板狀粘接結構中對稱和反對稱縱波與界面的相互作用

丁俊才， 吳 斌， 何存富

(北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院，北京 100124)

板狀粘接結構中對稱和反對稱縱波與界面的相互作用

丁俊才， 吳 斌， 何存富

(北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院，北京 100124)

為了激發粘接結構中的導波或界面波，通常需要將聲波從兩半無限介質同相位或反相位地同時入射多層系統。針對此問題，基于矩陣方法，推導了界面處于理想連接的情況下，對稱或反對稱縱波從上下半無限空間入射時，三層板狀粘接結構中縱、橫波的反射與透射系數表達式。分析了入射角度、粘接層厚度以及基體材料等對聲波反射(或透射)特性的影響。結果表明，對稱或反對稱縱波垂直入射時不發生波型轉換。粘接結構中聲波的反射(或透射)特性與入射角度、頻率以及粘接層厚度等參數密切相關。在相同的粘接層厚度(或頻率)范圍內，隨著聲波頻率(或粘接層厚度)的增加，諧振頻率曲線向低頻漂移。該方法可作為粘接結構中體波或導波傳播特性研究的重要理論基礎。

粘接結構；矩陣方法；對稱和反對稱縱波；反射和透射系數；諧振

隨著現代飛機高性能發展的需要和新技術、新材料的應用，粘接結構因具有比強度、比模量高，以及密封、減振等優越性能，已成為飛機機體的重要結構形式[1]，其中金屬板-板粘接結構是飛機粘接結構的主體[2-4]。由于粘接界面脫粘或粘接強度不足而導致的災難性事件時有發生[5-6]，因此，發展有效的金屬板-板結構粘接質量的檢測方法不僅具有重要的學術價值，而且具有廣泛的工程應用前景[7]。

關于多層板狀粘接結構中超聲波傳播特性的研究一直受到重視。在利用超聲體波對粘接結構的研究上，BREKHOVSKIKH等[8]利用阻抗和聲壓連續的方法推導了多層均勻介質中體波的反射和透射系數表達式。李明軒等[9]建立了共振匹配理論，利用縱橫波綜合判斷方法從實驗上對粘接界面的強度進行了定量評價。基于傳遞矩陣方法，THOMSON[10]利用斜入射聲波的反射和透射系數從理論上分析了粘接層的特性。ROKHLIN等[11-12]將粘接界面作為粘彈性層，對有限厚度界面層處于兩半無限各向同性介質之間的多層粘接結構中的體波傳播特性進行了研究，較好地區分出了理想連接和脫粘界面。王耀俊[13]利用傳遞矩陣方法研究了具有剛性(即理想)連接和滑移界面的層狀固體介質的聲反射和透射特性，推導了縱波或橫波由單側基體入射時的反射和透射系數解析表達式。在彈簧模型法的基礎上，QIU等[14-15]采用垂直入射和斜入射的方法研究了弱粘接結構中的體波傳播特性，并利用COMSOL進行了數值仿真。吳斌等[16]研究了浸水斜入射條件下粘接結構的縱波透射特性，得出了完整的縱波透射系數表達式。安志武等[17]在忽略粘接層厚度的前提下結合彈簧模型法利用“右峰”漂移特性定性地分析了鋁-粘接層-鋁弱粘接結構中超聲波的低頻反射特性。

利用超聲導波對粘接結構的研究方面，BANERJEE[18]從理論上分析了粘接結構中的導波傳播模式，研究發現，垂直激發時響應信號被一階反對稱模態所控制。LE-CROM等[19]通過數值模擬得到了鋁-復合板粘接結構的SH波頻散曲線。CASTAINGS[20]利用有限元和實驗的方法研究了處于不同界面形式的鋁-樹脂玻璃-鋁搭接結構中SH波的傳播。YEW等[21]利用SH波評估了粘接結構粘接層的質量，研究表明，粘接結構中SH波二階模態的截止頻率主要依賴于粘接層的厚度和力學性能。張海燕等[22]采用全局矩陣法研究了層狀各向異性復合板中Lamb波的傳播特性，給出了不同層數的復合板中Lamb波的相速度頻散曲線以及模態A0和S0沿板厚方向的應力分布。寧偉等[23]基于彈簧模型法研究了三層粘接結構中Lamb波兩個最低階模態A0和S0所產生的質點位移沿厚度方向的分布。

