基于小波變換和二維隨機共振的圖像去噪算法

劉玉欣，余 雷，劉 珊，程 偉，林 江，高仕龍

(樂山師范學院 數(shù)學與信息科學學院，四川 樂山 614000)

基于小波變換和二維隨機共振的圖像去噪算法

劉玉欣，余 雷，劉 珊，程 偉，林 江，高仕龍

(樂山師范學院 數(shù)學與信息科學學院，四川 樂山 614000)

小波變換能對信號特征進行自適應分類提取，并快速有效地將圖像信號分解成不同頻帶范圍內(nèi)的圖像分量，利于圖像去噪。隨機共振能將部分噪聲轉(zhuǎn)換成信號能量，達到增大圖像對比度、提高圖像質(zhì)量的效果。提出了一種基于小波變換和二維隨機共振的圖像去噪方法，實驗結果表明，該方法取得了不錯的去噪效果。

小波變換；二維隨機共振；圖像去噪；雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)

0 引言

在科學研究、軍事技術、醫(yī)學及天文學等領域，人們開始更多地利用圖像信息來認識和判斷事物，并解決實際問題。然而人們獲得的圖像通常會被噪聲污染。為解決此問題，人們提出了許多圖像去噪方法。比較常見的有各種線性濾波方法，如均值濾波、維納濾波[1]等，還有各種變換域方法，如傅立葉變換、小波變換[2]等。1974年，法國從事石油信號處理的工程師Morlet首先提出小波變換，它是對空間(時間)和頻率的局部變換，通過伸縮和平移等功能對信號進行多尺度的細化分析，從而更有效地從信號中提取信息。

噪聲具有兩面性。一方面，傳統(tǒng)觀點認為噪聲是對信號的一種干擾，因此需要盡可能地消除或抑制它；另一方面，研究表明，噪聲不是在所有情況下都起消極作用，噪聲通過某些非線性系統(tǒng)的協(xié)同作用可以對信號起到一定增強作用。1981年，意大利學者Benzi[3]在研究古氣象冰川問題時，最早提出隨機共振(Stochastic Resonance)的概念。當隨機噪聲、輸入信號和非線性系統(tǒng)三者達到協(xié)同時，一部分噪聲將轉(zhuǎn)換成信號，使原本輸入的信號得到增強，進而提高輸出信噪比。目前，對于隨機共振在微弱周期信號的提取和參數(shù)估計方面的研究已比較成熟，但對于其在非周期信號處理，尤其是圖像處理方面的應用研究還較少。因此，本文結合小波變換的頻帶分割特性和隨機共振對噪聲信號的增強功能，提出一種基于小波變換和二維隨機共振的圖像去噪方法。

1 小波變換圖像去噪原理

小波變換是近年來應用廣泛的一種數(shù)學工具，是一種多分辨率分析方法，在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，利用它可以聚焦分析對象的任意細節(jié)。通過兩個一維的高通和低通分解濾波器先后作用于數(shù)字圖像的行和列，可以實現(xiàn)圖像的二維小波分解。在每一個分解尺度上都得到4個不同的次級子帶，其中LL是低頻子帶，它代表圖像的主要內(nèi)容信息，集中了圖像的絕大部分能量，而LH、HL和HH是中高頻部分，分別代表圖像水平方向、垂直方向和對角線方向的細節(jié)。如果對圖像的低頻部分進一步作小波分解，則可得到多個尺度的圖像時頻信息。

圖1 小波分解

數(shù)字圖像的小波分解實質(zhì)上是把圖像信號分解成不同頻帶范圍內(nèi)的圖像分量。每一層小波分解都將圖像分解成4個子帶，很好地分離出表示圖像內(nèi)容的低頻信息與表示圖像細節(jié)的高頻信息。因此，在不同的小波尺度上，采用不同方法來增強不同頻率范圍內(nèi)圖像的細節(jié)分量，再把處理后的系數(shù)進行小波重建，從而能夠在突出圖像細節(jié)特征的同時，有效抑制噪聲的影響，使圖像更加清晰。

