用智能手機加速度傳感器分析彈簧振動現象

趙榮俊 劉應開

·現代教學技術·

用智能手機加速度傳感器分析彈簧振動現象

趙榮俊 劉應開

（云南師范大學物理與電子信息學院，云南昆明 650000）

將智能手機作為振子隨著彈簧一起在豎直方向上運動，利用基于安卓系統的智能手機加速度傳感器Accelogger軟件記錄振動過程中三維空間的加速度并作出圖像．通過分析加速度隨時間的變化曲線，再結合彈簧做簡諧運動的相關理論求出在單個彈簧和多個彈簧串聯兩種情況下的振動周期、勁度系數和重力加速度，與傳統實驗方法進行比較．

智能手機；加速度傳感器；勁度系數；重力加速度

隨著科學技術的不斷發展與社會的進步，智能手機、平板電腦等電子產品廣泛進入人們的日常生活．這些擁有高科技附加值的電子產品擁有高精度的力傳感器、音頻傳感器、光學傳感器、GPS定位系統等，大大提高了手機的通訊質量和水平．同時也為我們利用這些高精度的傳感器研究物理學中的力學、電學、聲學、原子物理等學科中的物理問題提供了新技術和新方法，如何利用智能手機中的特殊功能的傳感器研究基本的物理問題也成為新時期物理學教學研究的課題．［1－6］由于這些傳感器具有高的靈敏度和精確度，與傳統的物理實驗方法比較，能夠更加準確地測量有關的物理量，為開展物理教學研究、準確再現物理現象、揭示物理規律提供了新的方法、途徑．本文利用基于安卓系統的智能手機加速度傳感器Accelogger軟件對彈簧振子在振動過程中每一時刻的三維空間的加速度進行測量，并記錄數據，根據數據畫出各方向的加速度與時間的關系曲線．［7］結合彈簧做簡諧運動的理論分析實驗結果，求出所用彈簧的勁度系數、彈簧振動周期，從而求出當地的重力加速度．與傳統方法測得的重力加速度比較表明：智能手機加速度傳感器能完整呈現彈簧做簡諧運動的基本規律及物理圖像，且結果更加準確．這為利用智能手機開展物理教學研究提供有益嘗試，可為研究聲學、磁學等不容易被學生直覺感知的物理問題、物理現象提供借鑒，準確、形象生動地再現物理規律．

1 加速度傳感器原理

智能手機加速度傳感器測量和記錄了任意時刻三維空間x，y，z三個方向獨立的加速度．在三維空間中，無論手機如何放置，x軸和y在同一個平面內，y軸指向是手機底部到頂端的方向，而且這個方向為手機的正方向．x軸則從左至右的走向，該方向亦是正方向；z軸走向則是面向使用者的方向．如果在某一方向上位移大小沒有發生變化，則在該方向上的加速度不變．在實驗過程中可以通過改變加速度傳感器的參數設置來獲取所需要的信息．

2 利用智能手機加速度傳感器研究單個彈簧振子的簡諧運動

2．1 實驗裝置

取一根長度為70mm的彈簧，其上端用一段細線固定于支架上，下端與智能手機連接，因此形成一個豎直方向上的彈簧振子．從平衡位置開始讓手機由靜止開始下落，并啟動加速度傳感器，當手機隨著彈簧一起振動時，加速度傳感器記錄下彈簧振子的加速度大小并以曲線的形式將變化顯示出來．［8］由于彈簧振幅較小并且空氣阻力可以忽略，因此彈簧的振動為簡諧運動．

2．2 實驗原理

在彈簧的振動過程中，一個具有一定質量的智能手機可以用作一個振子置于彈簧一端，跟隨著彈簧一起運動，此時手機的加速度傳感器會自動記錄下彈簧在振動過程中各個時刻三維空間的加速度大小．對數據進行分析處理，作出各方向上加速度變化曲線．在彈簧振動方向上加速度變化曲線近似為正弦曲線，從圖像中可讀出彈簧振子的振動周期，并根據簡諧運動理論進行彈簧勁度系數和當地重力加速度的計算，并與傳統方法測量結果相比較．

2．3 測量彈簧勁度系數

2．3．1 用加速度傳感器測量彈簧的勁度系數

一個彈簧和振子組成的系統，其振動周期［］為

在式（1）中，m為振子的質量，M為彈簧的質量，k為彈簧的勁度系數．實驗中所選取的M m，因此，將彈簧的質量M忽略不計．所以，在不考慮彈簧質量的情況下，彈簧振動周期［9］為

