初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“類比思想”的實(shí)踐與研究
——《一元一次不等式的解法》

鄭 婷

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校，江蘇 蘇州 215143)

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初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“類比思想”的實(shí)踐與研究
——《一元一次不等式的解法》

鄭 婷

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校，江蘇 蘇州 215143)

數(shù)學(xué)思想方法一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)精華所在.在平時(shí)的教學(xué)中，結(jié)合觀察、比較、歸納、聯(lián)想,不斷滲透類比的思想方法，不僅可以激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情和主動(dòng)性，更可拓展學(xué)生的思維，為學(xué)生的終生發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ).

類比；數(shù)學(xué)思維；觀察；比較；歸納

數(shù)學(xué)上的類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去的思想.類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有十分重要的位置，也體現(xiàn)了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和創(chuàng)造性的思維方式.數(shù)學(xué)家歐拉曾說過“類比就是大膽的創(chuàng)造”，這正是說明類比思維是創(chuàng)造性思維的重要方面，更說明培養(yǎng)學(xué)生的類比思維是發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維的基石.數(shù)學(xué)探究性活動(dòng)中，學(xué)生靈活運(yùn)用類比思想方法，必然促使學(xué)習(xí)效果事半功倍.筆者結(jié)合蘇科版《一元一次不等式的解法》談?wù)勛约喝绾卧谡n堂中通過觀察、比較、歸納、聯(lián)想四步滲透類比的思想方法.

一、觀察啟動(dòng)類比思維是探究性學(xué)習(xí)的起點(diǎn)

教學(xué)設(shè)計(jì)：探究一元一次不等式的定義

問題1 觀察下列方程x+2=48、2x=x-3、3x+70=100 ，這是我們學(xué)過的一元一次方程，請(qǐng)回憶一下，一元一次方程的定義是什么？

生：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1次，像這樣的方程叫做一元一次方程.

問題2 如果我把這三個(gè)方程全部改成不等式，x+2≤48、2x100，它們有什么共同特征？

生：①只含有一個(gè)未知數(shù)，②未知數(shù)的次數(shù)都是1

問題3 你能仿照一元一次方程的定義說說一元一次不等式的定義嗎？

師生總結(jié)：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不等于0,像這樣的不等式叫做一元一次不等式.

一元一次方程和一元一次不等式從形式上來看，只有等號(hào)和不等號(hào)的區(qū)別，放在一起類比轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)，是很有必要的.從教學(xué)過程來看，通過復(fù)習(xí)學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)，通過類比思維順理成章過渡到本節(jié)課的新知識(shí)，筆者在設(shè)計(jì)問題串的時(shí)候要注意指向明確，不設(shè)置思維障礙，逐步引起學(xué)生的探究性思維，激發(fā)探究興趣.正是通過問題串引導(dǎo)學(xué)生觀察，從而開啟了學(xué)生的類比轉(zhuǎn)化思維.觀察不僅簡(jiǎn)化和優(yōu)化了問題的解答過程，而且讓學(xué)生感受到類比思維的真正內(nèi)涵.

筆者在進(jìn)行概念式教學(xué)時(shí)一直堅(jiān)持訓(xùn)練學(xué)生的觀察意識(shí)和觀察能力. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的觀察不能狹義地認(rèn)為只是直觀地看，需要眼腦并用，而且觀察的對(duì)象也并非都是直觀的.筆者深知觀察能力對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中各方面能力的培養(yǎng)都具有直接或間接的促進(jìn)作用.基于觀察，我們才可以做到識(shí)別圖形、把握數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)、發(fā)掘基本規(guī)律和提高數(shù)學(xué)化能力.總而言之觀察啟動(dòng)類比轉(zhuǎn)化思維是探究性學(xué)習(xí)的起點(diǎn).

二、比較感受類比思維是探究性學(xué)習(xí)的重點(diǎn)

教學(xué)設(shè)計(jì)：探究一元一次不等式的解法

問題1 如何求一元一次方程3x+70=100的解？

生：3x=30，x=10.