2 雙穩(wěn)態(tài)隨機共振

在隨機共振的研究中，非線性雙穩(wěn)態(tài)模型應用較為廣泛。該系統(tǒng)可由非線性方程來表示：

(1)

式中，U(x)是勢函數(shù)，s(t)是系統(tǒng)的輸入，分別表示為：

(2)

(3)

其中a和b為系統(tǒng)參數(shù)，決定勢函數(shù)的形態(tài)。f(t)為周期或非周期輸入信號，ξ(t)為隨機噪聲。從物理角度上看，雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出模擬了粒子在勢阱內(nèi)的運動軌跡。

假設A為輸入信號的幅值，當輸入系統(tǒng)噪聲為零時，系統(tǒng)存在臨界值Ac。當AAc時，粒子才能在兩勢阱間做大范圍的躍遷；當引入噪聲后，在噪聲的作用下，即使在A<

3 算法分析

雙穩(wěn)系統(tǒng)和小波變換均具有低通濾波器的特性。小波變換通過頻域分解，可以有效地去除高頻噪聲成分。雙穩(wěn)系統(tǒng)利用隨機共振機制能將噪聲能量轉(zhuǎn)化為圖像信息，從而達到提高圖像質(zhì)量的效果。本文算法主要分為以下步驟：

(1)小波變換。將灰度噪聲圖像進行一層二維小波分解，得到一個低頻子帶LL，兩個中頻子帶LH、HL和一個高頻子帶HH。圖像經(jīng)二維離散小波分解后,絕大部分圖像信息都集中在低頻部分LL，而高頻噪聲則集中在高頻子帶HH。因此,將得到的低頻子帶LL進行小波重構得到一個低頻子圖，從而達到去噪的目的。

(2)二維隨機共振。根據(jù)絕熱近似[4]或線性響應理論[5]，系統(tǒng)輸入必須符合SR的小參數(shù)要求，即信號的幅度和頻率以及噪聲強度均遠遠小于1。因此，在小波重構的低頻子圖輸入隨機共振系統(tǒng)之前，需要先進行歸一化處理，然后利用二維隨機共振原理[6]，對歸一化后的圖像按行和列分別轉(zhuǎn)化為向量輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)進行處理，以此實現(xiàn)對噪聲的抑制和對圖像的增強。

(3)直方圖均衡。由于隨機共振會導致圖像的像素統(tǒng)計直方圖分布在一個狹窄區(qū)域，使圖像亮度增加。因此，最后利用直方圖均衡，使處理后的圖像像素統(tǒng)計分布更加均勻，從而達到增強視覺效果的作用。

4 實驗效果

實驗對象選取640×640的灰度圖像。添加強度為D的高斯白噪聲，先進行二維離散小波變換，再按上述算法對含噪圖像進行隨機共振。在雙穩(wěn)系統(tǒng)求解中，計算步長為h=0.1，系統(tǒng)參數(shù)a=4,b=80,在不同噪聲強度下的實驗效果如圖2～圖4所示。其中，(a)圖是添加噪聲后的圖像，(b)圖是小波去噪后的圖像，(c)圖是經(jīng)小波去噪和行向量隨機共振后的圖像，(d)圖是經(jīng)小波去噪和二維隨機共振后的圖像。從實驗效果看，本文算法能很好地達到去除噪聲、增強圖像清晰度的目的。既使在噪聲強度達到D=0.2,噪聲圖像破壞程度很高的情況下，也能達到較好的復原效果。

圖2 小波變換和二維隨機共振去噪效果(D=0.02)

圖3 小波變換和二維隨機共振去噪效果(D=0.1)

圖4 小波變換和二維隨機共振去噪效果(D=0.2)