由以上分析可知，許多學者采用不同的方法或界面簡化模型結合超聲體波或導波對粘接結構開展了研究并取得了相應的成果。實際上，多數針對粘接結構的研究往往指的是對于界面特性的研究。相對于體波來講，利用超聲導波或界面波對粘接結構進行無損檢測可獲取更多關于界面的局部特征信息。若想激發結構中的導波或界面波，通常需要將聲波從兩半無限介質(即粘接結構的上下基體)同相位或反相位地同時入射進多層粘接系統。但在以往的文獻報道中，大多采用的是超聲波由單側基體入射的方法，未見有關于對稱(反相位)或反對稱(同相位)模式的超聲波由兩側基體同時入射粘接結構的研究。與超聲波由單側基體入射檢測粘接結構不同的是，若采用超聲波由兩側基體同時入射，則可以提取到更純凈、更單一的導波模態，因此很有必要研究超聲波由兩側基體同時入射時粘接結構中聲波的反射與透射情況。

針對上述未研究的問題，本文基于矩陣方法，首先從理論上推導出粘接結構界面處于理想連接的情況下，對稱或反對稱縱波同時從上下半無限固體空間入射時，三層板狀粘接結構中縱、橫波的反射與透射系數表達式；接著以實際工業生產中常用的粘接結構為例，利用數值模擬的方法計算結構中縱、橫波的反射與透射系數曲線；最后分析聲波入射角度、粘接層厚度等參數的變化對聲波反射與透射特性的影響。

1 理論研究

圖1所示為板狀粘接結構幾何模型，將笛卡爾坐標系的x軸置于粘接結構的下界面(界面2)，板厚沿z方向。半無限固體介質2和0分別為粘接結構的上、下基體，介質1是厚度為h的粘接層，且介質0、1和2均為各向同性彈性固體介質。

圖1 體波斜入射條件下粘接結構的聲學模型Fig.1 Acoustic model of the adhesive structure underthe condition of body waves oblique incidence

圖1中φi2、φr2和φi0、φr0分別為基體2和0中入射、反射縱波的位移勢幅值；ψi2、ψr2和ψi0、ψr0分別為基體2和0中入射、反射橫波(此處及下文提及的橫波均指SV橫波)的位移勢幅值。θl2和θl0分別為基體2和0中的縱波入射或反射角；θt2和θt0分別為基體2和0中的橫波入射或反射角。若令角頻率同為ω的簡諧平面縱波和橫波同時從上、下基體入射到多層粘接結構，這些波沿著x方向應具有相同的波矢量分量δ。容易知道，當聲波遇到兩側聲阻抗不同的結合界面時，會發生反射與折射，形成反射縱、橫波與折射縱、橫波。根據Snell定律，所有的反射波與折射波的波矢量沿著x方向的分量也為δ。若忽略波傳播的非線性效應，則在同一介質中入射波和反射波可以線性疊加。另外需要說明的是，本文的研究暫不考慮聲波在結構中傳播時的衰減。

假設聲波的入射平面為x-z平面，那么在基體0中縱波和橫波的總位移勢Φ0和Ψ0可分別寫為[24-26]

(1)

基于式(1)，可將基體0中的聲場所產生的位移與應力分量寫成

(2)

式中：ux和σzx、uz和σzz分別為沿著x，z方向的位移和應力分量，即切向與法向的位移和應力分量；λ0和μ0為介質0的拉梅常數。

在z=0處，將式(1)和(2)相結合可以得到基體0中的聲場和界面2上的力學參量之間的關系，將其寫成矩陣的形式如下

(3)

采用與式(1)～(3)類似的分析，在z=h處可以寫出界面1上的質點位移和應力與基體2中的聲場之間的關系

(4)

(5)

式中：矩陣[B2]=[A2]-1為一與基體2材料特性相關的四階矩陣，其值見附錄2。

由于粘接結構各界面均為理想連接，因此界面上的質點位移和應力連續。在此種條件下，我們可將上下基體中的聲場聯系起來并寫成式(6)的形式

(6)

