基于小樣本數據的構件疲勞破壞全壽命區S—N曲線

盛興旺，鄭緯奇，雷佶洲,2

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙　410075；2.中交城市軌道交通設計研究院有限公司，湖北 武漢　430056)

S—N曲線模型是描述在給定平均應力、最小應力或應力比的情況下，最大應力或應力幅與疲勞壽命的關系，一般用于表征材料或構件的疲勞性能[1]。目前，國內外相關標準中采用的S—N曲線模型主要有以下4種：①單對數線性模型，即S—lgN模型，如圖1(a)所示，GB/T 24176—2009《金屬材料疲勞試驗數據統計方案與分析方法》[2]中采用了該模型，該模型主要適用于構件疲勞破壞的中等壽命區；②雙對數線性模型，即lgS—lgN模型，如圖1(b)所示，JGJ/T 27—2014《鋼筋焊接接頭試驗方法標準》[3]中采用了該模型，該模型主要適用于構件疲勞破壞的中等壽命區；③雙對數多折線模型，即lgS—lgN兩段或三段折線模型，如圖1(c)所示，BS—EN 1993-1-9-2005《Eurocode 3:Design of Steel Structures—Part 1—9:Fatigue》[4]中采用該模型，該模型用于構件疲勞破壞的中、長壽命區；④三參數冪函數模型，即P—S—lgN模型，如圖1(d)所示，MIL-HDBK-5J《Metallic Materials and Elements for Aerospace Vehicle Structures》[5]中采用了該模型，該模型主要用于構件疲勞破壞的中、長壽命區。其中，單對數線性模型和雙對數線性模型使用方便，概念清晰，求解簡單，但其不適用于構件疲勞破壞的長壽命區；雙對數多折線模型和三參數冪函數模型雖適用于構件疲勞破壞的中、長壽命區，但表達形式復雜，使用不便。本文擬結合各模型的優點，建立適用于構件疲勞破壞全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線。

S—N曲線通常通過標準試件的疲勞試驗得到。目前，疲勞試驗存在多種試驗方法，在傳統的疲勞試驗中常采用成組試驗法，即在某一指定應力(或應變)水平下根據1組試樣的多個試驗結果測定構件的疲勞壽命，由此得到構件的S—N曲線。此法一般適用于構件疲勞破壞的中、短壽命區，但所需試驗樣本較多，試驗成本高。為盡量降低試驗成本，本文以閃光對焊連接的直徑為16 mm的HRB400高強鋼筋為例，采用單點試驗法進行疲勞試驗，合理控制試驗樣本數量，研究在小樣本數據空間下能夠用于構件疲勞破壞全壽命區的S—N曲線計算方法。

1　疲勞試驗及結果

圖1　S—N曲線模型

本文疲勞試驗采用閃光對焊連接的直徑16 mm的HRB400高強鋼筋作為標準試件(以下簡稱試件)，其試驗應力比取為0.2，試驗加載的最大應力為320 MPa，是HRB400高強鋼筋屈服強度的0.8倍。試驗過程中加載應力依次降低，其中在試驗的加載高應力區，加載應力約按5%的幅度依次降低，在試驗的加載低應力區(接近疲勞極限時)，為滿足升降法要求，加載應力約按1%幅度進行升降[6]。考慮到目前在我國現行規范[7]中大多只研究構件的200萬次疲勞壽命，而在實際工程中部分構件的疲勞壽命遠高于此[8]，因此有必要對構件的中、長疲勞壽命進行重點研究。在常規疲勞試驗中，一般規定在荷載作用107次時，試樣不出現疲勞破壞則認為其可承受無限次荷載的循環作用[9]，為探索適用于疲勞破壞全壽命區的S—N曲線，本試驗的疲勞荷載循環次數達到107次。

試驗用試件由國家建筑鋼材質量監督檢驗中心進行統一取樣。閃光對焊由現場焊接工人按實際施工要求進行焊接，不對焊接接頭進行任何后續加工，疲勞試驗試件共計26根。試驗用高頻疲勞試驗機為GPS350高頻疲勞試驗機，如圖2所示。直徑16 mm的閃光對焊連接HRB400高強鋼筋標準試件的疲勞試驗結果匯總見表1。

