數學教學內容知識（MPCK）實證研究綜述與啟示

程德勝，武 晨，莊國華，羅今超

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數學教學內容知識（MPCK）實證研究綜述與啟示

程德勝1，武 晨1，莊國華1，羅今超2

（1．江蘇聯合職業技術學院南京分院基礎部，江蘇南京 210019；2．莫納什大學信息技術學院，澳大利亞墨爾本）

MPCK是有效教學的基礎和數學教師專業發展的重要關鍵性內容．對MPCK進行實證研究主要有兩種視角：認知觀與情境觀，目前出現了融認知觀和情境觀于一體的MPCK實證研究趨勢．從“MPCK實證研究的概念模型；MPCK實證研究的切入理論，MPCK實證性研究方法，MPCK實證研究的內容和結果；以及基于研究結果的對MPCK實證研究的分析”對數學教師MPCK的實證研究做了綜述．對教師MPCK實證研究進行綜述研究，意在促進MPCK與教學的關系研究、教師培訓內容的設計、教師MPCK的發展提升，同時也為今后進行MPCK實證研究提供借鑒與參考．

MPCK（PCK）模型；情境觀與認知觀；實證研究；啟示

Shulman提出的PCK（Pedagogical Content Knowledge）概念的理論意義在于：回答了教師教學需要什么樣的知識——“PCK是內容和教學法的整合，是教師特有知識結構的核心范疇，是教師對專業的特殊的理解形式”[1]．實踐意義方面，教學層面，教師依托PCK將學科知識的學術形態轉化為易于為學生接受的教育形態；教師專業發展層面，PCK成為“區分學科專家和一般教師的知識體系”[2]，為教師發展與提升指明了方向．國內外學者對PCK內涵、構成與表現形式進行了廣泛的研究[2~15]，并進行PCK學科具體化，例如MPCK（Mathematical Pedagogical Content Know- ledge），并基于MPCK理論，對MPCK開展了實證研究[16~68]．這里主要就2015年之前國內外關于MPCK的實證研究進行簡要的綜述分析．

研究的資料收集時間截止2015年底，主要通過國內與國外兩種途徑進行收集．國外，通過莫納什大學圖書館的網站http://www.monash.edu.com/library、莫納什大學教師和研究生使用的網站http://www.citethisforme.com/zh以及公共數據庫Web of Science和https://eric.ed.gov，在以上資源庫中輸入以下關鍵詞：Mathematical Pedagogical Content Know- ledge或Pedagogical Content Knowledge或Mathematical Education Empirical Research．國內，主要基于知網，以“MPCK”、“Mathematical Pedagogical Content Knowledge”、“PCK”、“數學教學內容知識”、“教學內容知識”、“數學教育實證研究”作為關鍵詞進行資料查找．對搜集的資料經過篩選，收集相關實證研究文獻68篇，其中中文文獻7篇，外文文獻61篇．

1 MPCK實證研究依據的概念模型

PCK概念提出以后，很多學者對此進行了后續系統研究，并逐漸發展了MPCK（PCK）實證研究的概念模型．對教師MPCK實證研究時，依據的概念模型主要為MPCK模型和MKT模型，這兩種模型以MK、PK與CK編制問卷內容；也有學者根據MPCK概念模型，提出了“話題MPCK”與“課堂MPCK”，以訪談形式調查教師的“話題MPCK”與“課堂MPCK”．具體的模型分以下幾種．

PCKg模型．Cochran、King等[9]在PCK的基礎上，引入了“認知”元素和知識生成的動態過程，使用PCKg（Pedagogical Content Knowing）來代替PCK，強調學科教學的動態性，與數學學科結合就是MPCKg．PCKg在PCK基礎上增加“關于學生的知識”和”關于學習情境的知識”．PCKg相較PCK：一是將學習心理學知識納入PCK模型；二是PCKg更強調教師對學科內容知識、教學法知識、關于學生的知識和關于學習情境的知識這4種知識的綜合理解、整合與建構的過程．

