高速列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性模型

劉德昆，李　強(qiáng)，林浩博，趙方偉

(1.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京　100044；2.中國鐵道科學(xué)研究院 金屬及化學(xué)研究所，北京　100081)

結(jié)構(gòu)強(qiáng)度安全性是高速列車發(fā)展的關(guān)鍵課題之一。國內(nèi)外大量研究表明，鐵道車輛部件的破壞形式多為隨機(jī)載荷作用所引起的疲勞破壞[1-2]。隨著我國高速鐵路飛速發(fā)展，對高速列車關(guān)鍵零部件結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞可靠性研究，保證其具有足夠的疲勞強(qiáng)度顯得尤為重要。

傳統(tǒng)的機(jī)械零部件可靠性研究多是以靜強(qiáng)度失效問題為背景，采用應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型[3]可以方便地計(jì)算靜強(qiáng)度失效的概率和可靠度，但嚴(yán)格地講，傳統(tǒng)研究涉及的是一次性載荷引起失效的情形，計(jì)算的是靜態(tài)概率指標(biāo)，沒有直接反映出可靠度隨時間的變化，不能很好地滿足復(fù)雜載荷下可靠性分析的需要。對于復(fù)雜載荷下的疲勞可靠性問題，其分析方法方面的研究還在不斷發(fā)展，有不少學(xué)者拓展了干涉分析的概念，提出了各種可靠性模型。Kececioglu等[4]針對載荷下的疲勞可靠性問題提出了壽命等效—條件可靠度模型；熊峻江等[5-6]在試驗(yàn)觀測結(jié)果的基礎(chǔ)上，分別提出了基于應(yīng)力和應(yīng)變控制的復(fù)合材料疲勞剩余強(qiáng)度評估模型，并建立起可靠性測定方法；王正等[7]建立了能反映載荷作用次數(shù)影響的可靠性模型，但所依據(jù)的只是1個載荷歷程樣本，未能全面地反映載荷歷程的不確定性；謝里陽等[8]提出了不確定性載荷作用下對載荷統(tǒng)計(jì)加權(quán)平均的異量綱干涉模型；胡俏等[9]提出了復(fù)雜隨機(jī)載荷的“縱向分布”和“橫向分布”等概念以及以相對Miner法則為基礎(chǔ)的可靠性計(jì)算方法；趙永翔等[10]提出了考慮疲勞本構(gòu)隨機(jī)性的結(jié)構(gòu)疲勞可靠性分析方法。

上述疲勞可靠性問題的研究均以恒幅循環(huán)應(yīng)力下的疲勞可靠性計(jì)算為基礎(chǔ)，而在工程實(shí)際中高速列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架所受的載荷是隨機(jī)變幅的復(fù)雜載荷，而且其上的應(yīng)力也是復(fù)雜變化的，其應(yīng)力分布很難得到；另外，在隨機(jī)變幅載荷下構(gòu)架結(jié)構(gòu)的許用疲勞強(qiáng)度分布也很難確定。本文通過高速列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架相同材料焊縫結(jié)構(gòu)的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到指定壽命下的疲勞強(qiáng)度分布；再將實(shí)際測試數(shù)據(jù)中的隨機(jī)復(fù)雜應(yīng)力—時間歷程通過等損傷原則轉(zhuǎn)換為恒幅對稱循環(huán)應(yīng)力，進(jìn)而得到指定壽命下的等效應(yīng)力分布；再以等效應(yīng)力小于疲勞強(qiáng)度為疲勞破壞判據(jù)，建立等效應(yīng)力—疲勞強(qiáng)度可靠性模型，給出構(gòu)架結(jié)構(gòu)的可靠度計(jì)算方法，并由此得到可靠度與服役壽命之間的關(guān)系。

1　等效應(yīng)力—疲勞強(qiáng)度可靠性模型

1.1　疲勞強(qiáng)度

疲勞強(qiáng)度是指結(jié)構(gòu)在達(dá)到某一指定使用壽命時所能承受的應(yīng)力，結(jié)構(gòu)的疲勞強(qiáng)度具有一定的分散性，其分布規(guī)律直接影響結(jié)構(gòu)的可靠性。大量疲勞試驗(yàn)表明，當(dāng)結(jié)構(gòu)的疲勞壽命恒定時，其疲勞強(qiáng)度服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。