式中：矩陣[H]=[B2]·[E1]·[A0]，這里矩陣[E1]為與粘接層1材料特性相關的矩陣，其各個元素的值見附錄3。本文著重研究對稱或反對稱縱波入射粘接結構，因此式(6)中ψi2與ψi0的值為0。將ψi2=0和ψi0=0代入式(6)并重新整理可以得出式(7)

(7)

式中：Hgm(g,m=1,2,3,4)為矩陣[H]的元素。按照式(7)可求出不同模式的平面縱波入射時，所產生的縱、橫波的反射與透射系數。一般地，大多研究均采用縱波或橫波從上或下半無限空間入射多層結構，這里若令式(7)中的φi0或φi2=0，則可以分別得出縱波從上或下半無限介質入射時的反射與透射系數。作為例子，本文假定任意形式的頻率均為ω的兩列簡諧平面縱波同相位(反對稱)或反相位(對稱)地同時入射多層粘接結構，研究不同形式聲波與界面的相互作用。

針對反對稱縱波同時從上下基體入射多層結構，此時令φi0=φi2并代入式(7)，可以得出式(8)

(8)

對式(8)進行繁瑣的運算，可以得到反對稱縱波入射時結構中所產生的縱、橫波的反射與透射系數表達式

(9)

這里，

F1=H23H31-H21H33+H21(H12H33-H13H32)+

H22(H31H13-H11H33)+H23(H11H32-H31H12)

F2=H43H31-H41H33+H41(H12H33-H13H32)+

H42(H31H13-H11H33)+H43(H11H32-H31H12)

式中，R表示反射系數，T表示透射系數，且第一個下標表示入射波型，第二個下標表示反射或透射波型。例如Rlt指采用縱波反對稱入射所產生的橫波的反射系數。

針對對稱縱波同時從上下基體入射多層結構，此時令φi0=-φi2并代入式(7)，則可以得出：

(10)

同樣地，對式(10)進行計算，可以得到對稱縱波入射時產生的縱、橫波的反射與透射系數表達式

(11)

這里，

F3=H23H31-H21H33+H21(H13H32-H12H33)+

H22(H11H33-H31H13)+H23(H31H12-H11H32)

F4=H43H31-H41H33+H41(H13H32-H12H33)+

H42(H11H33-H31H13)+H43(H31H12-H11H32)

式中，R′、T′的含義與前文的R、T相同，均指反射、透射系數，但前者為對稱縱波入射下的反射、透射系數，后者為反對稱縱波入射下的反射、透射系數。實際上，式(9)和(11)中的反射和透射系數一般為復數，表明反射波和透射波相對于入射波存在相位差。

需要指出，針對對稱或反對稱縱波入射粘接結構，由于上、下基體皆有聲波進入，因此在稱呼上并無反射與透射之分。可將基體2中的Ψr2、φr2稱作反射波，基體0中的Ψr0、φr0稱之為透射波；也可以將基體0中的Ψr0、φr0稱作反射波，基體2中的Ψr2、φr2稱為透射波。本文為便于讀者理解以及避免混淆，暫且將基體2中的Ψr2、φr2分別稱之為反射橫、縱波；將基體0中的Ψr0、φr0分別稱之為透射橫、縱波。物理意義上講，盡管式(9)中的Rll和Tll、Rlt和Tlt的表達式的形式有所不同，但它們的數值計算結果應該相等，式(11)也應如此。

2 數值算例及結果分析

基于上述模型，利用MATLAB軟件編寫相應的程序計算對稱或反對稱縱波入射下的縱、橫波的反射、透射系數，研究縱、橫波的反射、透射特性。文中選取常見的鋁、鋼或銅作為粘接結構的基體材料，環氧樹脂為粘接劑，它們的材料參數見表1。表1中ρ、Cl和Ct分別為材料的密度、縱波和橫波速度。

表1 材料特性Tab.1 Material properties

2.1 入射角度對聲波反射或透射特性的影響

圖2和3計算了對稱或反對稱縱波以不同角度入射的情況下，鋁-環氧樹脂-鋁粘接結構中縱、橫波的反射與透射系數。圖中縱波的入射角度分別取0°、20°、40°和60°，粘接層的厚度為0.3 mm。