MKT模型．Ball等[10]從認知視角，并在數學學科對PCK進行實證研究，提出了MKT（Mathematical Knowledge for Teaching），推動了PCK在具體學科方面的發展，MKT由MCK與PCK組成．MCK包括:（1）一般數學內容知識（Common Mathematics Content Knowledge）；（2）專門數學知識內容（Specialized Mathematics Content Knowledge）；（3）聯系性數學內容知識（Horizor Mathematics Content Knowledge）．PCK包括（1）關于對學生數學思維認知的內容知識（Knowledge of Content and Students）；（2）關于使數學知識易于被學生理解的教學知識（Knowledge of Content and Teaching）；（3）課程的內容知識（Knowledge of Content and Curriculum），KCS、KCT、KCC分別對應于Shulman模型的學生知識（包括誤解和難點）、教學策略與表征的知識、課程知識．

PCA模型．喻平教授基于PCKg的優點與不足，提出了學科教學能力PCA（Pedagogical Content Ability），PCA強調3點[11]：第一，不同教師PCK的形成必須基于自身的知識結構、教學實踐的經驗，一旦形成就帶有教師個體的特性，因而不同個體的PCA存在差異．第二，教師教學基于不同的教學情境，情境性依附于教學的過程，因而PCK應該被視為教學的程序性知識，教師PCK要注重教師教學情境性知識的應用能力．第三，PCA是實踐形態的PCK知識，在實踐中生成，同時又指導教學實踐、決策與行為．教師的PCA只能與學科知識教學相關，離開了具體的學科（如數學等）就無所謂PCA或PCK．事實上，這是研究教師學科教學知識或學科教學能力的出發點．

PCK與信息技術的融合發展模型[12]．這方面的發展有TPCK（也稱TPACK）（Technology Pedagogical And Content Knowledge）與基于TPCK提出的ICT-TPCK，TPCK由PK、CK與TK組成，ICT-TPCK中的ICT指學生使用信息技術的知識．數學學科方面的TPCK就是MPCK與TK（Technology Knowledge）的融合，由MK、PK、CK、TP組成．

2 MPCK實證研究的切入理論

關于PCK主要爭論圍繞：教學中，知識是否僅僅被定位為“在個別教師的頭腦中”或是僅僅在具體情境中才有意義．Shulman等學者[16]對PCK持靜態觀點，認為要從基本的認知角度審視PCK，PCK是關于教特定學科的事實知識，在課堂情境中，PCK可獨立地獲取與應用．對PCK持動態觀點的學者[17]，認為PCK是情境化動態的知識，在一個特定的課堂情境中，PCK是“Knowing-to-Act”的行為，與教學行為具有內在聯系，個體只有通過參與、反思和觀察，才能獲得教學實踐，使PCK變成可見．

因而，MPCK實證研究時產生兩種切入觀點：認知觀與情境觀[18]．持認知觀點的學者認為基于認知觀研究：有助于為教學和學生學習結果之間的聯系提供證據；有助于區分MPCK和其它類別的教師知識；有助于確定有效教學中發揮重要作用的各種知識；有助于洞察教師個體MPCK的空白，為設計教師專業發展提供了有益信息．

持情境觀點的學者認為，教學行為（數學學科）包括數學以及教育等多個維度，如，教師的情感因素與教師MPCK有內在關聯[18]，進而，教師的教學選擇要同時反映數學和教學的思考[19]，教學中重點關注教師的“Knowing-to-Act”而不是教師的事實知識[20]．基于情境研究，可以更好地了解在課堂教學情境中究竟真正發生什么，教學中真正重要的知識，以及教學過程中不同類型知識之間的密切相互作用．

3 MPCK實證研究方法和內容

3.1 MPCK實證研究方法

通過觀察法、問卷調查法、測試法、個案研究法、訪談法、實驗法、視頻課例研究法等方法是獲得教師MPCK實證研究數據的主要來源，并對這些數據進行分析研究（這里，把以上方法稱為MPCK的實證研究方法）．實際上，從MPCK實證研究的切入理論角度看，以上MPCK實證研究方法又可以分為認知型研究與情境型研究，并可以把認知型的MPCK實證研究歸類為靜態性研究，情境型的MPCK實證研究歸類為動態性研究，目前也出現了認知—情境融合的MPCK實證研究趨勢．

