高速鐵路旅客出行需求集聚下的列車經停比優化方法

史　峰，李禎怡，趙　爍，單杏花

(1.中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙　410075；2.中國鐵道科學研究院 電子計算技術研究所，北京　100081)

高速鐵路列車運行組織中，列車停站方案優化是一個既重要、又復雜、且重視不夠、研究積累還非常薄弱的問題。該問題的重要性表現為直接影響到旅客出行的便捷程度和出行時間的長短，直觀上看，若列車停站次數越多，則旅客可搭乘的列車越多，但列車旅行時間越長，否則旅客可搭乘的列車越少，但列車旅行時間越短。其復雜性表現為每1列列車通過每個車站時都存在是否停站的0-1決策，所有列車在沿途各站是否停站的0-1決策組合構成非常龐大的離散決策空間，優化搜索的工作量極大。重視不夠表現為停站優化是列車開行方案優化問題的子問題，而列車開行方案還包括列車開行徑路、數量、列車等級和編組等內容，在涉及諸多重要因素的列車開行方案優化研究中，對列車開行數量、徑路和列車編組更加重視，對停站方案往往只假設為幾種簡單的模式。研究積累還非常薄弱的原因除與前2個因素直接相關外，還由于列車停站優化問題的獨立性不強，難于從整體優化問題中剝離出來。

列車停站方案優化問題的相關研究主要集中在3個方面。其一，停站方案與列車開行方案的綜合優化。文獻[1,2]將車站和列車都劃分為3個級別，規定每個級別的列車在低級別的車站不停車、在同級別和高級別的車站全停車，并在這種固定停站模式下優化列車開行方案。文獻[3,4]基于列車備選集優化列車開行方案，其中列車備選集中包括了備選列車的停站和其他信息，最終選擇的所有備選列車及其開行頻率確定了列車停站方案。文獻[5]在列車開行方案的優化模型中包括了列車停站策略，用客流分配對包括停站方案在內的列車開行方案進行整體評價，在優化列車開行方案的同時優化停站方案。其二，列車停站方案與列車時刻表綜合優化。文獻[6]在列車時刻表優化問題中引入列車是否服務于O-D對的決策變量，線路上每個O-D對的服務列車數達到下限要求，目標函數中增加了列車停站總數的加權負效用，并采用列生成法求解模型。文獻[7]在列車時刻表優化問題中引入列車是否在車站停車的決策變量，每個車站停車的列車數達到下限要求，停站列車在該站分配的載客能力達到該站的發送量要求，并以最小化列車停站總時間為目標函數對停站方案實現了控制。其三，給定所有列車運行徑路優化停站方案。文獻[8]以鐵路網絡為研究背景，建立了優化列車停站方案的雙層規劃模型，上層規劃在停站數量上限約束下優化停站方案，使得廣義出行費用最小化；下層規劃在給定停站方案基礎上進行客流分配，并采用模擬退火方法對列車停站方案進行搜索。文獻[9]以列車在車站停車與否為決策變量，列車的停站數滿足上下限約束，在車站停車的列車數滿足下限約束，以2類列車的停站成本最小化和每個O-D對可達方案數的加權平均值最大化為優化目標，其中每類列車在車站的停車成本為固定常數，可達方案包括直達和1次換乘2種形式，可達方案數的權值按照各O-D需求所占份額確定，并利用混合遺傳算法進行求解。文獻[10]以列車是否在車站停車為0-1決策變量，每個車站停車的列車數滿足上下限要求，線路上每個O-D對的服務列車數滿足下限要求，并給出了該下限值的估計方法，以最小化所有列車的停站總數為目標，建立列車停站方案的優化模型；通過松弛0-1決策變量為連續變量求解線性規劃，并按照一定的閾值進整和舍零求解模型。文獻[11]針對不確定性出行需求，要求所有列車在給定車站的到發能力分別達到規定標準的置信水平條件下滿足下限約束，G字頭和D字頭動車組在給定車站分別滿足下限停站次數約束，并且共同滿足上限停站次數約束條件下，謀求列車總停站數最小化。