對于高速列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架，可根據(jù)小樣本結(jié)構(gòu)疲勞試驗(yàn)得到的應(yīng)力—壽命(S—N)曲線關(guān)系，將其所受的應(yīng)力換算為破壞壽命(循環(huán)加載次數(shù))下的疲勞強(qiáng)度[11]，再采用相對適宜的對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)得出疲勞強(qiáng)度的分布。具體方法如下：假設(shè)轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的疲勞強(qiáng)度在其S—N曲線的傾斜和水平部具有相同的分布，通過換算可將曲線中大于和小于某一指定壽命N所對應(yīng)的試驗(yàn)應(yīng)力S分別換算為與N對應(yīng)的疲勞強(qiáng)度SN，因疲勞設(shè)計(jì)與工程實(shí)況存在差異，還需要考慮轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的安全系數(shù)nσ，則

(1)

式中：Nf為試樣被破壞時對應(yīng)的壽命，即破壞壽命；m為S—N曲線中斜率的負(fù)倒數(shù)，可由試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過最小二乘法擬合得到。

由疲勞強(qiáng)度數(shù)據(jù)可統(tǒng)計(jì)其分布，得到轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的焊縫結(jié)構(gòu)在指定壽命下疲勞強(qiáng)度的概率密度函數(shù)f(SN)。

1.2　等效應(yīng)力

工程實(shí)際中高速列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架承受著復(fù)雜的變幅應(yīng)力，而對于復(fù)雜應(yīng)力作用下構(gòu)架結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性問題，可以采用基于應(yīng)力歷程循環(huán)計(jì)數(shù)的分析方法進(jìn)行研究，即將實(shí)測應(yīng)力時間歷程通過統(tǒng)計(jì)方法(如雙參數(shù)雨流計(jì)數(shù)法)編制應(yīng)力譜，再根據(jù)疲勞損傷等效原則將應(yīng)力譜轉(zhuǎn)換為等效恒幅對稱循環(huán)應(yīng)力(應(yīng)力比為-1)，即等效應(yīng)力。

實(shí)測的S—N曲線方程采用冪函數(shù)表達(dá)式，為

S′mN=C

(2)

式中：S′為循環(huán)應(yīng)力；C為常數(shù)。

由式(2)和Miner準(zhǔn)則[12]及實(shí)測的轉(zhuǎn)向架構(gòu)架應(yīng)力—時間歷程編制k級應(yīng)力譜，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的損傷D為

(3)

對于鐵道車輛，一般是以其運(yùn)行總里程或使用年限描述服役壽命，則在高速列車服役壽命內(nèi)轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)的總損傷D1為

(4)

式中：L1為實(shí)測應(yīng)力時間歷程的列車運(yùn)行公里數(shù)，km；L為高速列車服役壽命，km。

設(shè)采用幅值為Seq的等效應(yīng)力進(jìn)行恒幅對稱循環(huán)加載N次，則轉(zhuǎn)向架構(gòu)架產(chǎn)生的損傷D2為

(5)

按疲勞損傷等效原則(即D1=D2)及式(4)和式(5)，得等效應(yīng)力Seq為

(6)

將若干個實(shí)測應(yīng)力時間歷程數(shù)據(jù)通過上述方法計(jì)算得到等效應(yīng)力樣本，并統(tǒng)計(jì)其分布，可得到構(gòu)架焊縫結(jié)構(gòu)在指定壽命下等效應(yīng)力的概率密度函數(shù)h(Seq)。

1.3　可靠性模型

應(yīng)力—強(qiáng)度干涉理論被廣泛應(yīng)用于機(jī)械零件結(jié)構(gòu)的可靠性分析，其基本原理是當(dāng)應(yīng)力和強(qiáng)度都具有隨機(jī)性時，利用全概率公式計(jì)算應(yīng)力小于強(qiáng)度的概率，即可靠度。應(yīng)力—強(qiáng)度干涉理論的本質(zhì)是比較2個隨機(jī)變量的相對大小，并從數(shù)學(xué)上可以清晰、準(zhǔn)確地計(jì)算出一個隨機(jī)變量大于另一個隨機(jī)變量的概率。等效應(yīng)力與疲勞強(qiáng)度都是獨(dú)立隨機(jī)變量，具有分散性，也是在一定范圍內(nèi)按統(tǒng)計(jì)規(guī)律分布的，且存在干涉關(guān)系，因此基于應(yīng)力—強(qiáng)度干涉理論，利用得到的等效應(yīng)力和疲勞強(qiáng)度的概率密度函數(shù)，就可以得到轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的可靠度R為R=P(SN>Seq)=