圖2　高頻疲勞試驗系統

疲勞試驗過程中，當試件在夾具內或距離夾具末端小于一倍鋼筋直徑范圍內發生斷裂時，該試驗結果視為無效[3]。疲勞試驗中有效試件25根，無效試件1根。試驗的成功率較高，試驗結果可靠，可用于試件疲勞破壞全壽命區S—N曲線的研究。

表1　疲勞試驗結果

2　適用于疲勞全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線的確定

本文提出的適用于疲勞破壞全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線，其疲勞破壞中、短壽命區的S—N曲線采用斜率較大的線段表示(以下簡稱“第1段折線”)；而疲勞破壞長壽命區的S—N曲線采用斜率較小的線段表示(以下簡稱“第2段折線”)。

2.1　雙對數雙折線S—N曲線的第1段折線

2.1.1疲勞試驗值的取舍

(1)

表2　t(n1)函數取值表

2.1.2基于一元線性回歸的S—N曲線第1段折線求解

本文適用于構件疲勞破壞全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線的第1段折線方程是基于一元線性回歸原理確定的，以應力幅S為自變量，疲勞荷載循環次數N為因變量，即

x=a1+b1y

(2)

其中，y=lgS，x=lgN

式中：a1和b1為回歸參數。

(3)

其中，

從表1的疲勞試驗結果可以看出，編號為11的試件為首個疲勞荷載循環作用次數達到107次且未發生破壞的試件。由此，取該試件編號之前的試件(編號1—編號10)的試驗數據作為雙對數雙折線S—N曲線第1段折線的原始數據點，排除其中無效的試驗數據(在夾具內或距離夾具末端小于1倍該鋼筋直徑范圍內破壞的試件的試驗結果)后，采用改進的肖維奈準則進行篩選。基于一元線性回歸原理，建立一元線性回歸模型，得到：

x=14.94-3.98y

即lgN=14.94-3.98lgS

(4)

其中，相關系數R2=0.747。

2.2　雙對數雙折線S—N曲線的第2段折線

2.2.1基于升降法求解疲勞強度

當利用升降法求解試樣的疲勞強度時，對被測各個試樣按照其試驗加載的最大應力值由小到大順序排序，即S1≤S2≤…≤Sn3，相鄰應力水平的失效與未失效試件組成升降法配對子。對疲勞強度的統計分析按正態分布估計參數，即

(5)

其中，

2.2.2基于三參數冪函數的S—N曲線第2段折線求解

在構件的疲勞破壞中、長壽命區，由于其疲勞壽命和應力幅已逐漸呈非線性關系，因此本文采用三參數冪函數模型以更能準確地描述該特性，其模型為

N(S-S0)β=α

(6)

式中：S0為三參數冪函數模型中的擬合疲勞極限強度；α，β均為待定系數。

根據文獻[11]：對式(6)兩邊取對數得lgN+βlg(S-S0)=lgα， 取X=lgN，Y=lg(S-S0)，l=lgα,m=-β，則X=l+mY。由此變量X和Y之間呈線性關系，可以根據1組疲勞試驗數據(Ni,Si)，i=1,2,…,n，通過式X=lgN,Y=lg(S-S0)求得相應的1組數據(Xi,Yi)，i=1,2,…,n，再由線性回歸分析確定出待定參數l，m和相關系數R2。由此可以確定三參數冪函數模型的曲線方程。曲線方程確定后，其上任一點的切線斜率即可得到，具體為對式(6)進行求導，經過一系列化簡可得

(7)

首先，基于升降法得到標準試件對應107次疲勞荷載循環作用的疲勞強度，本文將此值作為該類試件材料的疲勞極限強度。然后，根據其三參數冪函數S—N曲線方程，確定對應107次疲勞荷載循環作用時的三參數常函數曲線方程上對應點的切線斜率。由此知該直線斜率和直線過某一定點，則該直線方程唯一確定，此即為雙對數雙折線S—N曲線的第2段折線方程。