根據加速度傳感器所記錄的各個時刻的加速度數值，作出豎直方向加速度隨時間變化關系為正弦曲線．在簡諧運動中，振動在一個運動周期內加速度兩次達到最大值，因此，從圖像中可求出在一段時間t內完成完整振動的次數為n，則彈簧振子振動的周期為

將式（3）代入式（2）并兩邊平方，則可得彈簧的勁度系數k為

2．3．2 實驗步驟

（1）用天平稱量出智能手機的質量m．

（2）打開手機中的加速度傳感器并對其進行相關參數設置．

（3）將彈簧固定，并把智能手機置于彈簧一端，放于平衡位置．

（4）靜止釋放彈簧振子，使其在豎直方向上自由振動．

（5）同步按下加速度傳感器“開始”按鈕，并記錄數據．

（6）將記錄的數據導入到電腦中進行數據處理并作出加速度隨時間變化曲線．

2．3．3 胡克定律靜態測量彈簧勁度系數

根據胡克定律［10］F＝－kx和平衡條件

式中x為彈簧的伸長量，因此，利用胡克定律測量靜態情況下的彈簧勁度系數

在靜止的狀態下通過增加砝碼改變Δm，則彈簧會被拉伸，用米尺測量出豎直方向上彈簧的伸長量Δx，將相應的數值代入（6）式，作出相應的圖像，可知彈簧的伸長量與質量的改變量成線性相關，圖像的斜率即為靜態情況下的彈簧勁度系數k．實驗裝置如圖1所示．

2．4 彈簧勁度系數的計算

2．4．1 加速度傳感器計算k值

在彈簧振子的振動過程中，手機加速度傳感器記錄了在任意時刻三維空間的加速度數值．如圖2所示為彈簧在豎直方向上振動過程中x，z兩個方向的加速度變化情況．

圖1 實驗裝置

圖2 彈簧振動過程中x，z方向的加速度變化

圖中實線為z方向，虛線為x方向的加速度變化曲線．當手機處于靜止狀態時加速度理論值為0，在某方向上運動發生改變時，則會產生相應的加速度．在該實驗中，智能手機隨著彈簧在豎直方向上作簡諧運動，由于受到手機重力作用，彈簧受力較大，因此豎直方向的加速度隨著時間變化較大．嚴格意義上講手機不是質點，是剛體，除了在豎直方向振動外，在x，z兩個方向上會發生些微轉動，且在x方向比z方向明顯，因而x、z方向加速度也會有變化，只不過沒有y方向明顯．

通過對所采集的實驗數據進行處理，得到了豎直方向上的加速度隨時間的變化曲線，如圖3所示．

圖3 豎直方向加速度變化圖

由圖可知，在彈簧振子的運動過程中，豎直方向上彈簧的加速度隨時間的變化為正弦關系，在一個完整的運動周期中加速度達到兩次最大值．由圖可見，在Δt＝13s的時間間隔內，彈簧完成了24個完整的振動，據式（3）得彈簧的振動周期為0．54（s）．結合（4）式，振子的質量m＝0．27864kg，可求出彈簧的勁度系數為k＝37．72N／m．

不確定度分析：由于在使用智能手機加速度傳感器測量彈簧勁度系數的實驗中，實驗誤差主要來自振子質量的測量，根據直接測量的物理量的不確定度分析，存在兩類不確定度：A類不確定度和B類不確定度．［9］據此可得m的A，B類不確定度分別為0．17g和質量不確定度μm＝．所以，彈簧勁度系數的不確定度［8］為因此，利用智能手機加速度傳感器測量彈簧的勁度系數時，勁度系數的值為k＝（37．72±0．02）N／m．

2．4．2 胡克定律計算k值

通過改變Δm使得彈簧的伸長量發生變化Δx，彈簧原長為x0，實驗測量數據列表1．取昆明當地重力加速度g＝9．784N／kg，根據胡克定律可得到力與伸長量的關系曲線如圖4所示．由圖可知，直線的斜率即為彈簧的勁度系數k＝37．79N／m．

表1 胡克定律測量勁度系數

___續表

圖4 胡克定律計算k值

2．4．3 兩種方法的對比

利用胡克定律測量彈簧的勁度系數是教學與科學研究中常用的一種靜態測量法，運用這種方法可以很方便地求出所需要的物理量，但是不能求出彈簧運動過程中加速度變化情況，且過程繁瑣．然而，使用手機加速度傳感器研究豎直方向上彈簧的振動并測量相應的勁度系數，是一種動態的測量方法．經過多次實驗，測出彈簧勁度系數為k＝（37．72±0．02）N／m，與靜態情況下所得k＝37．79N／m比較接近．同時，加速度傳感器可以記錄各時刻的加速度大小并且能通過圖像直觀地展示加速度在運動過程中的變化圖像．因此，利用智能手機加速度傳感器研究彈簧振動現象物理圖像清楚，運動情況直觀，且具有較高的精確度，對于中學物理教學非常實用．

