《函數的奇偶性》課堂實錄

高昌勝+萬忠國

中圖分類號：G633.6

（展示圖片：見附件）

師：（問題一）同學們能將下列圖像進行分類嗎？ （同學們開始討論）

生：一類圖像關于y軸成軸對稱，另一類圖像關于原點成中心對稱

師：在數學中我們把圖像關于y軸對稱的函數叫偶函數；圖像關于原點對稱的函數叫奇

函數（從而自然的引入本節的課題-----函數的奇偶性。教師板書課題）

師：（問題二）有沒有既不關于y軸對稱也不關于原點對稱的函數圖像？（學生思考）

（教師進一步提示） 我們已經學過了哪些函數？

（在教師的啟發下，學生開始活躍起來，紛紛討論起來）

師：同學們能列舉出幾個這樣的函數嗎

生：一次函數f（x）=x+4，二次函數f（x）=（x-2）2+2既不關于y軸對稱又不關于原點對稱

（教師在黑板上作出函數的圖像讓同學們觀察）

師：這些函數是奇函數還是偶函數？

生：它們既不是奇函數也不是偶函數

師：（問題三）同學們能判斷下列函數的奇偶性嗎？。

（黑板上書寫函數（1）f（x）=x4+2， （2） f（x）=x5+x3）

（學生經過一段時間的思考、討論后再一次陷入了沉思，學生的心里充滿困惑：這

兩個函數的圖像很難畫出來，甚至根本畫不出來，如果畫不出函數的圖像該怎么

判斷？部分學生想到能不能不畫出函數的圖像，而判斷出一個函數的奇偶性？）

師：，我們從函數的圖像無法入手，為了解決這些問題，能不能從代數解析式的角度去

研究什么是奇函數、什么是偶函數？

（通過問題的設置，讓學生明白究奇函數和偶函數定義的必要性，有效的激發了

學生探求新知的欲望，充分調動了學生參與思考的積極性和主動性）

師：結合偶函數f（x）=x2的解析式，怎樣從“數”上觀察特征。

（在教師的啟發下學生通過列舉自變量x的取值：-3、-2、-1、0、1、2、3，計算

得到f（x）的函數值9、4、1、0、1、4、9。發現規律：f（x）=f（-x），由此，學生進一

步猜想：對任意的自變量x是否都有f（x）=f（-x）成立？）

師：（問題四）如果函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱，我們就說這個函數是偶函數。那

么如何從代數的角度定義偶函數呢？

（有了前面的鋪墊，學生很容易地歸納得到了偶函數的定義：）

如果對于函數y=f（x）的定義域的任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么稱函數y=（x）

是偶函數。

師：圖五和圖六有什么相同和不同呢？它們都是偶函數嗎？

生：解析式相同，定義域不同，圖像不同。圖六是偶函數，圖五不是偶函數。

師：（問題五）相同的函數一個是偶函數，一個不是偶函數，這是為什么呢？

生：因為定義域不同，不是關于不對稱的，所以圖像不是關于y軸對稱的。

師：這個回答只是從圖像觀察得到，我們能不能從函數的定義中找到定義域為什么必須

關于原點對稱。（學生又被難住了，不知怎樣回答，讓學生討論）

生：在定義中要計算f（x）和f（-x），所以x和-x都必須在定義域內，即定義域必須關于原

點對稱。

師：通過以上的分析，同學們知道判斷函數偶性的前提條件是什么嗎？

（學生齊聲回答）

生：定義域關于原點對稱。

師：二次函數f（x）=（x-2）2+2的定義域關于原點對稱，為什么不是偶函數呢？

生：因為不滿足f（-x）=f（x），所以不是偶函數。

師：同學們能總結出判斷一個函數是不是偶函數的步驟呢？（讓學生討論）

生：第一步，看定義域是否關于原點對稱。

若定義域不是關于原點對稱的，則f（x）不是偶函數；

若是關于原點對稱的，則進行第二步。

第二步，檢驗f（-x）與f（x）的關系。

若f（-x）=f（x），則函數f（x）是偶函數；

若f（-x）≠f（x），則函數f（x）不是偶函數。

師：同學們總結了判斷函數是偶函數的步驟，下面我們看一個具體的例題。

（教師在黑板上展示例題：判斷函數f（x）=x4+2在定義域為[-4，4]的區間上的奇偶性。）

（在教師和學生的共同討論下，教師在黑板上展示判斷過程。）

師：（問題六）同學們能用研究偶函數的方法類比研究下面兩個問題嗎？

1.奇函數的定義；2判斷判斷一個函數是奇函數的步驟。

（經過學生討論，得到以下結論）

奇函數定義：如果對于函數y=f（x）的定義域內的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），

那么稱函數y=（x）是奇函數。

判斷一個函數是奇函數的步驟：

第一步，看定義域是否關于原點對稱。

若定義域不是關于原點對稱的，則f（x）不是奇函數；

若是關于原點對稱的，則進行第二步。

第二步，檢驗f（-x）與f（x）的關系。

若f（-x）=-f（x），則函數f（x）是奇函數；

若f（-x）≠f（x），則函數f（x）不是奇函數。

師：（問題七）通過前面的學習我們知道：函數有奇函數、偶函數、非奇非偶函數。

有沒有既是奇函數又是偶函數的函數呢？（同學們又陷入沉思）

這個問題留給同學們課外思考好不好？ （學生齊聲回答：好！）

師：本節課在同學們的積極參與下，我們通過討論得出了奇函數、偶函數的定義以及判

斷函數奇偶性的方法。感謝同學們的參與，謝謝。（本節課到此結束）