列車在車站的停站概率簡稱為列車經停比。經停比描述了列車停站的疏密程度，是列車停站方案的重要屬性。本文以高鐵線路為背景，從最優經停比的角度研究列車停站方案優化問題。考慮到省會城市(包括直轄市)和地級市(或地區政府所在城市)高鐵旅客出行需求的集聚特征，對出行需求進行分類。在省、地兩級行政區內不同列車停站密度較均勻的約束下，將旅客上車時間分解為旅客出行時間偏差、列車停站時間和列車起停附加時間(簡稱為停站及附加時間)，構建最小化人均出行時間的列車經停比優化模型，利用最優經停比可獲得各需求類每個O-D對的平均服務列車數。并通過京滬高鐵的實例，分析驗證該優化方法的有效性。

1　列車經停比優化問題

考慮到列車經停比優化問題是列車開行方案優化問題的子問題，我們從列車開行方案優化問題出發，在若干假設條件下，提出列車經停比優化問題。

眾所周知，高速鐵路列車開行方案優化問題可基本描述為：給定高速鐵路網絡結構及線路通過能力、可支配的動車組總里程和旅客出行需求，在給定的旅客服務水平條件下，以旅客人均出行時間最少為目標，求解最優列車開行方案。

在上述列車開行方案優化問題中，高速鐵路網絡結構可以是單條高速鐵路線路，也可以是任意網絡；線路通過能力和可支配的動車組總里程共同表現為運輸能力；不同O-D對的旅客出行需求在全天運營時間內具有不同的分布特征；旅客服務水平表現為列車客座利用率下限等標準。

為了簡潔描述列車經停比優化問題，針對列車開行方案優化問題中的各個要素，提出如下假設條件。

(1) 僅限于高速鐵路上列車經停比優化問題的研究；

(2) 對于高速鐵路沿線的縣、地級車站(位于縣政府或地級市政府所在城市的車站)，同地級市的地級車站和同省的省級車站(位于省會城市或直轄市的車站)也在這條高速鐵路上；

(3) 線路上開行的列車具有相同的編組，運輸能力能夠滿足旅客出行需求；

(4) 在運營時間內，所有O-D對不同類別的旅客出行需求都服從均勻分布；

(5) 在每條高鐵線路上，列車的追蹤運行間隔時間是個定值；

(6) 只考慮旅客直達出行方案(不考慮旅客換乘出行)；

(7) 不同省級車站的列車經停比相互獨立，每個省級車站的列車經停比獨立同分布。列車在省級車站停車與否確定后，在同省的地級車站的列車經停比也獨立同分布；在地級車站停車與否確定后，在同地級市的縣級車站的列車經停比同樣獨立同分布。

現實中的高速鐵路線路不一定滿足假設條件(2)，但只要根據相關車站客流量的大小，采用歸并(到相鄰省份)、升級(升級為省地級車站)或降級(降級為地縣級車站)的方法進行調整，便可使假設條件(2)得到滿足。

在假設條件下，如果再給定所有列車的開行徑路，列車開行方案優化問題中只剩下列車停站方案沒有確定。這樣就可描述高鐵列車經停比優化問題如下。

給定高速鐵路線路、所有列車的開行徑路和旅客出行需求，在假設條件的約束下，以旅客人均出行時間最小化為目標，求解最優列車經停比。

根據假設條件，只考慮旅客直達出行方案，則旅客出行時間由2部分組成，即上車時間偏差和乘車時間；其中上車時間偏差是指旅客在計劃出行時間基礎上推遲上車或提前上車的偏移時間；乘車時間等于列車旅行時間，而列車旅行時間包括列車區間運行時間、列車停站及附加時間。注意到列車區間運行時間是固定不變的，而在目標函數中去掉這個固定部分并不影響優化的結果，故將其忽略，所以將旅客出行時間定義為旅客上車時間偏差與列車停站及附加時間之和。

為了方便描述、求解和展示，分先后2個階段求解省、地、縣三級車站的最優列車經停比。首先，不區分地縣級車站，研究省會城市高鐵旅客出行需求集聚條件下的最優列車經停比；然后，在給定省級車站最優列車經停比的條件下，研究省、地2個層次需求集聚條件下地、縣級車站的最優列車經停比。

