把“簡單的內(nèi)容”教得深刻

摘要：數(shù)學(xué)教材中很多知識內(nèi)容從表面上看并不復(fù)雜，學(xué)生一看就“懂”，一學(xué)就“會”，也能簡單運(yùn)用。但是，如果站在深度學(xué)習(xí)、教書育人的角度思考，就要求教師把“簡單的內(nèi)容”教得深刻。為此，要理解課標(biāo)與教參的教學(xué)要求和建議，系統(tǒng)認(rèn)識教學(xué)內(nèi)容（課題），深入分析問題情境，適當(dāng)拓展例、習(xí)題，充分體現(xiàn)學(xué)生自己的理解。

關(guān)鍵詞：知識系統(tǒng)問題情境例題變式學(xué)生主體函數(shù)的表示

作為數(shù)學(xué)教研員，筆者經(jīng)常聽評常態(tài)的數(shù)學(xué)課。在聽課過程中筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，教師將教材上的內(nèi)容簡單直接地呈現(xiàn)，按部就班地講解，讓學(xué)生一點(diǎn)一點(diǎn)地接受；整個教學(xué)過程體現(xiàn)不出教師對教學(xué)內(nèi)容的個性化理解和學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解程度，也缺乏教師對教學(xué)內(nèi)容的深度加工和促進(jìn)學(xué)生深度理解的方法手段。這樣的課聽下來，總感覺與學(xué)生自己看書自學(xué)沒有多大區(qū)別，教不如不教。筆者多次在聽課后詢問授課教師同樣的問題：這節(jié)課你講與不講、講與讓學(xué)生自學(xué)有什么區(qū)別？教師的教學(xué)價值體現(xiàn)在哪些方面？授課教師多是說一些培養(yǎng)學(xué)生能力的套話、空話。這樣的課上，教師把“簡單的內(nèi)容”教得簡單了：就知識教知識，沒有對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行多維度挖掘；教學(xué)目標(biāo)單一，沒有發(fā)揮出數(shù)學(xué)的育人功能。

數(shù)學(xué)教材中很多知識內(nèi)容從表面上看并不復(fù)雜，就是一個定義、一個公式或一個性質(zhì)等。對此，學(xué)生一看就“懂”，一學(xué)就“會”，也能簡單運(yùn)用——解決一些簡單問題。但是，這種“對著謎底理解謎面的方法，很容易理解謎面的意思，卻無助于猜謎能力的提高”。比如，對于“函數(shù)的表示方法”，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材一共介紹了三種表示方法（列表法、圖像法、解析式法）和兩道例題；學(xué)生理解這三種表示方法，會做這兩道例題，并不是難事。但是，如果站在深度學(xué)習(xí)、教書育人的角度思考，“簡單的內(nèi)容”教學(xué)并不簡單：函數(shù)還有其他的表示方法嗎？教材為什么介紹這三種表示方法？這三種表示方法各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？在什么情境下選擇哪種表示方法？它們之間能相互表示嗎？本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)能滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法？能培養(yǎng)學(xué)生的哪些數(shù)學(xué)能力？教材給出的例題的功能是什么？還能作怎樣的拓展？等等。這些問題都是教師需要深入思考的。這就要求教師深入“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”，把“簡單的內(nèi)容”教得深刻。

一、理解課標(biāo)與教參的教學(xué)要求和建議

教學(xué)需要經(jīng)驗(yàn)，更需要依據(jù)，需要標(biāo)準(zhǔn)。教到什么程度，如何教，既要根據(jù)以往教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)來判斷，更要依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)參考書對教學(xué)內(nèi)容的要求和對教學(xué)方式的建議（常規(guī)教學(xué)也要考慮考試大綱）來決定。教師要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容和總體課程目標(biāo)，對課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)參考書進(jìn)行反復(fù)研磨和深入解讀，從而確定教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難點(diǎn)、教學(xué)方法、教學(xué)策略、教學(xué)過程等。教師還要習(xí)慣于查閱課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)參考書，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，理解教學(xué)。

