利用函數解答實際問題要充分考慮自變量的實際意義
——對一道教材例題解答的剖析

馬世江

(甘肅省天祝縣西大灘鎮初級中學,甘肅 武威 733205)

利用函數解答實際問題要充分考慮自變量的實際意義
——對一道教材例題解答的剖析

馬世江

(甘肅省天祝縣西大灘鎮初級中學,甘肅 武威 733205)

數學來源于生活，最終回歸于生活，初中數學中利用二次函數的性質，解決實際問題的事例很普遍；利用二次函數求利潤最大值時，我們必須得考慮自變量取值的實際意義.

教材例題；解答；質疑

一、問題來源

人教版義務教育教科書，九年級數學上冊第二十二章《二次函數〈22.3實際問題與二次函數〉》，第50頁探究2.

(一)教材展示的問題

某商品現在的售價為每件60元，每星期可出售300件，市場調查反映：如果調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？

(二)教材展示的分析

分析：調整價格包括漲價和降價兩種情況，我們先來看漲價的情況.

(1)設每件漲價x元，則每星期售出商品的利潤y隨之變化.我們先來確定y隨x變化的函數式.漲價x元時，每星期少賣出10x件，實際賣出(300-10x)件，銷售額為(60+x)(300-10x)元，買進商品需付40(300-10x)元.因此，所得利潤y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),即y=-10x2+100x+6000,其中，0≤x≤30(注：教材通過對話框提出了問題——“怎樣確定x的取值范圍？”)

根據上面的函數，填空：當x=____時，y最大，也就是說，在漲價的情況下，漲價____元，即定價____元時，利潤最大，最大利潤是____.

(2)在降價的情況下，最大利潤是多少？請你參考(1)的討論自己得出答案.

由(1)的討論及現在的銷售狀況，你知道應如何定價能使利潤最大嗎？

二、筆者質疑

(一)質疑之點

怎樣確定x的取值范圍？教材在問題(1)分析當中提供的答案合理嗎？(筆者所加劃線部分)，真是筆者質疑的問題.

(二)筆者分析

問題一:不調整原來價格能使利潤最大嗎？

不調整原來價格能使利潤最大嗎？這一種可能是有的，請看下例.

某商品現在的售價為每件65元，每星期可出售250件，市場調查反映：如果調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？

分析：設每件漲價x元，每星期售出商品的利潤為y元，根據題意得y=(65+x-40)(250-10x),化簡得，y=-10x2+6250.此時，當x=0時，y有最大值6250.即，該商品按原來售價出售時，利潤最大為6250元.(6250元也真是按65元銷售的利潤.)

看來調整價格的過程中，有時保持原價(漲價為0元)時利潤是最大的.

問題二：教材問題中，漲價能達到30元嗎？

根據題意可知，價格未調整時的利潤為(60-40)×300=6000元.該題目探究的是如何定價才能使利潤最大？問題可理解為兩層意思：在價格調整過程中原售價獲得的利潤是否為最大利潤？如果是，則該定價就是獲得最大利潤的定價；如果不是,又該如何定價？ 現在售價上漲時，根據市場調查發現銷售量卻在減少.設每件漲價x元，每星期少賣出10x件，實際賣出300-10x件.結合實際，我們知道只有銷售量大于0，才能保證有獲得利潤的前提；即300-10x必須大于0，且滿足300-10x>0中存在一個恰當的x，使y=-10x2+100x+6000有最大值.

本題目中，若300-10x等于0，即x=30時，銷售量為0了，無利潤可談，更別談追求最大利潤了.在開始獲利6000元的情況下，要想追求最大利潤，因此在調整價格時，售價說什么也不能定為90元，即漲價不會達到30元，否則銷售量為0了，漲價始終是低于30元的.

當x=5時，y=-10x2+100x+6000有最大值為6250.雖然x=5既滿足取值范圍x≤30，也滿足取值范圍x<30.但x≤30 與x<30是兩個完全不同的取值范圍，前者x有等于30的可能，而后者沒有.

綜合問題一、二，結合實際情況，筆者認為應將教材提供的x取值范圍“0≤x≤30”改為“0≤x<30”.

[1]張勁松.義務教育教科書九年級上冊數學[M].北京：人教版義務教育出版社，2014:50.

[責任編輯：李克柏]

2017-06-01

馬世江(1982.10-)，男，甘肅省天祝縣人，中學一級，本科，從事中小學數學教學。

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