對比圖2(a)和3(a)、2(b)和3(b)可以發現，當入射角度為20°、40°或60°，對稱和反對稱縱波入射下的縱、橫波的反射(或透射)系數有較為明顯的區別。表明聲波傾斜入射時，對稱和反對稱縱波與同一粘接結構的相互作用不同。當入射角為0°(垂直入射)時，無論縱波對稱或反對稱入射，結構中橫波的反射(或透射)系數的幅值始終為0，而縱波的反射(或透射)系數的幅值始終為1，這是由于對稱或反對稱縱波垂直入射時不發生波型轉換，使得結構中僅有縱波存在。縱波傾斜入射會發生波型轉換形成新的縱、橫波，所有縱、橫波的反射(或透射)系數曲線隨著頻率的增加出現了諧振，這與多層結構中聲傳播理論相符合。在諧振頻率點處，橫波的反射(或透射)系數呈現極小值，而縱波的反射(或透射)系數呈現極大值，這說明當聲波的頻率處于諧振點附近時，粘接結構中大多以縱波的形式存在而形成的橫波較少。此外，仔細觀察圖2和3可知，無論縱波對稱或反對稱入射，也不論縱波的入射角度或頻率為多大，粘接結構中縱波或橫波的反射與透射系數曲線均完全重合，這證實了前文的猜測：盡管式(9)、(11)中縱波或橫波的反射與透射系數表達式的形式有所不同，但它們的數值計算結果相等，同時也間接反映出本文所推導公式的正確性。

(a) 橫波

(b) 縱波

(a) 橫波

(b) 縱波

2.2 粘接層厚度對聲波反射或透射特性的影響

圖4和5計算了鋁-環氧樹脂-鋁粘接結構在不同粘接層厚度下的縱、橫波的反射與透射系數，其中粘接層的厚度分別為0.01 mm、0.1 mm和1 mm，縱波的入射角取20°。

(a) 橫波

(b) 縱波

(a) 橫波

由圖可見，即便粘接層的厚度有微小的變化也會對聲波的反射(或透射)特性造成較大的影響。無論縱波對稱或是反對稱入射，橫波的反射(或透射)系數的極小值均接近于0，極大值皆不超過0.3。縱波的反射(或透射)系數的極大值均接近于1且所有頻率點處的幅值不低于0.9，表明當入射角為20°時不論粘接層的厚度是多少，粘接結構中縱波的能量始終遠大于橫波。此外還可以發現，在相同的頻率范圍(即0～10 MHz)內，隨著粘接層厚度的增加，縱、橫波的反射(或透射)系數曲線逐漸出現了諧振現象，并且粘接層的厚度越大，曲線諧振點(見圖4(b))的數目越多。這是由于隨著粘接層厚度的增加，聲波在粘接層上下界面(見圖1)來回反射、干涉或疊加的次數在增多，因此產生了更多的諧振頻率點。但是所形成的多階諧振并無明顯的變化規律，也即沒有明顯的諧振周期。另外，與2.1節類似，無論縱波對稱還是反對稱入射，也無論粘接層的厚度是多少，縱波或橫波的反射與透射系數曲線依然完全重合。

(b) 縱波

2.3 基體材料對聲波反射特性的影響

本節僅計算縱波與橫波的反射系數，透射系數圖不再繪制。圖6～圖8所示為對稱或反對稱縱波入射時，不同形式粘接結構中的體波反射特性，其中粘接層的厚度固定在0.3 mm，聲波入射角度仍取20°。