對于“函數(shù)的表示方法”，課程標(biāo)準(zhǔn)提出的總的要求是：“在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表法、解析法）表示函數(shù)。”“通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用。”教學(xué)參考書提出的更具體的要求和建議是：“理解同一個函數(shù)可以用不同的方法表示。”“列表法、解析法和圖像法是三種常用的函數(shù)表示方法，在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多舉一些生活或其他學(xué)科中的例子，以加深對函數(shù)表示法的理解。”“通過實(shí)例，使學(xué)生感受到函數(shù)就在身邊，體會到數(shù)學(xué)知識的廣泛應(yīng)用性，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力及解決問題能力。”“函數(shù)的三種表示法具有內(nèi)在的聯(lián)系，在一定條件下，是可以相互轉(zhuǎn)化的，教師應(yīng)根據(jù)例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖痉逗椭v解。”“了解簡單的分段函數(shù)的特點(diǎn)及應(yīng)用。”可以說課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)參考書的要求和建議是多角度、多層次的：既明確了教學(xué)目標(biāo)，提出了對知識掌握和能力培養(yǎng)的要求，也提供了教學(xué)方法。不認(rèn)真閱讀課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)參考書，很難有如此全面的“經(jīng)驗(yàn)”。

二、系統(tǒng)認(rèn)識教學(xué)內(nèi)容（課題）

對于任何一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容（課題），都不能孤立地看待，而要放入章節(jié)、教材中從整體與系統(tǒng)的角度去認(rèn)識、理解、把握、設(shè)計(jì)。“函數(shù)的表示方法”是“函數(shù)的概念、定義域、值域及圖像”之后，“函數(shù)的性質(zhì)”之前的學(xué)習(xí)內(nèi)容。有了函數(shù)的概念，就要研究其表示方法（不會表示函數(shù)，其他一切都無從研究起）；有了函數(shù)的表示方法，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)。就像有了集合的概念，需要研究集合的表示，進(jìn)而研究集合的運(yùn)算（性質(zhì)）一樣，這是研究數(shù)學(xué)概念（對象）的基本套路。所以，這一課題的教學(xué)時機(jī)是自然的、恰好的，教學(xué)中要讓學(xué)生理解這種研究思路和研究方法，學(xué)會自己進(jìn)行思考，提出研究問題。

對于一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容（課題），還要“咬文嚼字”，深入理解；并且把靜態(tài)的文本內(nèi)容（如情境、問題、例子、結(jié)論等）轉(zhuǎn)化成動態(tài)的思維過程，讓學(xué)生從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識與方法。“函數(shù)的表示方法”中，“表示方法”是重要的，因此這節(jié)課的重點(diǎn)是三種表示方法，必須理解清楚、掌握到位；但是，不會表示何談方法，有了方法還要會表示，因此“函數(shù)的表示”也是重要的。作為教材，選擇最直接的三種情境，體現(xiàn)三種不同的表示方法當(dāng)然是恰當(dāng)?shù)模亲鳛榻虒W(xué)，則不能只呈現(xiàn)教材上的三個例子，還應(yīng)該給學(xué)生更多的例子，讓學(xué)生選擇方法表示其中的函數(shù)關(guān)系，理解不同的表示方法，在不同的表示中概括、抽象出這三種最常用的表示方法。此外，從整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程看，學(xué)生通常缺乏解決應(yīng)用題的能力，其主要原因是缺乏建模能力，而建模能力主要表現(xiàn)在表示出函數(shù)關(guān)系上。所以，本節(jié)課以及后續(xù)教學(xué)中，還要重視“函數(shù)的表示”，讓學(xué)生會選擇合適的方法表示函數(shù)。