(7)

式中：P(SN>Seq)為疲勞強(qiáng)度大于等效應(yīng)力的概率。

在工程實(shí)際中，上式中所涉及的等效應(yīng)力和疲勞強(qiáng)度這2個變量都隱含了時間因素，同時由于等效應(yīng)力的分布規(guī)律隨時間而變化，因此結(jié)構(gòu)的可靠度顯然也應(yīng)當(dāng)隨服役時間而變化。當(dāng)疲勞強(qiáng)度退化不明顯時，結(jié)合式(7)可得到高速列車服役壽命為L時的可靠度R(L)為

f(SN，N)dSN

(8)

干涉的2個變量均可由實(shí)測數(shù)據(jù)獲得，等效應(yīng)力是由實(shí)測復(fù)雜隨機(jī)應(yīng)力通過等損傷原則等效成指定壽命為N時的對稱恒幅循環(huán)應(yīng)力，疲勞強(qiáng)度則是由疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過局部S—N曲線關(guān)系轉(zhuǎn)換成指定壽命同樣為N的疲勞強(qiáng)度。由于兩者是在相同壽命下的隨機(jī)變量，這樣就能進(jìn)行干涉比較。一般認(rèn)為在不同的循環(huán)加載次數(shù)下，等效應(yīng)力和疲勞強(qiáng)度的分布類型不變，因此，模型中可靠度與等效換算時指定壽命N的取值無關(guān)。

2　實(shí)例驗(yàn)證

2.1　疲勞強(qiáng)度分布

高速列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架采用焊接結(jié)構(gòu)，可采用焊接鋼板疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行其疲勞強(qiáng)度的分析。疲勞試驗(yàn)使用的加載方式為對稱循環(huán)加載，應(yīng)力比r=-1。焊接試樣的形狀和尺寸如圖1所示。

圖1　焊接試樣的形狀和尺寸(單位：mm)

依據(jù)機(jī)械設(shè)計(jì)手冊，由于轉(zhuǎn)向架構(gòu)架為重要零件，因此其安全系數(shù)nσ取為1.8。假設(shè)在不同的循環(huán)加載次數(shù)下疲勞強(qiáng)度的分布相同，且不考慮疲勞強(qiáng)度退化因素，則根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和最小二乘法推定出參數(shù)m=3.86，再由式(1)將試驗(yàn)數(shù)據(jù)換算成指定破壞壽命N=200萬次時的疲勞強(qiáng)度(未折斷數(shù)據(jù)直接按破壞壽命為200萬次計(jì)算)，見表1。

將換算得到的指定破壞壽命為200萬次的疲勞強(qiáng)度記為x1,x2,…,xn，其中n為疲勞強(qiáng)度樣本的數(shù)量。假設(shè)疲勞強(qiáng)度服從對數(shù)正態(tài)分布，則對該組數(shù)據(jù)進(jìn)行J-B假設(shè)檢驗(yàn)，有

(9)

表1焊縫結(jié)構(gòu)疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)及指定破壞壽命下的疲勞強(qiáng)度

加載區(qū)應(yīng)力S/MPa破壞壽命Nf/萬次疲勞強(qiáng)度SN/MPa有限壽命區(qū)域156 00181 0484 46142 6379 4097 2071 8978 6768 0671 4366 3862 3164 07163 0052 2063 9444 0661 1939 9259 6531 8556 2630 8655 8024 9652 82170 0057 0968 2556 4968 0747 1364 9433 2759 3432 6759 0732 3858 9331 3758 4523 7054 3514 9748 2613 2246 72疲勞極限區(qū)域130 6064 9454 22125 8039 2745 84125 8053 6549 70121 0054 3947 97125 8087 1256 35130 6040 9648 11135 4043 7850 75125 80未折斷69 89121 00未折斷67 22116 20未折斷64 56121 00未折斷67 22121 00未折斷67 22125 80未折斷69 89125 80未折斷69 89130 60未折斷72 56