實證研究最常用的方法為調查法，調查研究通常使用“測試”或“問卷調查”形式去獲得測試者MPCK；也有利用“面談或采訪”、“課堂觀察（現場記錄、視頻或錄音等）”、“會議觀察（專題研討會、介入課程）”、“文檔分析（課程計劃、代表作品集、日志、電子論壇信息）”、“概念圖（圖形化陳述概念間的關系）”作為研究方法，使用這種研究方法的就屬于情境型研究，持這種觀點的學者認為只有“在行動中”才能獲得被測試者的MPCK．

MPCK的實證研究目前多集中于數學學科中的下面內容，如數學（量）概念；運算；函數和代數、統計、分數（小數、百分數）、推理、幾何學、問題解決等．

3.2 MPCK實證研究內容和結果

已有的MPCK實證研究，從研究的內容看，主要集中在以下方面：MPCK與教學的相關性，MPCK與CK之間的關系，教師MPCK的特征，以及教師MPCK的發展問題等．

第一，教師MPCK與教學相關性研究．

（1）教師MPCK與教學行為關系的研究．有學者[21]從情境視角，采用課堂觀察與訪談相結合的案例研究，發現教師的MPCK與教學實踐是相關聯的，優良的MPCK（和CK）對有效教學是必要的．另有學者[22]從認知視角，先測試教師MPCK，接著和教學質量相對照（對學生進行關于教學方法的問卷調查，再對教師進行課堂有效管理策略問卷調查），之后和課堂視頻錄像進行對比研究，最后對獲得的數據進行對比分析．發現教學質量和MPCK顯著相關（相比CK來說）．還有學者[6]通過對職前教師MPCK與教學行為關系的干預研究，發現職前教師培訓課程不僅能提高他們的CK與MPCK水平，而且能提高他們的教學實踐水平，進而提升學生的學習成績．

（2）教師MPCK與學生學習結果關系的研究．有學者[22]主要通過測量學生的學習結果，以及跟蹤學生學習進展，進而研究教師MPCK與學生學習結果之間的關系．研究發現教師的MPCK與學生的學習結果以及教學方法之間呈正相關，而且，MPCK與學生學習效果之間的相關性明顯高于CK與學生的學習效果之間的相關性；同時，研究結果也揭示干預不僅能提高教師的MPCK水平，也可以提高學生的學習效果．

第二，教師MPCK與CK之間的關系研究．有學者[23]在課堂教學情境中揭示CK與MPCK的關系，研究發現，在教學行動中可以揭示CK與MPCK的相互關系，使用不同的測試內容測定CK和MPCK，結果顯示出二者是正相關的，CK對于MPCK來說是雖不是充分條件，但為必要條件．有學者[16]利用大范圍的測驗，調查教師CK與MPCK的關系，研究發現，可以從經驗上對CK與MPCK加以區分，且教師的CK、MPCK與教師的教育程度、教育背景具有很大的相關性．

第三，教師MPCK的特征研究．

（1）教師MPCK教學特征研究．有學者[25]利用話題MPCK的方式調查農村教師的MPCK，研究得出農村教師MPCK的特點為直觀化的表達與解釋，注意教學內容的前后聯系；MPCK來源顯現本源性和單一性的特點，主要是“自身的教學經驗與自我反思”和“教科書”，其次是“與同事交流”、“課堂聽課與教研活動”，其它為“網絡資源”、“職前培訓”、“在職培訓”、“專業書刊”和“作為學習者的經驗”．有學者[26~27]研究觀察到中國和美國教師的不同教學方法處理，一般而言，中國教師側重于傳統的、嚴格的教法，強調數學學習過程和發展學生的概念能力；而美國教師努力嘗試促進學生的數學創造性和探究能力，進而達到發展學生的數學概念理解能力．