三、深入分析問題情境

問題情境是知識的載體與探究的動因，有助于學(xué)生充分理解知識，因此知識的教學(xué)離不開問題情境的設(shè)置。問題情境往往具有比較復(fù)雜的內(nèi)涵，教材設(shè)置的問題情境更是隱含比較豐富的用意。對此，教師需要深度分析，從而引導(dǎo)學(xué)生充分理解、掌握知識。

對于“函數(shù)的表示方法”，教材一脈相承地沿用了前一小節(jié)“函數(shù)的概念和圖像”開頭的三個問題情境。第一個問題情境以表格形式呈現(xiàn)了年份與人口之間的函數(shù)關(guān)系，如表1所示；第二個問題情境以解析式形式呈現(xiàn)了物體下落距離與下落時間之間的函數(shù)關(guān)系，即y=4.9x2；第三個問題情境以圖像形式呈現(xiàn)了時刻與氣溫之間的函數(shù)關(guān)系，如圖1所示。

第一個問題情境中的列表法簡潔明了，對應(yīng)關(guān)系明確，函數(shù)的“輸入值”與“輸出值”一目了然；第二個問題情境中的解析法概括全面，對應(yīng)關(guān)系精確，由任一時刻都可以計(jì)算出距離——這也是學(xué)生最熟悉的表示方法；第三個問題情境中的圖像法能直觀形象地反映函數(shù)值隨自變量值變化的趨勢。而且，第一個問題情境可以用圖像法表示，但是很難用解析法表示；第二個問題情境可以用圖像法表示，但是很難用列表法表示；第三個問題情境既不好用解析法表示，也很難用列表法表示。所以，三種表示方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，都有存在的必要性；對于不同的問題、不同的需要，應(yīng)該選擇不同的表示方法。比如，教材例1呈現(xiàn)的是“購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元”的問題情境，用三種表示方法都可以。教學(xué)中，要讓學(xué)生分別用不同的表示方法表示其他兩個函數(shù)關(guān)系，從而體會各種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)，明白上述道理；而不能通過教師的介紹來強(qiáng)調(diào)。此外，在三種表示的相互轉(zhuǎn)化為也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)“函數(shù)與方程”作好鋪墊。

四、適當(dāng)拓展例、習(xí)題

教學(xué)要“用教材教”，而不是“教教材”。教師要基于學(xué)生的實(shí)際水平，從促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)和思維發(fā)展的角度出發(fā)，對教材內(nèi)容（尤其是例、習(xí)題）進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪酵卣梗栽鰪?qiáng)學(xué)生對相關(guān)概念、原理的理解與應(yīng)用。

對于“函數(shù)的表示方法”，在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的三種表示方法以及分段函數(shù)的概念之后，教師可以提出“狄利克雷函數(shù)D（x）=1，x是有理數(shù)，0，x是無理數(shù)”的表示方法問題，擴(kuò)大學(xué)生的見識。在學(xué)生學(xué)習(xí)了教材中的例2“畫f（x）=|x|的圖像”之后，教師可以增加變式1“畫函數(shù)f（x）=|x+1|的圖像”。這樣做一方面是為了考查學(xué)生能否對函數(shù)f（x）=|x|的分段畫法進(jìn)行遷移（實(shí)際上，很多學(xué)生對|x|會分x>0，x=0，x<0討論，但是對|x+1|不會分x+1>0，x+1=0，x+1<0討論），從而檢測學(xué)生是否真的理解函數(shù)f（x）=|x|的分段畫法；另一方面還可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖像平移的方法，從而由模仿上升到創(chuàng)造。學(xué)生理解變式1后，教師還可以給出變式2“畫函數(shù)f（x）=x|x-1|的圖像”，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其是由兩個二次函數(shù)各取一部分構(gòu)成的，從而拓展對分段函數(shù)的認(rèn)識，減少思維定勢。學(xué)生掌握變式2后，教師可以繼續(xù)提出要求較高的變式3“畫函數(shù)f（x）=|x|+|x+1|的圖像”，引導(dǎo)學(xué)生基于函數(shù)f（x）=|x|與f（x）=|x+1|圖像的畫法，進(jìn)一步分類討論、去絕對值，欣賞到不一樣的分段函數(shù)圖像，體會到分段函數(shù)中的思想方法。而且，變式2與變式3中的函數(shù)都是后續(xù)學(xué)習(xí)中重要的函數(shù)模型，在此借助分段函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)臐B透，既有利于對分段函數(shù)的理解，又有利于后續(xù)的函數(shù)學(xué)習(xí)。當(dāng)然，這樣的拓展需要適度，不能偏離目標(biāo)中心。比如，“已知f（x+1）的解析式，求f（x）的解析式”的問題不涉及函數(shù)表示方法的轉(zhuǎn)換、比較，只是對解析法的深度認(rèn)識，而且具有一定的難度，需要較高水平的抽象、整體思維，因此不合適在本節(jié)課作過多的拓展講解。

