四容水箱實驗裝置數學模型的特點分析

何豫溪， 冀學青， 朱兆霞， 鄒 斌

(1. 上海大學 機電工程與自動化學院， 上海 200072； 2. 上海博杰科技有限公司， 上海 201399)

四容水箱實驗裝置數學模型的特點分析

何豫溪1， 冀學青1， 朱兆霞2， 鄒 斌1

(1. 上海大學 機電工程與自動化學院， 上海 200072； 2. 上海博杰科技有限公司， 上海 201399)

為研究一個高階、非線性且其零點可在S的左右平面移動的四容水箱系統以及為該系統的控制實驗方案的設計提供基礎，通過建立不同閥門關斷/開啟的水箱系統的狀態方程、傳遞函數矩陣等數學模型，討論了模型的結構特征；通過研究閥門開度變化對系統零極點位置的影響，揭示了四容水箱系統的數學模型特點。結果表明，調整水泵的開斷及閥門開度可方便地構成MIMO和SISO系統，泰勒級數展開的初始條件不同模型的特點不同，系統零點在S左右平面上分布取決于水泵閥門開度γ1+γ2，改變閥門開度，特別是互聯閥門的開度可以改變零極點位置，進而影響控制方案的設計。

四容水箱控制； 數學模型； 零極點位置； 泰勒級數展開

0 引 言

水箱液位控制系統因其具有工業環境中時常出現的強耦合性、非最小相位以及非線性等特點，且實現相對簡單經濟，一直以來是較為理想的實驗設備[1-4]。

水箱液位控制系統的對象經歷了兩水箱、三水箱和四水箱系統的演變。Johansson[5]提出了一種四水箱液位控制系統，該系統最大的特點是其零點可通過調節水泵閥門開度而在S左右平面移動，使系統表現出最小相位系統和非最小相位系統的特點。文獻[6]中在底層2個水箱之間增加了一條水管連接，使得四水箱液位系統具備了更加豐富的特征。

四容水箱實驗對象提出以后立即引起了學術界和大學實驗教學方面的廣泛注意[7]以及相關實驗裝置的研究。李志軍等[8]介紹了其研制的四水箱控制系統方案；劉洋[9]則介紹了四水箱控制的數學模型及其解耦控制；王資法等介紹了其基于四水箱系統完成的控制方案的設計[10]；陳培穎等[11]完善了逆解耦器的設計策略并將其應用于水箱模型。Johansson[12]設計了分散PI控制器進行控制， Garrido等[13]采用IDC-IMC對四容水箱模型進行了仿真研究。

四容水箱控制系統隨著其運行參數的改變具有豐富的特點，表現在數學模型上則是其數學模型的結構和參數會隨相關設置的改變而改變。系統認識四水箱系統的這些特點對基于該裝置的實驗開發具有重要意義，本文將全面系統地研究四水箱控制系統的特征。

1 四容水箱系統的物理模型

四容水箱互聯系統物理模型如圖1(a)所示，左右兩邊的水泵1和2把水從蓄水池送到4個水箱，水泵1供給水箱1的進水孔閥門開度為γ1，水泵2供給水箱2的閥門開度為γ2。在高位的水箱3的出水孔通過閥門R3將水排到低位的水箱1，水箱4通過R4將水排到水箱2，水箱1和2通過閥門R1和R2將水排至底部大的蓄水池中，水箱1和2之間的連通孔通過閥門Rx進行聯通。

(a)四容水箱物理模型

(b)閥門參數調整后的物理模型

四容水箱的被控量是水箱1和2的液位，控制量是水泵1和2的輸入電壓u1和u2。一般而言，四容水箱系統是一個4階的包含零點的系統。

通過調整水泵閥門1和2對上水流量比例的分配以及關斷下水閥門和互通閥門的方式改變水的流通路徑，還可以形成不同的特點的受控模型。例如，上水水泵2停機，上水閥門1全部將水流送到水箱4，也即γ1=0，且聯通閥門Rx開通，此時水的流通路徑如圖1(b)所示，若僅研究水箱2液位的變化，則此時的系統為一個包含一個零點的單入單出的3階系統。

此外，通過調整水泵閥門的開度可改變原四容水箱互聯系統零點位置在S左右平面的分布，從而改變受控對象的性質使其具有不同的最小相位和非最小相位的特征。另外，系統隨時間變化而有不同的響應，從而也可獲得時變系統的特性。

2 四容水箱系統的數學模型

2.1 四容水箱系統的非線性數學模型

根據物料守恒原則及伯努利法則，可寫出系統的微分方程：

(1.a)

(1.b)

(1.c)

(1.d)