式中：JB為假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)統(tǒng)計(jì)量；sk為樣本的偏度系數(shù)；κ為樣本的峰度系數(shù)。

設(shè)定檢驗(yàn)水準(zhǔn)為0.05，計(jì)算得到被校檢數(shù)據(jù)的校驗(yàn)水準(zhǔn)為0.5(>0.05)，接受假設(shè)。為了得到疲勞強(qiáng)度分布的概率密度函數(shù)，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到分布參數(shù)。由t分布與卡方分布理論可知，均值μ與方差σ的置信區(qū)間分別為

(10)

[σmin，σmax]=

(11)

其中，

式中：α為置信度。

在99%置信度下，即α=0.01時，由式(10)和式(11)得到均值下限μmin=4.04、方差上限σmax=0.22，則疲勞強(qiáng)度分布的概率密度函數(shù)為

(12)

疲勞強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)在對數(shù)正態(tài)分布下的擬合效果如圖2所示。

圖2　疲勞強(qiáng)度數(shù)據(jù)擬合概率圖

2.2　等效應(yīng)力分布

在某型高速列車的實(shí)車試驗(yàn)中，采用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對動力轉(zhuǎn)向架構(gòu)架焊縫結(jié)構(gòu)若干個關(guān)鍵部位(測點(diǎn))進(jìn)行了連續(xù)2 a的跟蹤測試，采樣頻率為500 Hz，獲取了大量的構(gòu)架應(yīng)力測試數(shù)據(jù)。從中選取構(gòu)架上橫側(cè)梁連接處1個典型測點(diǎn)的測試數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析，該測點(diǎn)的位置如圖3所示。

圖3　典型測點(diǎn)位置

在相同的線路和正常的運(yùn)營條件下選取由該典型測點(diǎn)測得的56個應(yīng)力—時間歷程作為計(jì)算數(shù)據(jù)，其中某個測試應(yīng)力—時間歷程樣本如圖4所示。

圖4　某個測試應(yīng)力—時間歷程樣本

采用雙參數(shù)雨流計(jì)數(shù)法對測試應(yīng)力—時間歷程進(jìn)行計(jì)數(shù)處理，盡管鐵道車輛轉(zhuǎn)向架構(gòu)架應(yīng)力譜的特性通常采用8或者16級譜，但是為了使損傷計(jì)算更為精確，設(shè)定應(yīng)力譜級數(shù)為64級，且計(jì)算等效應(yīng)力時m的取值與計(jì)算疲勞強(qiáng)度時相同，則由式(6)得到高速列車服役壽命為1 200萬km時的56個等效應(yīng)力，見表2。

表2　高速列車服役壽命為1 200萬km時的等效應(yīng)力Seq　MPa

續(xù)表2

假設(shè)該典型測點(diǎn)的等效應(yīng)力服從正態(tài)分布，同樣對該組數(shù)據(jù)進(jìn)行J-B假設(shè)檢驗(yàn)，計(jì)算得到數(shù)據(jù)的校驗(yàn)水準(zhǔn)為0.26，大于設(shè)定的檢驗(yàn)水準(zhǔn)0.05，接受假設(shè)。為了更直觀地表現(xiàn)數(shù)據(jù)的正態(tài)性，以組距為0.5進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)，得到等效應(yīng)力的概率直方圖及正態(tài)擬合曲線如圖5所示。

圖5　等效應(yīng)力幅概率直方圖及正態(tài)擬合曲線

采用與上述疲勞強(qiáng)度概率密度函數(shù)計(jì)算相同的方法確定分布參數(shù)，取α=0.01(置信度為99%)，可計(jì)算得到μmin=32.7，σmax=1.03，擬合得到等效應(yīng)力的概率密度函數(shù)為

(13)

2.3　可靠度計(jì)算

2.3.1指定服役壽命下的可靠度計(jì)算

由式(7)、式(12)和式(13)可得轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)的可靠度為

(14)

根據(jù)式(14)，得到轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)力與疲勞強(qiáng)度的干涉關(guān)系如圖6所示。