五、充分體現(xiàn)學(xué)生自己的理解

教學(xué)不只是“教課程”，而且是“教學(xué)生”；要由“教書”變成“育人”。要把“簡單的內(nèi)容”教得深刻，就要在教學(xué)過程中促進(jìn)學(xué)生對學(xué)習(xí)活動的參與，體現(xiàn)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解。很多教師在教學(xué)中常常以自己的理解代替學(xué)生的理解，甚至認(rèn)為自己講解過后學(xué)生就應(yīng)該理解，也應(yīng)該與自己理解得一樣。但是，事實(shí)不是這樣的：學(xué)生都有自己不同的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，有自己不同的認(rèn)知基礎(chǔ)，所以會有自己不同的理解、個性化理解（即使內(nèi)容很簡單或者經(jīng)過了教師的講解）。所以在教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生充分展示自己的理解，使學(xué)生從不同的角度充分理解。在此基礎(chǔ)上，教師要處理好預(yù)設(shè)與生成關(guān)系，基于學(xué)生的理解及時調(diào)整預(yù)設(shè)，有針對性地實(shí)施教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解，讓學(xué)生走向深刻。

同樣是教學(xué)“函數(shù)的表示方法”，甲教師講解自己對“畫函數(shù)f（x）=|x|的圖像”問題的處理：從去絕對值的角度思考，即轉(zhuǎn)化為f（x）=x，x>0，0，x=0，-x，x<0，然后畫出圖像。由此，甲教師讓學(xué)生板演“畫函數(shù)f（x）=|x+1|的圖像”。但是，很多學(xué)生可能還沒有理解f（x）=|x|到底是什么函數(shù)，還沒有感受到“分段”的意義，也不知道f（x）=|x+1|怎樣去絕對值，所以無所適從，不知如何畫。而教師乙則讓四位學(xué)生到黑板上畫函數(shù)f（x）=|x|的圖像，結(jié)果大不一樣：第一位學(xué)生將f（x）=|x|轉(zhuǎn)化為f（x）=x，x>0，0，x=0，-x，x<0，畫其圖像；第二位學(xué)生將f（x）=x在x軸下方的圖像對折上去；第三位學(xué)生根據(jù)f（x）=|x|的圖像關(guān)于y軸對稱畫；第四位學(xué)生用描點(diǎn)法畫f（x）=|x|的圖像。于是，乙教師分別肯定了學(xué)生的理解，并在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行講解，使學(xué)生既肯定了自己的想法，也理解了別人的想法，更優(yōu)化了自己的解法。此時，再讓學(xué)生畫函數(shù)f（x）=|x+1|的圖像，學(xué)生基本沒有錯誤。可見，雖然教師習(xí)慣于用分段的方法解決，但是學(xué)生有自己不同的理解；而順著學(xué)生的理解展開教學(xué)，可以取得更好的效果。