式中：A指水箱的橫截面積(cm2)；ai指水箱i出水孔的橫截面積(cm2)；ax指水箱1和2之間連通管道的橫截面積(cm2)；hi(i=1,2,3,4)指水箱i的液位高度(cm)；uj(j=1,2)指水泵j輸入電壓(V)；βj(j=1,2,3,4)指水箱i的出水孔Ri的閥門開合比例；βx指水箱1和2連接管道的閥門開合比例；γj(j=1,2)指上水閥門j流入下水箱的比例；kpj(j=1,2)指水泵j的增益(cm3/(V·s))；g指重力加速度(981 cm/s2)。

式(1)給出了水箱液位hi(i=1,2,3,4)與水泵輸入電壓uj(j=1,2)之間的非線性關系。這種關系與水泵的增益、水箱的截面積和水箱出水孔及連通孔的橫截面積有關，這類參數在實驗裝置制造完成后便固定了，為常數。影響輸入輸出之間關系的還有上水閥門進入水箱的比例γj(j=1,2)、各個水箱下水閥門的開度，βj(j=1,2,3,4)和水箱1和2連接管道的閥門開合比例βx。這類參數是可以在運行中改變的，不同的運行參數對輸入輸出關系的影響體現該設備的特點。

2.2 四容水箱系統數學模型的線性化

(2)

式中：xi(i=1,2,3,4)為線性化后的各水箱的液位；Ti(i=1,2,3,4)和Tx為時間常數，它們的表達式如下：

基于狀態方程，易于求得其傳遞函數矩陣[15]為

(3.a)

(3.b)

(3.c)

(3.d)

(3.e)

2.3 四容水箱系統SISO的數學模型

四容水箱系統可以通過關閉上水和下水閥門以及連通孔閥門而形成不同的流體傳輸通路,獲得不同的數學模型。當將閥門關斷形成圖1(b)所示的水流路徑時，則形成了一個含零點的3階SISO系統。在圖1(b)的基礎上將連通孔閥門關斷，則形成了一個2階不含零點的系統。為節省篇幅，本文僅給出圖1(b)所示系統的數學模型。此時系統的傳遞函數矩陣及其元素的表達式如下式所示：

(4.a)

(4.b)

(4.c)

R=T1T2Txs2+2T1T2s+T1Txs+T2Txs+T1+T2+Tx

3 四容水箱系統的參數影響分析

基于MIMO和SISO系統的數學模型，不同運行參數可獲得不同數學模型，形成不同特點的受控對象。

3.1 初始液位高度的影響

(1) 液位初始位置的變化不會引起零極點的位置發生質的變化，在零極點全是負數時，一直保持負數不變。

(4) 高位水箱初始液位高度對系統傳遞函數零極點的影響作用相對底層水箱要小。

圖2 hi對MIMO系統極點位置分布的影響 圖3 hi對MIMO系統零點位置分布的影響

3.2 出水孔及連通孔閥門開度的影響

四容水箱的出水孔的閥門開度βj通過影響對應水箱的時間常數Ti，連通孔的閥門開度βx通過影響Tx，進而影響水箱系統的零極點位置在S平面上的分布。βj對極點位置分布影響的作用曲線如圖4所示，對零點影響的曲線如圖5所示。

圖4 βj對MIMO系統極點位置分布的影響 圖5 βj對MIMO系統零點位置分布的影響

(1) 閥門開度的變化不會引起零極點的位置發生符號上的變化。

(3) 隨著出水孔或連通孔的閥門開度漸大，單一閥門開度影響下的傳遞函數的極點或是保持不變或是向偏離原點的方向移動，這為后續控制器的設計提供了方便。

(4) 互聯閥門開度對系統零極點位置的影響是所有閥門開度中影響最為顯著的一個。

3.3 水泵閥門的開度的影響

四容水箱的水泵閥門開度γ1、γ2通過影響系統線性狀態空間表達式中的輸入矩陣B，進而影響系統的零極點位置在S平面上的分布。γ1、γ2對極點位置分布影響的作用曲線如圖6所示，對零點影響的曲線如圖7所示。

圖6 γ1、γ2對MIMO系統極點位置分布的影響

(1) 由圖6可見，si不隨γ1，γ2的變化而變化，故γ1、γ2不對系統極點的分布產生影響。

(2) 由圖7可見，γ1、γ2對系統零點的分布產生較為顯著的影響，在γ1和γ2逐漸變化過程中，系統不僅存在S左半平面的零點，同時也存在S右半平面的零點。當系統出現原點處的零點時，此時對應γ1+γ2=1。