2　省會城市高鐵路旅客出行需求集聚條件下的列車經停比

2.1　2類車站與5類需求的劃分

W1，1：2個不同省級車站之間的。

W1，2：省級車站與外省地縣級車站之間的。

W2，2：不同省的2個地縣級車站之間的。

上述需求類的符號中，沒有上畫線的表示省際高鐵旅客出行需求類，有上畫線的表示省內高鐵旅客出行需求類；下標1和2分別表示省級車站和地縣級車站。在下文的客流量比例、O-D起訖站同時停站概率、通過O-D對的列車數、人均上車時間偏差等參數或變量中，都采用相同的命名規則。

2.2　各需求類每個O-D對的平均服務列車數

(1)

(2)

其中，通過O-D對的列車是指同時通過O-D對起訖站的列車，服務于O-D的列車是指同時在O-D對起訖站停車的列車。

2.3　人均出行時間

1)旅客人均上車時間偏差

(3)

式中：T為全天運營時長，h。

Tdiff=λ1，1Tdiff,1,1+λ1，2Tdiff,1,2+λ2，2Tdiff,2,2+

(4)

2)旅客人均停站及附加時間

旅客人均停站及附加時間Tstop等于人均中途停站數與每次停車的平均停站及附加時間τstop之積，而旅客人均中途停站數又等于旅客中途人均通過車站數與列車在任意車站的平均經停比之積。

旅客中途人均通過車站數不包括旅客上下車的車站，比旅客中途人均通過的區間數少1。而區間數等于旅客人均行程l除以高鐵線路的平均站間距d，所以旅客中途人均通過車站數等于1/d-1。根據兩類車站所占的比例θ1，θ2和列車在兩類車站的經停比x1，x21及x22，可得列車在任意車站的平均經停比等于θ1x1+θ2[x1x21+(1-x1)x22]。所以有

(1-x1)x22)]τstop

(5)

2.4　省會城市高鐵旅客出行需求集聚下的最優列車經停比優化模型

在不同的高鐵線路上，盡管通過能力都能滿足需求，但運行圖的鋪畫結果與通過能力緊張程度是相關的，通過能力越緊張，要求不同列車的旅行速度越接近，進而要求不同列車的停站密度越接近，也就是說，要求在省級車站停車條件下的列車經停比x21與不停車條件下的列車經停比x22達到某種規定的比值，可表示為x22=αx21，其中，α(α>0)用于描述不同條件下列車停站密度的接近程度，α的值可以依據運行圖統計獲得。

綜上所述，以旅客人均出行時間最少為目標函數，構建省會城市高鐵旅客出行需求集聚下的最優列車經停比優化模型M為

minZ=Tdiff+Tstop

(6)

s.t.

x22+αx21

(7)

x1>0；x21≤1

(8)

2.5　省會城市高鐵旅客出行需求集聚下的實例分析

|Z*-Z0|=|0.605-0.620|

=0.015(h)=0.9(min)

由圖1可以看出：隨著列車經停比的增加，人均旅行時間在前面下降期下降的速度較快、而在后面增長期增加的速度較慢。高鐵運營企業可據此在最優列車經停比基礎上適度增加列車經停比，用少量的人均旅行時間增量換取更多的服務列車。與省級車站相比，地縣級車站列車經停比從最優列車經停比開始，沿著列車經停比增加方向，人均旅行時間增長速度更快。這是因為地縣級車站數比省級車站數更多一些所致。

圖1不區分地縣級站條件下隨列車經停比變化的人均出行時間等值線

與地級車站相比，縣級車站的列車經停比增加時，人均旅行時間在前期降低的更快，在后期增長的更慢。這是因為京滬高鐵沿途的縣級車站數所占比例較少所致。

在省會城市高鐵出行高度集聚狀態下，省級車站的最優列車經停比幾乎為1，可以為省級車站相關需求提供更多的服務列車數。這個實例的分析結果與高鐵現場組織形式是完全契合的。

3　兩層次高鐵旅客出行需求集聚下的列車經停比

3.1　3類車站與13類需求的劃分

將全體高鐵旅客出行需求O-D對集劃分為6個省際需求類(其表示符號不帶上畫線者)和7個省內需求類，其中省內需求類包括地縣級車站都隸屬同1個地級市的4個需求類(其表示符號帶有單上畫線者)，地縣級車站隸屬不同地級市的3個需求類(其表示符號帶有雙上畫線者)。表示符號下標中的1,2,3分別對應表示省級車站、地級車站和縣級車站。具體13個雙向旅客出行需求類如下。

