高中數學中不等式的證明方法總結

江蘇省天一中學高三八班(214000) 孫逸科 ●

高中數學中不等式的證明方法總結

江蘇省天一中學高三八班(214000) 孫逸科 ●

本文對高中數學中不等式證明方法進行總結，針對不同類型題目采取有效的解題方法．

高中數學;不等式;證明方法

不等式問題是高中數學中的重難點，并且解決方法有很多種．在學習這部分知識時應不斷積累，做好總結，熟練掌握不等式的證明方法．

一、采用分析法證明不等式

在學習不等式的證明方法時，應在學習過程中反思有哪些證明方法，以及每種方法的具體應用和特點．在應用分析法證明不等式時，應熟練掌握關于不等式的知識，掌握分析法的用法．分析法的實際應用就是通過從證明的結論考慮，然后求出能夠使結論成立的充分條件，再證明充分條件成立，從而保證要證明的結論成立．并且通過積極思考和探究，對新知識進行充分的理解，創新性地用分析法證明不等式．

通過充分了解題意，從結論出發進行分析，逐步找到逆結論成立的必要條件，按照分析法的邏輯原理進行分析，從而正確分析解決問題．同時應了解不等式的實際問題，靈活應用解題方法．

例2 建筑學中規定，住戶的住宅窗戶面積不能大于地板面積，同時窗戶面積和地板面積之比不能小于1:10，并且兩者的比值越大，采光效果就越好，問窗戶面積和地板面積等面積增加時，采光條件效果是好了還是壞了?

二、通過常數變易法證明不等式

常數變易法也是解決不等式問題的常用方法．一般是用來證明數值不等式，這種類型的需要作輔助函數來進行證明．基本的證明步驟是:一將不等式中的某個常數變易為x，二對不等式進行移項，通過移項使得不等式一端為0，另一端令其為F(x)，三求F'(x)或者F''(x)，然后判斷F'(x)或者F''(x)的符號．四通過利用F'(x)的單調性來得出數值不等式的證明．

例3 設e＜a＜b＜e2，證明ln2b－ln2a＞(b－a)．

分析 根據一般解題步驟，需要得出F'(x)、F″(x)等，直到能夠判斷出F'(x)的單調性，再利用端點值進行大小比較．

證明:令F(x)=ln2x－ln2a－(x－a)(將b變易成x)．由于F'(x)=，則F″(x)=．當x＞ e時，F″(x)＜0，因此當x＞e時，F'(x)單調遞減，當e＜x＜e2時，F'(x)＞ F'(e2)==0，即當 e＜x＜e2時，F(x)單調遞增．由于F(a)=0，因此當e＜a＜b＜e2時，有F(b)＞F(a)，即ln2x－ln2a－(x－a)＞0，因此ln2b－ln2a＞(b－a)．

合理應用常數變易法能夠有效解決這一類型不等式證明，但在證明的過程中，應注意合理應用函數，準確判斷函數的單調性，從而證明不等式．

三、利用導數證明不等式

導數是函數中的一個重要概念，并且很多不等式證明題型中會應用到．導數在不等式中應用的方式很多，一般有通過導數求出函數單調性來證明，以及通過導數求出函數的最值來證明．利用函數單調性證明不等式，需要先構造函數，具體形式有直接構造函數以及將不等式變形之后再構造函數，然后利用導數來證明函數單調性．

例4 當x∈(0，x)時，證明不等式sinx＜x．

證明 設F(x)=sinx－x，則F'(x)=cosx－1，因為x∈(0，π)，所以F'(x)＜0，所以 F(x)=sinx－x在區間(0，π)上是單調遞減的，并且F(0)=0．所以F(x)=sinx－x＜F(0)=0．因此當x∈(0，π)時，sinx＜x成立．

通過導數求出函數的最值也是解決不等式問題的重要方法．根據不等式的結構特點，有時可以構造函數，然后利用導數來求出函數的最值，當求出此函數的最大值或者最小值時，不等式成立，從而得出不等式恒成立的結論．

例5 設n∈N，n≥3，證明2n＞2n+1．

證明 要證明2n＞2n+1，需要證明2n－2n－1＞0，n≥3時成立．設 F(x)=2x－2x－1(x≥3)，則F'(x)= 2xln2－2(x≥3)，因為x≥3，因此F'(x)=2xln2－2≥23ln2－2＞0，所以當x大于等于3時，函數是單調遞增的．所以函數最小值為F(3)=23－6－1=1＞0，因此n∈N，n≥3時，F(n)≥F(3)＞0，即n≥3時，2n－2n－1＞0成立．

總之，不等式形式多樣，在學習高中數學不等式的內容時，應充分掌握對應的各種方法，靈活判斷各種類型不等式題型的解題思路．

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