（2）教師MPCK的個性特征研究．有學者[28]利用MPCK構成（MK、PK、CK），編制數學教師的MPCK調查問卷，研究高中數學教師MPCK的知識結構與教師MPCK來源，研究得出高中數學教師MPCK的發展呈現個體差異化，且教師的教齡、性別、最終學位、并不影響其MPCK的發展．有學者[29]通過測驗教師MPCK，然后進行大數據分析，得出：不同于CK，MPCK在性別間沒有差異；語言對教師CK的影響比對教師MPCK的影響大；教學經驗對MPCK有積極作用；有學者[30]研究得出教師的教育水平和他們的MPCK具有相關性，教師的教育水平對CK的影響比對MPCK的影響大．有學者[26~27]研究發現不同國家教師的MPCK具有差異性，例如，美國教師與中國教師在進行分數教學時，“確保學生對分數正確理解”的教師的概念識別知識存在差異，以及教師對學生學習分數時所需要的先驗知識也存在不同．

（3）職前教師MPCK認知特點的研究．有學者[31]就學生分數乘法普遍的錯誤思想、這些錯誤想法產生的原因以及如何利用教學策略去幫助學生客服這些錯誤想法，調查了職前教師關于這方面的知識，研究發現，職前教師MPCK和在職教師MPCK在知識的呈現方式、組織、以及對問題的解釋等方面存有差異．具體地，在解釋學生的錯誤和教學策略應用時，職前教師的MPCK更加程序化與具體化（相對應概念化）．有學者[32]基于情境視角，如課堂觀察，在教學行動中獲得教師的MPCK，研究發現，在不同的數學子域，職前教師的MPCK傾向于具體主題化而不是一般的數學概念化．

第四，教師MPCK發展與提升的研究．有研究[33]對教師在其培訓或職業生涯期間MPCK的演進情況，以及對MPCK的發展起促進作用的條件（如合作學習、專家指導、專業共同體中的合作等）進行了研究，研究揭示（職前）教師MPCK可以通過各種形式的培訓或討論得到訓練，而且，各種形式的培訓，如案例討論、教材的使用、領域的經驗、深度訪談、合作學習、小組討論，甚至是1~2小時現場教學實踐的培訓課程都可能會影響教師的MPCK．另外，對培訓結果的研究[34]顯示，培訓前后，職前教師對教學知識的認識在轉變——從工具性的MPCK（顯示規則和程序給學生）轉變為關系性的MPCK（關注意義給予）．

在教師MPCK發展的實證性研究中，目前出現了融認知視角與情境視角于一體的MPCK實證研究，例如，有研究者[35]把認知型研究與情境型研究進行了初步融合，在教學實踐活動中，對研究對象在教學實踐中的反思和再學習情況進行研究；有研究團隊基于“教師教育課程計劃的調查”[37]，在階段性的培訓課程中對研究對象的MPCK變化狀態進行研究．研究顯示：活動整合的反思性實踐和寫作式的數學學習可以挑戰研究對象目前的數學的思維，以及提高研究對象的教學內容知識和對知識內涵的理解[35]；觀測到職前教師MPCK的發展變化情況[36]，“好的課程設計”（如課程內容與活動的明晰與簡潔、任務的布置、學生的數學理解評估、研究對象被要求解釋數學問題的PCK和CK聯系等）有利于教師MPCK的發展．

4 對MPCK實證研究內容和結果的審視

第一，從研究的內容看，MPCK實證研究中存在不平衡．實證研究主要集中在數學教育領域，特別是集中于教師MPCK的發展，只有少數的研究是為了研究教師MPCK和教學以及和學生學習效果之間的關系．

第二，從研究的指向看，MPCK實證研究的出發點和目的，很大一部分是為了發展、推動MPCK概念，以及驗證MPCK各成分間的關系意義[10]．例如，相同的觀點使用不同的術語，不少學者標簽MPCK的組成成分不同，而實際上卻表達類似的想法；再例如，相同的術語有不同的觀點，這從學者對內容知識的解釋和對PCK概念發展的研究可以窺視一二．

