有初應力的FRP約束混凝土圓柱應力—應變分析型模型

潘　毅，吳曉飛，郭　瑞，蔡聯亨

(1.西南交通大學 土木工程學院，四川 成都　610031；2.西南交通大學 交通隧道工程教育部重點實驗室，四川 成都　610031；3.成都基準方中建筑設計有限公司，四川 成都　610017)

纖維增強復合材料(Fiber Reinforced Polymer，FRP)外包加固混凝土柱，通過約束混凝土的側向膨脹，從而提高混凝土柱的抗壓強度和延性。國內外學者對FRP約束混凝土柱的應力—應變關系開展了大量研究，提出了很多模型。文獻[1]指出，FRP約束混凝土柱的應力—應變關系模型可分為設計型模型與分析型模型兩類。設計型模型將FRP 約束混凝土作為一個整體，通過對試驗數據的回歸分析，得到應力—應變曲線上的關鍵點，從而建立本構關系[2]。而分析型模型則將混凝土和FRP視為2個部分，通過二者的應力平衡和應變協調，考慮FRP對混凝土的約束作用，從而建立應力—應變關系，更適合做結構的非線性分析。但相比設計型模型，分析型模型還比較少。其中，文獻[3]通過修正約束混凝土的體積應變計算公式，采用數值迭代，建立了FRP約束混凝土的應力—應變關系；文獻[4]以八面體強度準則提出了FRP約束混凝土峰值應力的計算方法，然后采用增量方法建立了FRP約束混凝土圓柱的分析型模型；文獻[5-6]根據大量的試驗數據對FRP約束混凝土的軸向—側向應變關系進行了修正，并由此建立FRP約束混凝土圓柱的分析型模型。但上述模型都是混凝土柱在無初應力的條件下提出的，而實際加固中的混凝土柱都帶有一定的初應力。而初應力會造成外包FRP的拉應變滯后，從而降低FRP的側向約束強度。目前，盡管對有初應力下FRP約束混凝土的研究也已開展[7-13]，但這些研究多數是設計型模型，且多數模型僅與自己的試驗數據進行了比較，未建立考慮不同初應力的分析型模型。

針對上述研究中的不足，在103個有初應力的FRP約束混凝土圓柱試驗數據的基礎上，本文引入考慮不同初應力水平的影響因子，提出有初應力的峰值應力和峰值應變計算公式，根據FRP約束混凝土軸向—側向應變關系，構建側向膨脹系數計算公式，并基于Mander的箍筋約束混凝土本構模型，建立考慮初應力影響的FRP約束混凝土圓柱應力—應變分析型模型，并與試驗結果和其他既有模型進行對比。

1　有初應力的FRP約束混凝土圓柱峰值應力與峰值應變

FRP約束混凝土圓柱的峰值應力fcc與峰值應變εcc主要取決于側向約束強度fl(即FRP對混凝土提供的側向約束應力)，其表達式為

(1)

其中，

εh.rup=kεεfrp

式中：Ef為FRP的彈性模量；tf為FRP的實際厚度；D為混凝土圓柱的直徑；εh.rup為FRP的有效極限拉應變；εfrp為FRP的名義極限拉應變；kε為由于混凝土開裂處應力集中等原因導致FRP提前斷裂的折減系數。

不同的學者對kε取值有所不同。其中，Carey and Harries[14]建議取0.57～0.61，而Lam and Teng[6]建議取0.586，敬登虎[15]建議FRP約束混凝土圓柱取0.65。而Ozbakkaloglu 和Akin[16]則認為kε不應為一個定值，其取值與未約束混凝土的強度、FRP的彈性模量有關，其表達式為

kε=0.9-2.3fco×10-3-0.75Ef×10-6

(2)

式中：fco為未約束混凝土的峰值應力。

試驗研究發現，初應力會降低FRP約束混凝土柱的峰值應力與峰值應變，且降低幅度是初應力的函數。本文收集到有初應力的FRP約束混凝土圓柱軸壓試驗數據103個，初應力水平大多在0.0～0.7之間，其具體信息見表1。

表1　試驗數據概況

通過對收集到的103個試驗數據進行回歸分析，并引入峰值應力影響因子kf，建立有初應力的峰值應力計算公式，其表達式為

(3)

其中，

式中：n為初應力水平，即初應力與未約束混凝土峰值應力的比值。

同峰值應力計算公式的建立方法，引入峰值應變影響因子kε，建立有初應力的峰值應變計算公式，其表達式為

(4)

其中，

kε=(1-n8.4)2.67

式中：El為FRP側向約束剛度；εco為未約束混凝土的峰值應變；Eco為未約束混凝土的彈性模量。

由表1中的構件基本參數和式(3)和式(4)計算得到峰值應力、峰值應變，并與試驗結果比較，二者的誤差基本都在20%以內，如圖1所示。其中，峰值應力的預測效果整體優于峰值應變。這主要有2個原因，其一是應變測量主要通過應變儀或電阻應變片獲得，測量精度較應力差一些；其二是峰值應變不僅與側向約束應力有關，而且與FRP的種類有關，而峰值應力基本與FRP的種類無關[17]。因此，多數既有計算模型對峰值應力的預測均好于峰值應變。

圖1　本文計算值與試驗值的比較

為了驗證峰值應力和峰值應變計算公式的準確性，根據收集到的試驗數據，本文通過平均絕對誤差、(計算值/試驗值)的平均值和變異系數，對本文計算公式和有代表性的現有計算公式進行評估，其中，平均絕對誤差、(計算值/試驗值)的變異系數定義如下

(5)

(6)