師：解一元一次方程的一般步驟有哪些？

生：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

問題2：如何求一元一次不等式3x+70>100的解集？

生小組交流.

生：我們組覺得可以和解一元一次方程一樣.

師：對(duì)于不等式而言，你們覺得“去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1”同樣適用，對(duì)嗎？下面我們一起來驗(yàn)證一下.

師：在前一節(jié)課的基礎(chǔ)上，我們可以用不等式的性質(zhì)將不等式變形，誰來說說看.

(生邊說師邊板書)

生：兩邊同時(shí)減去70為3x+70-70>100-70.

師：這個(gè)過程能否直接簡(jiǎn)化為3x>100-70.

生很快反應(yīng)：這是移項(xiàng),然后可以合并同類項(xiàng)為3x>30.

生：兩邊同時(shí)除以3，不等號(hào)方向不改變?yōu)閤>10.

生：這是系數(shù)化為1.

師：很好，你們已經(jīng)說出了解一元一次不等式的幾個(gè)基本步驟.

師：通過觀察比較一元一次方程的解法，你們得出了本節(jié)課的第二個(gè)知識(shí)點(diǎn)如何解一元一次不等式.那來練一練手吧：14-2x>6.(生獨(dú)立完成)

師投影一份學(xué)生過程：14-2x>6，-2x>6-14，-2x>-8，x>4.你有不一樣的想法嗎？

生：最后一步，我覺得不對(duì)，應(yīng)該為x<4.

生討論哪個(gè)答案正確.

生：-2x>-8，兩邊同時(shí)除以-2，不等號(hào)的方向要改變，應(yīng)為x<4.

師：步驟中一元一次不等式與方程唯一的不一樣在于系數(shù)化為1，不等號(hào)的方向是否變號(hào)，這也是不等式求解中最容易出錯(cuò)的地方.

這個(gè)教學(xué)過程中體現(xiàn)兩次比較過程，第一次比較體現(xiàn)在比較一元一次方程和不等式，從而由解一元一次方程的步驟類比到解一元一次不等式的一般步驟，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，整個(gè)思維過程也是非常順暢，這樣的探究活動(dòng)對(duì)學(xué)生而言是充實(shí)的，也是印象深刻的.在實(shí)際上課過程中，筆者一直堅(jiān)持以學(xué)生為學(xué)習(xí)的主體，無論學(xué)生得出什么樣的結(jié)論，都會(huì)讓大家互相交流一下是否需要糾錯(cuò)，筆者希望通過生生互動(dòng)找到學(xué)習(xí)中每個(gè)人的自我存在價(jià)值，最后老師引領(lǐng)提升和學(xué)生一起歸納總結(jié).第二次比較體現(xiàn)在一元一次不等式的最后一步“系數(shù)化為1”是否和方程一樣，如果老師直接告訴學(xué)生要注意不等號(hào)的方向是否改變，學(xué)生根本無法體會(huì)到這是本節(jié)課的一個(gè)重難點(diǎn).筆者選擇引導(dǎo)學(xué)生糾錯(cuò)，當(dāng)思維的火花不斷碰撞時(shí)，這樣的思辨過程充滿了樂趣.

三、歸納形成類比思維是探究性學(xué)習(xí)的核心

教學(xué)設(shè)計(jì)：運(yùn)用一元一次不等式的解法

(課件展示)(1)10-4(x-3)≥2(x-1)；

(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x).

生獨(dú)立完成.

生(投影自己的過程)：觀察題目發(fā)現(xiàn)有括號(hào)，那么應(yīng)該首先去括號(hào)，方法和方程中的去括號(hào)一樣，所以基本步驟為去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

師：如果不等式中出現(xiàn)分母呢？

生：那就去分母，還是類比一元一次方程的解法.