第三，從研究的方法看．

認知視角的MPCK是靜態的、“冰冷”的知識結構，缺乏內在的火熱的情感，認為在不同的社會、文化、歷史、課堂語境等背景下，MPCK都必須符合統一規范的標準，這必然忽視了MPCK的復雜性和課堂的情境性，進而帶來如下一些問題，教師MPCK與課堂語境脫節，忽視教師MPCK之間存在差異（例如，差異可能是教師自身文化背景的差異造成的[18]）；忽視教師知識基礎的不同類別的相互作用，以及其在教學行為中的整合；忽視教師MPCK中情感等方面的因素（例如，教師的主體個性和師生間的情感紐帶）[20]．

如果說，認知觀過于理性，那么情感觀可能過于感性了，情境觀專心于課堂，可能會淡漠對教師MPCK認知的關注，再加上基于情境觀的MPCK實證研究沒有辦法做到大范圍、大規模研究，只能專注于規模和范圍都較小的案例的研究，教師課堂教學行為的選擇以及選擇這種行為的理由可能就構成了MPCK的本質，造成對MPCK的理解就是一種有限的理解[18]，而實際上課堂觀察是不足以揭示MPCK的本質．因而，會帶來一些問題，導致對MPCK的誤解[20]——MPCK只是由課堂和課堂實踐的關系來制定，從而造成把MPCK從其他知識類別區分開的困難，使對MPCK的描述變得難以把握．

上述情況表明，單純地基于認知觀或基于情境觀進行MPCK實證研究都有各自的利弊，兩種研究視角的整合應是MPCK實證研究的趨勢．

當前，在教師MPCK發展的實證性研究中開始出現認知觀和情境觀兩種研究趨于融合的新變化．

第一種新變化，認知觀與情境觀研究出現融合的趨勢，例如“R-WTLM”[35]（Reflective Practice and Writing to Learn Mathematics）研究，研究者基于教學實踐活動，引導研究對象在活動中反思和再學習，概括地，研究者進行教學活動整合，研究對象對教學活動進行反思性實踐，之后對調查問卷中數學特定主題或問題，根據提示的要求進行解釋，實現數學寫作式學習（“Writing to Learn Mathematics”）．“R-WTLM”解決了如何進行反思性實踐，以及教師怎么理解教與學中的數學，進而獲得不同的觀點和替代的可能性，并認識到相關“錯誤的可能性”，實現新舊教學思維方式的轉化．

第二種變化，在動態過程中觀察教師MPCK認知狀態的變化，即，教師MPCK的實證研究由靜態的認知狀態調查趨向在過程（培訓課程）中調查（觀察）教師MPCK的動態變化．例如，TELPS[36]（Teacher Education Lesson Plan Survey），研究者著眼于從開發的系統課程中對教師的MPCK狀態進行動態的實證性分析研究，研究者選取澳大利亞和德國的各一所大學3個年級的職前教師（已具有一定層級的執教資格），通過制定課程計劃（主要內容為數學和教育學）、規范TELPS的要素（包括用來確定后續調查但能保持匿名性的代碼、好的數學課標準、課程學習的相關細則規范、兩組課程計劃、用于比較兩組課程的評價），設置兩個比較組（18個月的和12月的），分別使用兩套不同的數學課程進行培訓，然后進行縱向數據收集，根據TELPS數據分析理論方案，觀察職前教師MPCK的發展變化情況．

5 MPCK實證研究的啟示

MPCK實證研究對今后教師MPCK的研究有以下的啟示意義．

第一，教學層面，對教師MPCK的實證研究，特別要加強MPCK與教與學的關系研究，目標指向有效教學．既要專注于教師的課堂教學實錄，在教學行動中揭示MPCK和教學效果、學生學習成績等之間的關系，置MPCK靜態研究于動態的課堂實踐研究中，進而揭示什么是教學課堂中的“Knowing-to-Act”知識；同時，也要從認知觀點角度調查教師MPCK的狀況、特點、不足（空白）以及MPCK的來源，完善教師MPCK的知識結構框架與事實知識，提升有效教學的MPCK實踐研究．