W1，1：2個不同省級車站之間的。

W1，2：省級車站與外省所轄地級車站之間的。

W1，3：省級車站與外省所轄縣級車站之間的。

W2，2：不同省的2個地級車站之間的。

W2，3：地級車站與外省縣級車站之間的。

W3，3：不同省的2個縣級車站之間的。

3.2　兩層次高鐵旅客出行需求集聚條件下的最優列車經停比優化模型

(9)

由所有開行列車的徑路統計獲得各需求類每個O-D對的平均通過列車數，分別記為

(10)

類似于式(2)，由式(9)和式(10)可得各需求類每個O-D對的平均服務列車數分別為

(11)

類似于式(4)可得旅客人均上車時間偏差為

(12)

類似于式(5)可得旅客人均停站及附加時間為

(13)

(14)

s.t.

x3，2=βx3，1

(15)

x2>0；x31≤1

(16)

模型中的約束條件式(15)描述了在地級車站停車和不停車2種條件下列車經停比應滿足規定的比例要求，β(β>0)用于限制不同列車具有相近的旅行速度，描述了不同條件下列車停站密度的相近程度，β可以依據運行圖統計獲得。

3.3　兩層次高鐵旅客出行需求集聚條件下的實例分析

仍然以京滬高鐵為例，京滬高鐵省、地、縣3類車站數所占比例分別為θ1=0.173 9，θ2=0.652 2，θ3=0.173 9，各個需求類客流量所占比例分別為

λ1，1=0.299 4，λ1，2=0.309 6，

λ1，3=0.063 6，λ2，2=0.061 4，

λ2，3=0.006 0，λ3，3=0.000 1，

各需求類每個O-D對的平均通過列車數分別為

m1，1=65.58，m1，2=67.14，m1，3=67.04，

m2，2=69.96，m2，3=63.79，m3，3=63.83，

隨著列車在地、縣級車站經停比(x2，x3)的變化，人均出行時間的等值線如圖2所示。由圖2可以看出：隨著列車經停比的增加，人均旅行時間在前面的下降期降速較快、而在后面的增長期增速較慢。最優解臨近等值線類似于水平橢圓狀表明：與地級車站相比，縣級車站的列車經停比從最優列車經停比開始，沿著列車經停比增加方向，人均旅行時間增長速度更慢。這是因為京滬高鐵線上縣級車站數所占比例較少所致。

圖2　省級車站的列車經停比為1時人均出行時間等值線

重要的是，我們可以利用最優列車經停比和式(11)計算出服務各個需求類的列車數分別為

=0.011(h)=0.66(min)

模型最優列車經停比與實際列車經停比的相對偏差為

由此可見，實際列車經停比與模型最優列車經停比的偏差非常小。

各個需求類的實際服務列車數為

當然，由于本文給出的最優列車經停比研究方法需要滿足前提假設條件(1)—(7)，而生產實際中難以完全具備這些假設條件，所以生產實際中的列車經停比略高于模型的最優列車經停比也是合理的，旅客多支付少量人均出行時間，但能獲得更多的服務列車。

另外，由于京滬高鐵的縣級車站數所占比例特別少(θ3=0.173 9)，所以地級車站的需求集聚特征非常弱，這也是β=1/0.95>1的原因。

對京廣高鐵和杭福深高鐵的列車經停比進行了優化計算也獲得相近的計算結果，將2個層次的優化問題進行整體優化，同樣獲得了相同的結果。本文篇幅所限未予列出。

4　結　論

(1)列車在省、地級車站停與不停2種條件下，在所轄行政區內列車經停比是控制列車停站均勻程度的參數，該參數值與線路能力的富足程度相關，與對應行政區所轄的地、縣級車站數相關。

(2)在省、地兩級行政區內各列車停站密度較均勻的約束下，以最小化旅客人均出行時間為優化目標，建立列車經停比優化模型。雖然理想化假設可能導致列車最優經停比略小于實際的列車經停比，但優化結果與實際情況偏差很小，驗證了該優化方法的合理性。

(3)省級車站的最優列車經停比接近于1，說明省級車站具有顯著的高鐵旅客出行需求集聚特征；如果縣級車站數所占比例較大，則地級車站也具有一定的集聚特征；縣級車站的列車經停比相對穩定，是因為縣級車站沒有大量旅客集聚需求的支撐。

(4)不論哪一類車站，隨著列車經停比增加，人均旅行時間在前面的下降期下降速度較快、后面的增長期速度增長較慢。高鐵運營企業可據此在最優列車經停比基礎上適度增加列車經停比，用少量的人均旅行時間增量換取更多的服務列車。對于數量占比越小的車站類別，從最優列車經停比開始，在列車經停比增加方向，人均旅行時間的增長速度越慢。

[1]GOOSSENS J W, KROON L. A Branch-and-Cut Approach for Solving Railway Line-Planning Problems[J]. Transportation Science, 2001, 38(3):379-393.