3 重力加速度g的測量

3．1 加速度傳感器計算重力加速度

根據智能手機加速度傳感器所測得的彈簧勁度系數k，根據平衡條件并結合式（5）可得伸長量x與所加質量m的關系表達式為

即伸長量x與質量m為線性相關．

令α＝g／k，根據（7）式線性關系求出α值，從而根據α＝g／k，代入加速度傳感器測得的k值，即可求出重力加速度g．

圖5 彈簧伸長量與質量的關系

由直線方程可知α＝0．2573，而加速度傳感器所測得的勁度系數為k＝（37．72±0．02）N／m，且α＝g／k，因此由加速度傳感器所測得的重力加速度為g＝α×k＝9．721m／s2．已知昆明當地的重力加速度為g＝9．784m／s2．其相對誤差為E＝

3．2 單擺測量重力加速度

單擺實驗中，單擺周期［9］為，兩邊平方并化簡可得周期的平方與擺長成線性關系，令斜率β＝4π2／g，根據斜率即可求出重力加速度，相關數據列入表2．

表2 單擺測量重力加速度

根據實驗數據，擬合周期T的平方與擺長l的關系如圖6所示，由圖可見β＝4．1047，從而求得g＝9．628m／s2．加速度的相對誤差為

圖6 擬合單擺周期的平方與擺長的關系曲線

3．3 結論

通過兩種方法測量重力加速度并加以比較．結果表明：使用智能手機加速度傳感器測量得到的加速度值大小與昆明當地的重力加速度g＝9．784m／s2較為接近，且相對誤差較小．而用單擺法測得昆明的重力加速度為g＝9．628m／s2，誤差較大．因此，在分析彈簧振動及常見的物理現象中使用加速度傳感器作為研究工具比較精確且方便．與傳統方法相比較，智能手機加速度傳感器具有精度高的特點，測量的加速度更準確．

4 彈簧串聯時的勁度系數k1

上述研究中，使用智能手機加速度傳感器分析了單個彈簧的簡諧運動，并且在動態的情況下測量彈簧的勁度系數值，與靜態情況下所得結果較為吻合．同時，分析x，z方向上加速度變化情況．對于兩個及以上的彈簧串聯或并聯的情況，利用智能手機加速度傳感器方法同樣可以測量它們的勁度系數．

將兩個完全相同的彈簧首尾相連接在一起，組成一個串聯彈簧組．其上端固定在支架上，下端懸掛手機，從平衡位置開始靜止釋放在豎直方向上振動，加速度傳感器記錄下任意時刻的加速度大小，對數據進行分析并作圖7．

可見，當串聯彈簧在豎直方向的加速度隨時間的變化接近于一個正弦曲線．在Δt＝14s時間間隔內，兩個串聯彈簧完成了18個完整振動，在不考慮彈簧自身質量的情況下，根據式（4）可以求得兩個串聯彈簧的勁度系數為18．18N／m．而每個彈簧的勁度系數為k＝37．79N／m，這樣的兩個彈簧串聯其勁度系數的理論值為k／2，即為18．89N／m．相對誤差為3．7%，二者符合較好．

圖7 串聯時豎直方向加速度變化

綜上所述，在利用智能手機加速度傳感器測量多個串聯彈簧的勁度系數接近理論值．因此，智能手機的加速度傳感器不僅可以研究單個彈簧的振動，而且可以研究多個彈簧的組合振動問題及其串并聯彈簧的勁度系數，對于研究彈簧問題具有普適性．

5 結論與總結

智能手機加速度傳感器作為一種新的工具研究彈簧的簡諧運動，不僅使實驗結果更加精確，而且物理圖像清晰，運動情況直觀．同時還能獲得傳統方法不能獲得的信息，如x，z方向的運動情況，能對彈簧的振動有一個完整的認識．同時，利用智能手機加速度傳感器還可以研究多個彈簧的組合問題，并把這一方法推廣，利用智能手機的其他功能的傳感器研究聲學問題、磁學問題、原子物理問題等，這將對自制教具的現代化將起到推動作用，促進物理教學方式、實驗方式的多樣化和定量化．

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2016－07－04）