第二，教師MPCK提升層面研究．其一，加強對教師MPCK培訓實施的實證研究，例如，教師的合作學習與參加專業共同體學習（案例討論、教材使用體會、領域經驗的交流等）、教師分享與合作開發MPCK案例、專家指導培訓（指導教師在學習中反思，并及時干預）等，重點對這些培訓如何促使教師MPCK的發展進行研究．其二，加強對教師MPCK基于課堂教學實踐的提升研究，教師MPCK代表教師的數學學科知識由學術形態向教育形態轉化的改造能力，這種能力的發展必須基于課堂教學實踐，重要的提升途徑之一就是重視MPCK案例開發，有學者[25, 37]從MPCK的教學表現形式視角，把MPCK分為話題MPCK（涉及數學學科的命題、概念等具體主題）與課堂MPCK（數學課堂教學方面），話題MPCK可以提升與發展教師在針對具體數學問題時，其呈現問題方式的能力；課堂MPCK可以提升教師在面對特定情境（差異化的內容和學生）時，教師組織、管理課堂教學的能力．有學者[53]提出從具體的MPCK案例出發，引導學員在自我反思中建構其在具體教學行為時的MPCK，之后，創設情境，讓學員嘗試開發MPCK案例，探索“話題”MPCK與“課堂”MPCK，發展其MPCK．

第三，加強對教師群體（個體）MPCK特征的研究．從已有的MPCK實證研究看，教師的MPCK帶有群體（或個體）的色彩，例如，在職教師與職前教師的MPCK存在明顯差異、文化背景的差異導致教師MPCK存在差異，這些MPCK的差異進而導致課堂教學的差異．導致這些差異的原因是什么，是否就是和教師的教學實踐經驗（經歷）或文化背景相關？這些差異為何會影響教師的教學行為與教學決策？從對教師MPCK的影響因素以及對MPCK對教學的影響看，今后都有必要加強對教師群體（個體）MPCK特征的實證研究，特別是在課堂教學實踐中的MPCK的特征研究．

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Analysis and Enlightenment of Empirical Research on Mathematics Teaching Content Knowledge (MPCK)

CHENG De-sheng1, WU Chen1, ZHUANG Guo-hua1, LUO Jin-chao2

(1. Sub-branch of Nanjing, Jiangsu United Vocational and Technical College, Jiangsu Nanjing 210019, China;2. Faculty of Information Technology, Monash University, Melbourne, Australia)

MPCK (Mathematical Pedagogical Content Knowledge) was the important content of mathematics teachers’ professional development and the basis of effective teaching. There were two main perspectives in the empirical study of MPCK: the cognitive view and the situational view. At present, there was a trend of MPCK empirical research which integrated the cognitive view and the situational view. The article made a summary of the review from “the model of MPCK empirical research; the theory of MPCK empirical research, the methods of MPCK empirical research, the content and results of MPCK mpirical research; and the evaluation of MPCK empirical research”. The enlightenment of empirical research: it was intended to promote the research of relationship between MPCK and teaching, the design of teacher training content, the development of teachers’ MPCK, at the same time, it also provided reference for MPCK empirical research in the future.

MPCK (PCK); empirical research; situated perspective and cognitive perspective; enlightenment

[責任編校：周學智]

G420

A

1004–9894（2017）04–0065–07

2017–03–09

2014年教育部人文社會科學規劃基金項目——我國農村中小學教師的TPACK及其教學表現研究（14YJA880054）；江蘇省第三期職業教育教學改革研究重點資助課題——信息化環境中教師認識信念對“學與教”變革影響的研究（ZZZ5）

程德勝（1970—），男，安徽合肥人，副教授，主要從事數學課程與教學論及職業教育研究．