由圖8可見：在0<γ1+γ2<1時，系統既有S左半平面的零點，又有S右半平面的零點，此時的系統為非最小相位系統；在1<γ1+γ2<2時，系統僅有S左半平面的零點，為最小相位系統；在γ1+γ2=1時，系統的零點中包含S平面的原點。因此通過該實驗裝置，可以通過調節γ1、γ2得到不同的系統特性，并且該特性能夠得到較為直觀的物理解釋。

圖8 γ1+γ2對零點位置分布的影響

3.4 SISO三階帶零點的參數影響分析

與上述分析類似，下面討論參數對SISO系統的影響。

(1) 初始液位高度的影響。初始液位高度對部分極點位置分布影響的作用曲線如圖9所示，對零點影響的曲線如圖10所示。

圖i對SISO系統極點位置分布的影響

圖對SISO系統零點位置分布的影響

② 水箱4的初始液位發生變化時，會影響s3，但不會對零點位置的分布造成影響。

(2) 出水孔及連通孔的閥門開度的影響。βj對極點位置分布影響的作用曲線如圖11所示，對零點影響的曲線如圖12所示。

圖11 βj對SISO系統極點位置分布的影響

圖12 βj對SISO系統零點位置分布的影響

① 當水箱1和水箱2的出水孔閥門開度變化時，s1和s2隨之變化，而s1相對s2的變化速率緩慢，故在圖11中僅繪制出β1和β2變化對s2的影響。此外，β1通過影響T1而對z產生影響，而β2不影響系統零點的位置分布。

② 當水箱4的出水孔閥門開度變化時，s2和s3隨之變化，而在圖11中僅繪制出β4對s3的影響曲線。因SISO系統零點的表達式中不含與β4相關的量，故β4不影響零點的位置分布。

③ 水箱1和2之間連通孔的閥門開度影響s1、s2和z，且對系統零極點位置的影響是所有閥門開度中影響最為顯著的一個。

通過上面的分析，知道運行參數的不同會對系統的零極點分布產生影響，而零極點分布又與控制系統的性能相關。圖13反映了運行參數βx對系統階躍響應曲線的影響。

當βx由0.3增大到0.7時，系統零極點與原點間的距離均有所增大，系統的穩定性不變，系統的穩態值(穩態時水箱2的液位)由2.84 cm降至2.55 cm，系統的時間由177 s升至189 s。

圖13 βx對系統階躍響應的影響

4 結 論

四容水箱系統可以通過調節水箱初始液位高度和閥門開度的大小而形成具有不同結構和參數受控的對象，為自控實驗提供了豐富的受控對象。具體表現為：

(1) 通過上水閥門開度的變化，系統極點的位置不變但零點隨之在S平面的左右側移動而具有最小相位和非最小相位的特征，因此可以方便地比較這兩種系統的特點。

(2) 改變四容水箱系統初始液位高度會改變系統的零極點，為控制系統非線性系統線性化提供了方便的實驗手段。其中，水箱1和2的初始液位較為接近時，其變化對零極點的影響較為顯著，水箱3和4則對最靠近原點的零極點影響顯著。利用該特點，可以設計出非線性系統線性化對模型的影響的實驗方案。

(3) 改變水箱系統下水閥門及互聯閥門的開度會改變系統的零極點。其中，互聯閥門的影響對系統零極點影響最為顯著。可以通過改變改閥門獲得不同參數的系統，并進而進行不同的控制器參數的整定。

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Analysis of the Mathematical Model of Quadruple-tank Experimental Apparatus

HEYuxi1，JIXueqing1，ZHUZhaoxia2，ZOUBin1

(1. School of Mechatronic Engineering and Automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China; 2. Shanghai Brotek Co., Ltd., Shanghai 201399, China)

In order to analyze a high-order, nonlinear typical system in industrial process with a zero that can be located either in the left-half or right-half complex plane, a quadruple-tank system was selected an research objective. By different situations of valves, different state-space equations and transfer function matrices and other mathematical models could be obtained. The features of these models were discussed. The openness and close, and opening rates would lead to different positions of zeros and poles. The results showed that it was convenient to build MIMO or SISO systems by adjusting the pump state and valve ratio. The model features were different with different initial conditions in Taylor series expansion. The zero locations depended onγ1+γ2the opening ratio of valves. Changing the valve radios, especially the connection valve would affect the zeros and poles location and system characteristics, so were the control schemes.

quadruple-tank control; mathematical model; locations of poles and zeros; Taylor series expansion

2016-06-02

何豫溪(1994-)，女，河南周口人，碩士，主要研究方向為電氣工程。

Tel.:18817392910；E-mail:18817392910@126.com

鄒 斌(1965-)，男，湖北武漢人，教授，博士生導師，主要研究方向為電力市場、定價和電源規劃。

Tel.:13122601880； E-mail:zoubin@shu.edu.cn

TP 23

A

1006-7167(2017)02-0044-06