[2]GOOSSENS J W, HOESEL S V, KROON L. On Solving Multi-Type Railway Line Planning Problems[J]. European Journal of Operational Research, 2006, 168(2):403-424.

[3]FU H, NIE L, MENG L, et al. A Hierarchical Line Planning Approach for a Large-Scale High Speed Rail Network: the China Case[J]. Transportation Research Part A Policy & Practice, 2015, 75:61-83.

[4]蘇煥銀, 史峰, 鄧連波，等. 面向時變需求的高速鐵路列車開行方案優化方法[J]. 交通運輸工程與信息, 2016,16(5):110-116.

(SU Huanyin, SHI Feng, DENG Lianbo, et al. Time-Dependent Demand Oriented Line Planning Optimization for the High-Speed Railway[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology,2016,16(5):110-116.in Chinese)

[5]史峰，鄧連波，霍亮. 旅客列車開行方案的雙層規劃模型和算法[J]. 中國鐵道科學, 2007, 28(3)：110-116.

(SHI Feng, DENG Lianbo, HUO Liang. Bi-Level Programming Model and Algorithm of Passenger Train Operation Plan[J]. China Railway Science, 2007,28(3):110-116.in Chinese)

[6]YUE Y, WANG S, ZHOU L, et al. Optimizing Train Stopping Patterns and Schedules for High-Speed Passenger Rail Corridors[J]. Transportation Research Part C Emerging Technologies, 2016, 63(2):126-146.

[7]YANG L, QI J, LI S, et al. Collaborative Optimization for Train Scheduling and Train Stop Planning on High-Speed Railways[J]. Omega, 2016, 64:57-76.

[8]鄧連波, 史峰, 周文梁. 旅客列車停站設置方案優化[J]. 中國鐵道科學, 2009,30(4):102-107.

(DENG Lianbo, SHI Feng, ZHOU Wenliang. Stop Schedule Plan Optimization for Passenger Train[J].China Railway Science,2009,30(4):102-107.in Chinese)

[9]CHEN Dingjun, NI Shaoqun, XU Chang’an, et al. High-Speed Train Stop-Schedule Optimization Based on Passenger Travel Convenience[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2016(3):1-10.

[10]李得偉, 韓寶明, 李曉娟，等. 基于節點服務的高速鐵路列車停站方案優化模型[J]. 鐵道學報, 2013, 35(6):1-5.

(LI Dewei, HAN Baoming, LI Xiaojuan, et al.High-Speed Railway Stopping Schedule Optimization Model Based on Node Service[J]. Journal of the China Railway Society,2013,35(6):1-5.in Chinese)

[11]牛豐, 戚建國, 秦進. 基于不確定客流的高速鐵路列車停站方案優化方法[J]. 鐵道學報,2016, 38(7):1-7.

(NIU Feng, QI Jianguo, QIN Jin. Optimization Model for Train Stopping Plan on High-Speed Railway Corridor with Uncertain Passenger Demands[J].Journal of the China Railway Society,2016,38(7):1-7.in Chinese)

[12]甄靜. 京滬線鐵路客流規律分析[J]. 中國鐵道科學, 2002,23(2):122-126.

(ZHEN Jing. Analysis of the Rule of Passenger Traffic Flow of Jing-Hu Railway Line[J]. China Railway Science, 2002,23(2):122-126.in Chinese)

[13]蘭淑梅, 趙映蓮, 湯奇志. 論京滬高速鐵路客流及其組織方案[J]. 中國鐵道科學, 2002, 23(3):124-129.

(LAN Shumei, ZHAO Yinglian, TANG Qizhi. Passenger Flow and Its Organization Solution for Beijing-Shanghai High-Speed Railway[J]. China Railway Science, 2002, 23(3):124-129.in Chinese)