本文取編號1—編號10試件的試驗數據為確定雙對數雙折線S—N曲線第1段折線的原始數據，則其余試驗數據(編號11—編號26)為確定雙對數雙折線S—N曲線第2段折線的原始數據。由確定第2段折線的原始數據可知，有9個試樣發生疲勞破壞，7個試樣未發生疲勞破壞，用其中未發生破壞的試件試驗數據與各相鄰的發生疲勞破壞的試件試驗數據組成1對升降法配對子，共計組成8個配對子，見表3(表中相鄰的X和O組成1個配對子)。升降法共計6個應力水平，S1=192 MPa，應力臺階d=4 MPa。

表3　升降法配對表

注：X表示發生疲勞破壞，O表示未發生疲勞破壞，X*表示未參與計算。

x=77.02-31.73y

即lgN=77.02-31.73lgS

(8)

2.3　適用于疲勞全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線方程

聯立上述雙對數雙折線S—N曲線的第1段折線方程式(4)和第2段折線方程式(8)，得到適用于疲勞全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線，即為由式(4)和式(8)組成的分段函數，其分段點即為兩段折線方程的交點(x0,y0)。綜上，基于小樣本空間的適用于試件的全壽命區S—N曲線方程為

(9)

式中：N0=10x0

進而可得到

(10)

由式(10)得到的應力比為0.2的試件全壽命區雙對數雙折線S—N曲線，如圖3所示。

圖3　雙對數雙折線S—N曲線

3　適用于疲勞全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線可靠性分析

引入置信度和可靠度對上述雙對數雙折線S—N曲線進行分析。置信度是指總體參數值落在樣本統計值某一區間內的概率[2]，本文用γ表示；可靠度(即存活率)是指1個零件(系統)在規定的環境和工作條件下，在試驗標準期間完成用戶期望功能的概率[12]，本文用P表示。

3.1　第1段折線可靠性分析

大量研究表明[1-2,10]，疲勞壽命服從正態分布。正態分布的表達式為

(11)

式中：μ為平均值，σ2為方差。

正態分布母體中樣本可靠度(存活率)P的表達式為

(12)

其中，xp=μ+upσ

式中：xp為對應存活率P的百分位值，代表疲勞安全強度；up為與可靠度相關的標準正態偏量，可參見正態分布函數表。

百分位值xp可由樣本的估計量確定

(13)

表4　標準差修正系數取值表

在給定置信度γ和可靠度P的條件下，與置信度相關的標準正態偏量μγ和與可靠度相關的標準正態偏量μp可分別由正態分布函數表查得，由此根據μγ和μp以及試驗觀測值數量n，可求出單側容限系數f，f的近似公式為[1]

(14)

(15)

3.2　第2段折線可靠性分析

(16)

3.3　雙對數雙折線S—N曲線可靠性分析

本文取可靠度P=97.7%，置信度γ=95%進行分析，其表示形式為P97.7γ95。則根據式(15)和式(16)可得具有P97.7γ95的適用于構件疲勞破壞全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線為

(17)

其中，N0,P97.7γ95=10x0,P97.7γ95。

上述雙對數雙折線S—N曲線第1段折線和第2段折線的交點為(x0,P97.7γ95,y0,P97.7γ95)，具體為

(18)

將式(18)代入式(17)，進而有

(19)

由式(19)得到P97.7γ95時應力比為0.2、直徑為16 mm的閃光對焊連接HRB400高強鋼筋在全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線，如圖4所示。

圖4　考慮P97.7γ95時雙對數雙折線模型S—N曲線

4　結　語

本文結合常見S—N曲線的優點，提出1種適用于構件疲勞破壞全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線，并研究在考慮置信度和可靠度時適用于構件疲勞破壞全壽命區的雙對數雙折線S—N曲線的求解方法。采用單點試驗法對閃光對焊連接的HRB400高強鋼筋試件進行高周疲勞試驗，得到系列小樣本試驗數據，在此基礎上，給出可疑試驗值的取舍方法，提出“改進的肖維奈準則”并用于不同試驗條件下可疑試驗值的取舍判斷。在給定可靠度P=97.7%和置信度γ=95%的情況下，給出了應力比為0.2、直徑為16 mm的閃光對焊連接的HRB400高強鋼筋試件的全壽命區雙對數雙折線S—N曲線。

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