小波變換能將圖像信息中的高、中、低頻成分進行有效分離，從而達到去除噪聲的目的。從實驗結果看，盡管采用小波低頻子帶重構的復原圖像與噪聲圖像相比，圖像質(zhì)量具有一定程度提高，但是小波在去除中高頻成分中噪聲的同時，也帶走了一些圖像的細節(jié)信息。利用雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振機制可實現(xiàn)圖像信號的增強功能，從而達到提高圖像清晰度的目的。同時，雙穩(wěn)系統(tǒng)能將部分噪聲能量轉(zhuǎn)化為圖像信息，從而彌補小波去噪中因舍棄中高頻子帶而丟失的圖像細節(jié)信息。因此，從理論上而言，將小波變換和二維隨機共振相結合，能達到更好的噪聲圖像復原效果。

假設有m行n列的灰度圖像K和處理后的圖像I,其峰值信噪比定義為：

(4)

其中，maxI為圖像I的灰度最大值，均方差mse定義為：

(5)

圖5是本文算法和小波去噪、二維隨機共振去噪的效果比較。其中，(a)圖是添加強度為D=0.15的高斯白噪聲后的圖像，(b)圖是小波去噪后的圖像，(c)圖是經(jīng)二維隨機共振去噪后的圖像，(d)圖是本文基于小波和二維隨機共振去噪后的圖像。從視覺效果看，小波變換和二維隨機共振均能有效地去除噪聲，但是將兩種方法結合后，復原效果好于單一算法。

圖6是本文算法和小波去噪、二維隨機共振去噪結果的峰值信噪比(PSNR)的比較。從定量角度看，只有在噪聲極少的情況下，小波去噪的效果優(yōu)于隨機共振方法和本文算法，但當噪聲強度增大，本文基于小波和隨機共振的圖像去噪算法取得的峰值信噪比好于單一的小波去噪和隨機共振去噪。因此，本文提出的算法具有一定的實際應用價值。

5 結語

本文提出一種基于小波變換和二維隨機共振的圖像去噪聲算法。小波變換處理噪聲圖像后，大部分圖像信息位于低頻子帶，將其重構后的低頻子圖向量化后輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)進行二維隨機共振處理。從實驗結果看，能取得較好的復原效果。另外，由于隨機共振后的圖像像素統(tǒng)計直方圖集中于比較狹窄的區(qū)域，因此借助于直方圖均衡，能有效地增加圖像對比度，從而獲得更好的去噪效果。最后，由于很難界定非周期輸入的雙穩(wěn)系統(tǒng)是否達到最佳的隨機共振狀態(tài)，因此只能通過手動調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)a、b，使二維隨機共振的效果達到最佳，這需要在理論上作進一步研究。

圖5 去噪算法效果比較(D=0.05)

圖6 去噪算法峰值信噪比比較(D=0.05)

[1] ANGELOPOULOS G, PITAS I. Multichannel wiener filters in color image restoration[J].IEEET Transactions on Circuits and Systems for Video Technology ,1994, 4(1): 83-87.

[2] 陳武凡.小波分析及其在圖像處理中的應用[M].北京:科學出版社，2002.

[3] BENZI R, SUTERA A, VULPIANA A.The mechanism of stochastic resonance[J]. Phys. A, 1981, 14 (11): L453-L457.

[4] MCNAMARA B，WIESENFELD K，ROY R. Observation of stochastic resonance in a ring laser[J]. Phys. Rev Lett., 1988, 60 (25): 2626-2629.

[5] DYKMAN M I, LUCHINSKY D G, MANNELLA R, et al. Stochastic resonance: linear response theory and giant nonlinearity[J]. J Sat Phys, 1993, 70(1/2):463-479.

[6] 趙爾華，冷永剛.圖像二維隨機共振研究[D].天津：天津大學,2011.

(責任編輯：黃 健)

四川省教育廳資助科研項目(16TD0029)；樂山師范學院創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃資助項目(201510649004，201610649020)

高仕龍(1975-)，男，四川仁壽人，博士，樂山師范學院數(shù)學與信息科學學院教授，研究方向為分數(shù)階微積分、隨機共振。本文通訊作者為高仕龍。

10.11907/rjdk.162550

TP312

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1672-7800(2017)003-0034-03