(a) 橫波

(b) 縱波

(a) 橫波

(b) 縱波

(a) 對稱縱波入射

(b) 反對稱縱波入射

由圖可知，若粘接結構的基體為不同材料，縱波或橫波的反射系數存在比較明顯的區別，說明基體材料對聲波的反射特性有一定影響。圖6(a)與7(a)中，無論對稱還是反對稱縱波入射，四種不同形式粘接結構中的橫波反射系數曲線整體走勢大致相同。鋁-環氧樹脂-鋼、鋁-環氧樹脂-銅以及銅-環氧樹脂-鋁三種形式粘接結構中的橫波反射系數差別不大，但是鋼-環氧樹脂-鋁中的橫波反射系數與上述三種粘接結構差別明顯。對于圖6(b)與7(b)，在對稱或反對稱縱波入射的情況下，鋁-環氧樹脂-鋼和鋁-環氧樹脂-銅、鋼-環氧樹脂-鋁和銅-環氧樹脂-鋁粘接結構中的縱波反射系數差別較小，但是鋁-環氧樹脂-鋼(或鋁-環氧樹脂-銅)和鋼-環氧樹脂-鋁以及銅-環氧樹脂-鋁中的縱波反射系數差別非常明顯。鋁-環氧樹脂-鋼與鋁-環氧樹脂-銅結構中的縱波反射系數介于1～2.5之間，遠大于鋼-環氧樹脂-鋁與銅-環氧樹脂-鋁中的縱波反射系數。此外，比較圖6(a)和6(b)以及7(a)和7(b)可以發現，即使粘接結構和入射聲波的類型固定，結構中縱波與橫波的反射系數之間的差別也異常顯著。

與圖6和7不同的是，圖8中粘接結構的上下基體均為同種介質。分析可知，對于縱波對稱入射，鋁-環氧樹脂-鋁、鋼-環氧樹脂-鋼以及銅-環氧樹脂-銅中縱波反射系數的差別不大。類似地，對于縱波反對稱入射，除了9.2 MHz處，三種形式粘接結構中縱波反射系數的差別亦不大。比較圖8(a)和6(b)可以得出，同為對稱縱波入射的情況下，鋁-環氧樹脂-鋁和鋁-環氧樹脂-鋼、鋁-環氧樹脂-銅(或鋼-環氧樹脂-鋁、銅-環氧樹脂-鋁)中縱波反射系數的差別明顯。這表明，若保持粘接結構的粘接層和上(或下)基體的材料不變，僅改變下(或上)基體，結構中聲傳播模式同樣會發生較大的變化。圖8(b)和7(b)的分析方法與此類似，這里不做過多描述。

上述現象表明，當其它參數固定，粘接結構中聲波的傳播特性與粘接層兩側基體材料的特征參數密切相關。不僅基體材料的種類對聲傳播特性的影響較大，基體所處的位置對聲傳播的影響同樣不可忽略。這對于檢測人員利用對稱或反對稱縱波檢測粘接結構具有較好的參考價值。

2.4 頻率、粘接層厚度與橫波反射特性的三維關系研究

如前文所言，對于粘接結構的檢測，入射角度、頻率和粘接層厚度一直是重要的參數。因此，有必要研究對稱或反對稱縱波以不同角度入射的情況下，頻率、粘接層厚度與聲波反射(或透射)特性的關系。圖9～14為對稱或反對稱縱波分別以5°、15°或30°入射鋁-環氧樹脂-鋁粘接結構時，縱波頻率、粘接層厚度與橫波反射系數之間的關系。圖中顏色的深淺代表反射系數幅值的大小，類似曲線的部分代表反射系數的極小值點，其余紅色部分代表反射系數的極大值點。分析可以發現，隨著聲波頻率以及粘接層厚度的改變，橫波反射系數均出現了多階諧振。

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

針對對稱縱波入射的情形(圖9～圖11)，隨著入射角度的增加，雖然反射系數的極大值在逐漸增大，但是諧振頻率曲線的總體數目并未隨角度的變化而改變。除此以外，還可以得到另外一個重要現象：在特定角度(例如5°)下，當聲波的頻率范圍固定不變，隨著粘接層厚度的增大，諧振頻率曲線的數目在增多，如圖9(b)中水平橢圓圈所示，當粘接層的厚度為0.2 mm，橢圓圈內僅存在兩條諧振頻率曲線，當粘接層厚度增大到0.6 mm時，諧振頻率曲線的數目增加到七條，反過來也是如此。可將這種現象理解為：在相同的粘接層厚度(或頻率)范圍內，隨著聲波頻率(或粘接層厚度)的增加，諧振頻率曲線向低頻產生了漂移。反對稱縱波入射下(圖12～圖14)的分析方法與圖9～圖11類似，這里不再贅述。