圖6　等效應(yīng)力—疲勞強(qiáng)度干涉關(guān)系圖

由圖6可以看出：等效應(yīng)力的分散性比疲勞強(qiáng)度的小很多，這主要是因?yàn)榈刃?yīng)力反映的是構(gòu)架的受載條件，計(jì)算等效應(yīng)力時所用的應(yīng)力—時間歷程樣本是在相同線路、同樣的列車運(yùn)營條件下采集的，所以分散性較??；疲勞強(qiáng)度反映的是構(gòu)架抵抗疲勞破壞的能力，由于材料本身具有一定的分散性，且構(gòu)架制造焊接過程中的隨機(jī)因素也很多，因此就導(dǎo)致疲勞強(qiáng)度的分布有較大的分散性。

由式(14)計(jì)算得到實(shí)際運(yùn)營條件下，構(gòu)架橫側(cè)梁連接處在高速列車服役壽命L=1 200萬km時的可靠度R=99.36%，總置信度α總=0.99×0.99=0.980 1。從計(jì)算結(jié)果看，目前該型高速列車構(gòu)架結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)較高。

2.3.2隨服役壽命變化的可靠度

由式(6)可知，等效應(yīng)力與高速列車服役壽命L有關(guān)，當(dāng)L變化時，等效應(yīng)力也變化。當(dāng)L是未知變量時，等效應(yīng)力變?yōu)榘琇的表達(dá)式，同樣可得到等效應(yīng)力分布的μmin和σmax，分布參數(shù)均是包含L的表達(dá)式。由式(13)可得與服役壽命L相關(guān)的等效應(yīng)力概率密度函數(shù)為

(15)

進(jìn)而由式(8)可得到隨高速列車服役壽命L變化的可靠度為

(16)

通過Matlab軟件計(jì)算R(L)，得到該測點(diǎn)可靠度隨服役壽命L變化的曲線，如圖7所示。

圖7　構(gòu)架結(jié)構(gòu)可靠度隨服役壽命變化的曲線

圖7真實(shí)地反映可靠度與高速列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架服役壽命之間的關(guān)系，可靠度隨服役壽命的增加而減小，其走勢與實(shí)際情況相吻合，表明本文提出的等效應(yīng)力—疲勞強(qiáng)度可靠性模型可用于預(yù)測不同服役壽命下構(gòu)架焊縫結(jié)構(gòu)的可靠性。

隨服役壽命變化的疲勞可靠度是與線路及高速列車的運(yùn)營條件息息相關(guān)的。通常情況下，高速列車在全壽命周期內(nèi)不會只在某一條線路上運(yùn)營，此時可根據(jù)全壽命周期內(nèi)不同線路運(yùn)營的權(quán)重比，對不同線路的等效應(yīng)力以權(quán)重比進(jìn)行等效替換。而不同線路的等效應(yīng)力也可通過不同線路的跟蹤試驗(yàn)獲得或者通過類比方法獲得，即對比不同線路工況條件，找出其與測試線路的對比系數(shù)，由對比系數(shù)計(jì)算不同線路段的等效應(yīng)力。另外，因被跟蹤測試的構(gòu)架焊縫結(jié)構(gòu)與實(shí)驗(yàn)室疲勞試驗(yàn)的焊接接頭試樣存在一定的差異性，在工程實(shí)際中可用更多試驗(yàn)確定的差異系數(shù)描述這種差異。

3　結(jié)　語

(1) 建立了高速列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的等效應(yīng)力—疲勞強(qiáng)度可靠性模型，該可靠性模型直接反映了可靠度與結(jié)構(gòu)應(yīng)力和疲勞強(qiáng)度之間的關(guān)系，在已知應(yīng)力和疲勞強(qiáng)度相關(guān)數(shù)據(jù)的條件下，可運(yùn)用該模型計(jì)算任意時刻(服役壽命)下構(gòu)架的可靠度。

(2) 在相同的指定壽命下，等效應(yīng)力與疲勞強(qiáng)度存在干涉關(guān)系，且等效應(yīng)力的分散性比疲勞強(qiáng)度的分散性小。

(3) 基于實(shí)測數(shù)據(jù)對高速列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架橫側(cè)梁連接處可靠度的計(jì)算結(jié)果表明，該焊接構(gòu)架結(jié)構(gòu)在1 200萬km服役壽命下的可靠度為99.36%，該結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)較高。

[1]王紅，劉萬選，商躍進(jìn). 基于熱點(diǎn)應(yīng)力的國產(chǎn)化Y25型轉(zhuǎn)向架焊接構(gòu)架疲勞強(qiáng)度分析[J].中國鐵道科學(xué)，2013，34(4)：66-70.