對峰值應力和峰值應變計算公式的評估結果見表2。由表2可知，本文計算公式的預測效果整體優于其他的現有計算公式。

表2　峰值應力和峰值應變計算公式的比較

2　軸向—側向應變關系

FRP約束混凝土研究的基礎問題之一是如何確定其軸向—側向應變關系。國內外學者對此問題進行了大量的研究[5,9,18]。本文定義側向膨脹系數μ為側向應變和軸向應變之比，其表達式為

(7)

式中：εl為混凝土的側向應變，其與混凝土環向應變相等；εc為混凝土的軸向應變。

在FRP與混凝土之間粘接牢固且無任何相對滑移的條件下，混凝土的側向應變與FRP的環向拉應變相等，即εh=εl。

已有試驗研究表明，加載初期由于軸向壓力較小，FRP基本不發揮作用，其側向膨脹系數μ類似于無約束混凝土的泊松比ν，約為0.2[19]；隨著σc和εc的增加，混凝土側向不斷膨脹，μ隨著增大，直至FRP側向約束作用被充分發揮出來，μ將逐漸趨于穩定，其穩定值主要由側向約束強度決定[20]。多數軸向—側向應變關系模型未考慮初應力的影響，而文獻[21]認為側向膨脹系數μ的穩定值μu不僅與FRP的側向約束強度有關，還與初應力水平有關，其表達式為

(8)

根據公式(8)，并結合FRP約束混凝土柱軸向—側向應變關系的發展規律，本文建立了有初應力的側向膨脹系數μ計算公式，其表達式為

(9)

將式(9)與文獻[5]的Teng模型、文獻[11]的試驗數據進行比較，如圖2所示。由圖2比較可知，本文給出的計算公式不僅比Teng模型的公式簡單，而且有較好的計算精度。

圖2　軸向—側向應變計算模型的比較

3　有初應力的分析型模型

Mirmiran認為FRP約束混凝土在每個給定的側向約束作用下等同于1個主動約束狀態，即可先給1個側向約束應力，基于主動約束的本構關系，便可得該側向約束應力下的軸向應力和應變點，然后采用增量迭代可得到更多的點，最后將不同側向約束應力下的應力和應變點連起來[22]，便可得完整的FRP約束混凝土應力—應變曲線，如圖3所示。由于箍筋屈服后所提供的側向約束應力不變，等同于主動約束狀態，因此本文采用Mander的箍筋約束混凝土本構模型作為FRP約束混凝土的主動約束方程，其表達式為

(10)

式中：σc為混凝土的軸向應力；r為混凝土的脆性系數，r=Ec/(Ec-fcc/εcc)；其余符號與前文相同。

圖3　分析模型計算示意

根據上述提出的峰值應力和峰值應變計算公式及側向膨脹系數μ的計算公式，基于Mander主動約束方程，采用增量迭代方法，建立有初應力的應力—應變分析型模型，具體計算步驟如下。

(1)給定1個約束混凝土圓柱的軸向應變εc，i(i=1，2，…)。

(2)通過描述軸向—側向應變關系的式(9)，得到軸向應變εc，i對應的側向應變εl，i。

(3)通過混凝土與FRP的應變協調條件，即εh，i=εl，i，得到FRP的應變εh，i。

(4)由式(1)計算應變εh，i下FRP對混凝土的側向約束力fl，i。

(5)將fl，i和初應力水平n代入式(3)—式(4)，計算當前側向約束力fl，i下對應的峰值應力fcc和峰值應變εcc。

(6)將fcc和εcc代入式(10)，計算本次εc，i對應的σc，i，得到應力—應變曲線上的1個點。

(7)逐步加大εc，i，重復步驟(1)—步驟(6)，即可得到應力—應變關系曲線上更多的點。

(8)直至εh，i大于εh.rup，結束迭代過程，得到完整的應力—應變關系曲線。

本文在Visual Basic 6.0編譯器下開發了相應的計算程序，實現了該方法。

4　分析型模型的驗證與比較

4.1　分析型模型的驗證

為驗證本文分析型模型的正確性，取與初應力水平n=0.00～0.71對應的試驗數據進行計算，并將計算得到的曲線與試驗得到的曲線進行比較，限于篇幅，本文僅列出部分比較結果，如圖4所示。

圖4　本文模型計算曲線與試驗曲線的比較

由圖4可知，除個別構件的計算結果與試驗結果的誤差稍大外，大多數分析型模型的計算曲線與試驗曲線吻合較好，且計算值整體略小于試驗值，偏于安全。這說明本文建立的分析型模型可以較好地考慮不同初應力對應力—應變曲線的影響。

4.2　分析型模型的比較

為了檢查本文分析型模型的適用性，將本文的分析型模型與文獻[2,3,18,21]中分析型或設計型模型和收集的試驗數據進行比較，限于篇幅，本文僅列出初應力水平n較高的結果，如圖5所示。相比既有模型，由于考慮了初應力水平的影響，本文的分析型模型計算曲線與試驗曲線整體吻合較好，峰值應力和峰值應變與試驗值的誤差也較小，優于部分既有模型。

圖5　本文模型與既有模型的比較

5　結　語

(1)考慮不同的初應力水平，引入峰值應力和峰值應變影響因子，所建立的峰值應力與峰值應變的計算公式能較好考慮初應力的影響，與試驗結果的誤差小于20%。

(2)建立了1個考慮初應力影響的軸向—側向應變關系的三折線計算模型，該模型能較好地預測FRP約束混凝土圓柱側向膨脹的變化規律。

(3)建立的分析型模型計算曲線與試驗曲線吻合較好，比其他的既有模型有更好的預測精度。

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