3 結 論

假定粘接界面為理想連接的情況下，本文基于矩陣方法建立了對稱或反對稱縱波穿過三層板狀粘接結構的聲反射和透射模型，推導了結構中體波的反射和透射系數表達式。基于上述數值模擬結果，得到以下結論：

(1) 與體波由單側基體入射的情形類似，對稱或反對稱縱波垂直入射時，經過界面不發生波型轉換，但是傾斜入射波型轉換會發生。不同形式的粘接結構會引起不同的聲反射(或透射)特性。對于特定的粘接結構，超聲波在其中的傳播模式主要依賴于入射角度、頻率等參數，即使這些參數有微小的變化也會對聲波的反射(或透射)特性造成較大的影響。因此，若采用對稱或反對稱縱波檢測粘接結構，合理的選取這些參數尤為重要。

(2) 對稱或反對稱縱波入射粘接結構時縱、橫波的反射(或透射)系數曲線會產生多階諧振。在相同的粘接層厚度(或頻率)范圍內，隨著聲波頻率(或粘接層厚度)的增加，諧振頻率曲線將向低頻漂移。

本文的理論分析模型對于界面為理想連接且基體和粘接層均為各向同性彈性固體介質的粘接結構具有普適性。對于粘接結構的研究，除了體波以外還有不少學者采用導波(例如Lamb波)或界面波進行檢測，雖然本文主要針對對稱或反對稱縱波入射下的體波反射(或透射)系數展開討論，但是所提方法同樣可以作為粘接結構中導波傳播特性研究的重要理論基礎，比如若令式(9)或(11)中的分母為0，就可以得到結構中沿x方向傳播的導波模式的頻散方程。需要指出的是，鑒于實驗條件的挑戰性，目前尚未對理論計算結果開展相關的仿真或實驗過程，但所述方法的有效性與所推公式的正確性已在文中得以證實。

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附錄1

附錄2

這里ρ0、Ct0和Cl0分別為基體0的密度、橫波波速與縱波波速，ρ2、Ct2和Cl2分別為基體2的密度、橫波波速與縱波波速，ω為角頻率。

附錄3

這里，ρ1、Cl1和Ct1為粘接層的密度、縱波速度和橫波速度；θl1和θt1分別為縱波和橫波在粘接層中的傳播角。

Interaction of the symmetric and anti-symmetric longitudinal waveswith the interfaces in plate-like adhesive structure

DING Juncai，WU Bin，HE Cunfu

(College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124, China)

To stimulate the guided or interface waves in adhesive structures, in general sound waves should be injected into a multilayer system from two infinite media in the same or opposed phase at the same time. Aiming at this issue, based on the matrix method, the expressions of reflection and transmission coefficients for longitudinal and transverse waves in three-tier plate-like adhesive structures were deduced when on interfaces there is perfect connection and the symmetric or anti-symmetric longitudinal waves are injected from upper and lower infinite spaces. The influences of the incident angle, thickness of adhesive layer and substrate materials etc on the characteristics of acoustic wave reflection (or transmission) were analyzed. The results show that when the symmetric or anti-symmetric longitudinal waves are vertically incident, the conversions of wave modes do not occur. The reflection (or transmission) characteristics of acoustic waves in adhesive structures are closely related to the incident angle, frequency, thickness of adhesive layer and other parameters. In the same range of adhesive layer thickness (or frequency), with the increase of the sound frequency (or adhesive layer thickness), the curves of resonant frequency tend to drift towards the low frequency. The proposed method can be used as an important theoretical basis for the research on transmission characteristics of body or guided waves in adhesive structures.

adhesive structure; matrix method; symmetric and anti-symmetric longitudinal waves; reflection and transmission coefficients; resonance

國家自然科學基金(11132002；11372016；51475012；51235001)

2015-10-10 修改稿收到日期： 2016-01-24

丁俊才 男，博士生，1984年生

吳斌 男，教授，博士生導師，1962年生 E-mail: wb@bjut.edu.cn

O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.06.005