代數傳奇

劉瑋

皓天一直在思忖一個問題：怪杰卡當在預言自己將死去的那一天自殺，那么他的預言到底是準確還是不準確呢？

鵬飛：“別想了，卡當就是一怪人，他一生的行為和思想處處都充滿了矛盾。他騙過塔爾塔利亞，但對他的仆人、后來的學生和女婿費拉里卻褒獎有加。他在他的《大術》里詳細地記述了費拉里發現的一元四次方程的解法，還為其解法的關鍵步驟給出了幾何證明。”

皓天：“人類經過700年的探索，一元三次方程和一元四次方程的求根公式終于被塔爾塔利亞、卡當、費拉里等意大利數學家攻克，那么一元五次及五次以上方程的求解自然就成了下一個目標。”

鵬飛：“這是很自然的事情，但自卡當以后200多年的時間里，許多數學家和數學愛好者耗盡心血，在這條崎嶇的道路上尋尋覓覓卻毫無進展。18世紀后半葉，大數學家拉格朗日無限感慨地說：‘它好像是在向人類智慧挑戰。1799年，他的弟子魯非尼給出了一個不嚴格的方法，證明：一元五次以上方程不可能通過系數的根式求解。嚴格的證明則是由天才阿貝爾給出的。”

皓天：“阿貝爾又是個怎樣的人物呢？”

阿貝爾，1802年8月5日出生在北歐挪威的一個小村莊，他的父親是一位牧師。阿貝爾不但繼承了他母親漂亮的容貌，并且從小就表現出了極強的數學天賦。阿貝爾上中學時，在課堂上聽到數學老師霍爾姆伯講述了困擾數學家的一元五次方程求解問題，便下定決心要解決這個難題。同學們紛紛譏笑他，阿貝爾都不予理睬，依然癡迷于這個難題。老師霍爾姆伯卻沒有小看這個少年數學癡，而是給予了充分的肯定、贊揚和指導，還幫他借來了歐拉、拉格朗日、拉普拉斯等大師們的高等數學著作。阿貝爾潛心研究，了解當時數學的前沿課題，并從大師們的著作中尋找攻克這個難題的思想和方法。霍爾姆伯老師常在校長和同事面前夸耀阿貝爾“將成為世界上最偉大的數學家”。

阿貝爾在中學的最后一年，宣布發現了一元五次方程的求根公式。他把自己的觀點寫成論文交給霍爾姆伯老師，老師看不懂，就轉送給了大學的一位數學教授。教授也看不懂，又將論文轉交給丹麥著名數學家戴根。戴根也挑不出什么毛病來，但他認為，這個數學家長期解決不了的問題不可能這么簡單就獲得了解決，他于是寫信給阿貝爾，希望阿貝爾用實際例子來驗證結果是否正確，信中最后寫道：“即使你得到的結果最后被證明是錯誤的，也顯示出你是一個有數學才能的人。”

阿貝爾遵照戴根的啟示，用實例來驗證，結果發現自己的求根公式確實是錯誤的，但他不灰心，不氣餒，因為戴根的鼓勵給了他極大的力量。

阿貝爾共有兄弟姊妹七個，1820年他18歲時父親去世，家庭陷入了窮困，生活的重擔壓到了阿貝爾的肩上，他期待著學成后能夠在大學里謀得一個數學教授的職位，為全家的生活提供一定的支持。1821年秋，身無分文的窮孩子阿貝爾在霍爾姆伯老師的努力下，得到幾個教授的資助，終于進了大學學習，并繼續研究一般一元五次以上方程的根式解。

屢遭失敗的阿貝爾有所領悟：難道被魯非尼不嚴格地證明了的“一元五次以上方程不能用根式求解”這個結論是正確的？于是他迅速調整了自己的思路，尋求嚴格證明“不存在性”的途徑。

經過五年的努力，22歲的阿貝爾終于證明了一般一元五次及五次以上的代數方程不可能有根式解（某些特殊方程除外），這個結論后來被命名為“魯非尼—阿貝爾定理”。

阿貝爾寫了《一般一元五次代數方程不可解性證明》的論文，文中解答了困擾數學界約300年的難題。這一消息像一聲春雷，震驚了世界，讓不少人目瞪口呆，他們不相信這么難的問題居然被一個無名小卒解決了，都想讀一讀這篇論文。

但是，因為看不懂阿貝爾的論文，沒有雜志愿意發表，阿貝爾只好自費出版。由于家境貧寒，為了減少印刷費用，他把論文壓縮得僅剩6頁。

1824年，裝訂成小冊子的論文出版了，阿貝爾把它寄給包括高斯在內的許多大數學家，卻一直沒有得到這些大數學家的反應。