(WANG Hong，LIU Wanxuan，SHANG Yuejin. Fatigue Strength Analysis on Welded Frame of Domestic Y25 Bogie Based on Hot Spot Stress [J]. China Railway Science，2013，34(4)：66-70. in Chinese)

[2]秦國棟，劉志明，崔二光，等. 提速轉(zhuǎn)向架焊接構(gòu)架疲勞壽命的實(shí)用分析方法[J].中國鐵道科學(xué)，2004，25(1)：46-51.

(QIN Guodong，LIU Zhiming，CUI Erguang，et al. Practical Analysis Method for Fatigue Life of Welded Frame of Speed-up Bogie [J]. China Railway Science，2004，25(1)：46-51. in Chinese)

[3]謝里陽，王正，周金宇，等. 機(jī)械可靠性基本理論與方法 [M]. 2版. 北京：科學(xué)出版社，2012.

[4]KECECIOGLU D，CHESTER L B，GARDNE E O. Sequential Cumulative Fatigue Reliability [C] // 1974 Annual Reliability and Maintainability Symposium Conference. New York：IEEE，1974：533-539.

[5]XIONG Junjiang，SHENOI R A. Two New Practical Models for Estimating Reliability-Based Fatigue Strength of Composites [J]. Journal of Composite Materials，2004，38(14)：1187-1209.

[6]XIONG Junjiang，LI Hongyun，ZENG Benyin. A Strain-Based Residual Strength Model of Carbon Fibre/Epoxy Composites Based on CAI and Fatigue Residual Strength Concepts [J]. Composite Structures，2008,85(1)：29-42.

[7]王正，謝里陽. 不確定性載荷作用下的零件時變可靠性模型[J]. 航空學(xué)報(bào)，2009，30(7)：1243-1247.

(WANG Zheng，XIE Liyang. Time-Variant Reliability Model of Components under Uncertain Loads [J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2009，30(7)：1243-1247. in Chinese)

[8]XIE Liyang，ZHOU Jinyu，WANG Yongyan，et al. Load-Strength Order Statistics Interference Models for System Reliability Evaluation [J]. International Journal of Performability Engineering，2005，1(1)：23-36.

[9]胡俏，徐灝，謝里陽. 疲勞應(yīng)力統(tǒng)計(jì)分布與可靠度計(jì)算模型[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，1994，30(2)：105-110.

(HU Qiao，XU Hao，XIE Liyang. Fatigue Stress Statistical Distribution and Reliability Calculation Model [J]. Journal of Mechanical Engineering，1994，30(2)：105-110. in Chinese)

[10]趙永翔，彭佳純，楊冰，等. 考慮疲勞本構(gòu)隨機(jī)性的結(jié)構(gòu)應(yīng)力疲勞可靠性分析方法[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42(12)：36-41.

(ZHAO Yongxiang，PENG Jiachun，YANG Bing，et al. Structural Stress-Based Fatigue Reliability Analysis Considering the Random Cyclic Constitutions[J]. Journal of Mechanical Engineering，2006，42(12)：36-41. in Chinese)

[11]張艷斌，魯連濤，張繼旺，等. 基于小樣本耐久強(qiáng)度區(qū)的疲勞失效數(shù)據(jù)推定車軸鋼的疲勞強(qiáng)度分布[J].機(jī)械，2008，35(9)：11-15.

(ZHANG Yanbin，LU Liantao，ZHANG Jiwang，et al. Estimation of the Fatigue Strength Distribution of 50# Railway Axle Steel Based on the Fatigue Failure Data of a Small Sample [J]. Machinery，2008，35(9)：11-15. in Chinese)

[12]MINER M A. Cumulative Damage in fatigue [J]. Journal of Applied Mechanics，1945，12(3)：159-164.