師：點(diǎn)到關(guān)鍵點(diǎn)上了，已經(jīng)會(huì)用類比的方法來研究不等式了，下節(jié)課我們?cè)賮碇攸c(diǎn)探究.

整堂課在不斷滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法，結(jié)合觀察和比較的策略，引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)探究能力，也歸納得出了解一元一次不等式的完整步驟.整個(gè)過程以學(xué)生說為主，一直呈現(xiàn)學(xué)生的主體地位. 除了學(xué)習(xí)中不斷訓(xùn)練學(xué)生觀察對(duì)比的能力，歸納形成類比思維的能力更是筆者關(guān)注的探究性學(xué)習(xí)的核心.當(dāng)學(xué)生想不到正確的思路時(shí)，筆者建議根據(jù)題中的“特殊情況”的結(jié)果猜測(cè)“一般情況”的可能性，逐步得到突破口的啟發(fā).這樣的探究思維正是體現(xiàn)了由特殊到一般的類比歸納思維.

四、聯(lián)想升華類比思維是探究性學(xué)習(xí)的高潮

解學(xué)設(shè)計(jì)：一元一次不等式解法的拓展提升

1.求不等式3x-11<0的正整數(shù)解.

2.如果不等式ax>a的解集是x<1，那么a應(yīng)滿足的條件是什么？

3.已知關(guān)于x的方程4x+3a=3x-(2a-3)的解是負(fù)數(shù)，求a的取值范圍.

生：第1題先移項(xiàng)、系數(shù)化為1，解出它的解集，再在解集范圍內(nèi)求出正整數(shù)解.

師：思路完全正確，那么你在觀察題目時(shí)，哪些關(guān)鍵詞需要?jiǎng)澇鰜恚?/p>

生：“正整數(shù)解”.所以只有先有解集，才會(huì)有正整數(shù)解.

師：題1可以歸納為求一元一次不等式的特殊解.

生：不等式中為“>”，但是“解集是x<1”，這一步系數(shù)化為1，兩邊同時(shí)除以a，只有a為負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向才會(huì)改變.

師：觀察到位，對(duì)比明確，分析透徹，結(jié)論正確，大家要像他學(xué)習(xí)先觀察題目，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，再辨析思路.

生：因?yàn)椤敖馐秦?fù)數(shù)”，所以先求方程的解，再根據(jù)解是負(fù)數(shù)列不等式，求不等式的解集.

師：題3中“解是負(fù)數(shù)”將方程和不等式相結(jié)合， 但是只要你們掌握了解決方法還是難不倒你們.

最后的拓展提升環(huán)節(jié)讓本節(jié)課達(dá)到一個(gè)高潮，學(xué)生的積極性都被調(diào)動(dòng)起來了，大家躍躍欲試開動(dòng)腦筋.這三題都是精選出來的典型題目，學(xué)生觀察題設(shè)、對(duì)比思路、歸納結(jié)論，正是不斷重復(fù)這樣的思維過程，類比的思想方法不斷滲透到探究過程中，漸漸內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)化能力.

總而言之，新舊知識(shí)上串下聯(lián)中掌握了類比這一思想方法有利于幫助學(xué)生不斷構(gòu)建知識(shí)體系，從而促使學(xué)生一步又一步解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，不斷體現(xiàn)自我價(jià)值、享受成功的喜悅.教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)情應(yīng)該堅(jiān)持不斷滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法，因材施教，做到讓學(xué)習(xí)真正在發(fā)生.長(zhǎng)久以往，學(xué)生的思維創(chuàng)造力和邏輯分析能力也會(huì)不斷增強(qiáng)，更有益于今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

[1] 盛保和. 淺議初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[J]. 教育教學(xué)論壇, 2013(06): 23-25.

[2] 吳傳發(fā). 按照中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的探索[J]. 課程.教材.教法, 2000(11): 13-15.

[責(zé)任編輯：李克柏]

2017-05-01

鄭婷(1985.1- ),女 ,江蘇如東，一級(jí)教師，本科，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué).

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