，即臨界條件，條件往往表現(xiàn)為某個（或某些） 物理量的特定取值（或特定關(guān)系），通常表現(xiàn)為兩物體的相對速度關(guān)系或相對位移關(guān)系，這些特定關(guān)系是求解這類問題的關(guān)鍵；③列方程時要注意位移或速度的同時性和相對性。

【例3】如圖3所示，甲、乙兩小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲，甲和他的冰車的總質(zhì)量M =40kg，乙和他的冰車的總質(zhì)量也是40 kg。游戲時，甲推著一個質(zhì)量m=20kg的箱子，讓箱子和他一起以v1=2 m/s的速度滑行，乙以v2=1.75m/s的速度迎面向甲滑來。為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推向乙，箱子滑到乙處時，乙迅速把箱子接住。若不計冰面的摩擦，為避免與乙相撞，問：（1）甲至少要以多大的速度（相對地面）將箱子推出？（2）甲將箱子推出的過程中至少做了多少功？

解析：（1）在推出和抓住的過程中，小孩、冰車和箱子的總動量守恒.要想剛能避免相碰，要求抓住后甲和乙的速度正好相等.此就可求得推出時的最小速度。

設(shè)箱子推出后其速度為v，甲孩的速度為v1′，以甲的初速度方向為正方向，根據(jù)動量守恒可得：mv+Mv1′=（m+M）v1；設(shè)乙孩抓住箱子后其速度為v2′，以向右為正方向，根據(jù)動量守恒可得：（m+M）v2′=mv-Mv2，剛好不相碰的條件要求：v1′=v2′，解得：v=5m/s，v1′=v2′=0.5m/s；

（2）設(shè)以最小速度推出時甲對箱子做功為W，對箱子，由動能定理得： 代入數(shù)值可得：W=135J；

點評：本題運動過程復雜，有一定的難度；分析清楚物體運動過程、找出避免碰撞的臨界條件是正確解題的關(guān)鍵.甲將箱子沿冰面推給乙過程，甲乙的總動量守恒，乙把箱子抓住過程，乙與箱子總動量守恒，當甲與乙恰好不相撞時，甲將箱子推給乙后速度與乙接住箱子后的速度恰好相等.根據(jù)動量守恒定律和速度相等條件求解甲推箱子的速度大小的最小值；對箱子，應用動能定理可以求出功.

拓展訓練：

1. 如圖4所示是沖擊擺裝置。塑料制成的擺塊用繩懸掛起來，使它只能擺動不能轉(zhuǎn)動。擺塊中間正對槍口處有一水平方向的錐形孔，孔的內(nèi)壁墊以泡沫塑料.當彈丸射入后迅速停住，然后與擺塊一起擺動，讀出擺線偏離豎直方向的最大角度，就可求出彈丸的速度。某次實驗中，彈簧槍射出的彈丸以某一速度v0（未知）水平射入靜止的擺塊，讀出擺線偏離豎直方向的最大角度α=37°；然后將擺塊拉到擺線偏離豎直方向的角度β=60°由靜止釋放，當擺塊擺到最低位置時，讓彈丸以相同速度v0射入，擺塊恰好靜止已知擺線的長度L=1.00m，不考慮空氣阻力，求彈丸質(zhì)量m與擺塊質(zhì)量M的比值及彈丸的初速度v0。（取g=10m/s2，cos37°=0.8）

2. 如圖5所示，上端固定著彈射裝置的小車靜置于粗糙水平地面上，小車和彈射裝置的總質(zhì)量為M，彈射裝置中放有兩個質(zhì)量均為m的小球。已知M=3m，小車與地面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.1。為使小車到達距車右端L=2m的目標位置，小車分兩次向左水平彈射小球，每個小球被彈出時的對地速度均為v。若每次彈射都在小車靜止的情況下進行，且忽略小球的彈射時間，g取l0m/s2，求小球彈射速度v的最小值。

解析：小球第一次被彈射時，規(guī)定小車的運動方向為正方向，

責任編輯 李平安