導(dǎo)數(shù)綜合題中零點(diǎn)不可求問題的突破方法

福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000)

劉彬輝●

導(dǎo)數(shù)綜合題中零點(diǎn)不可求問題的突破方法

福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000)

劉彬輝●

導(dǎo)數(shù)經(jīng)常作為高考壓軸題的考點(diǎn)出現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)求解過程中頻繁碰到導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求，這讓很多考生望而卻步，為此筆者以近年高考或高三聯(lián)考中涉及導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求的試題為例，系統(tǒng)闡述該問題的突破，供讀者參考.

一、特殊值代入找零點(diǎn)

此類導(dǎo)函數(shù)往往具備單調(diào)性，可以先找導(dǎo)函數(shù)特殊零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)性寫出單調(diào)區(qū)間

(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)證明：除切點(diǎn)(1，0)之外，曲線C在直線l的下方．

當(dāng)0

當(dāng)x>1時(shí)，x2-1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)單調(diào)遞增．

所以，g(x)>g(1)=0(?x>0，x≠1)．所以除切點(diǎn)之外，曲線C在直線l的下方．

評注 本題中x2-1+lnx=0屬于超越方程,常規(guī)方法無法求解，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)把方程左邊看作一個(gè)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)其是遞增的而且有一個(gè)零點(diǎn)1，問題就迎刃而解了.

二、虛設(shè)零點(diǎn)，整體代入

此類導(dǎo)函數(shù)可以判斷存在零點(diǎn)，當(dāng)題目要求出對應(yīng)的極值時(shí)可以考慮虛設(shè)零點(diǎn)，整體代入.

例2 (2015年全國新課標(biāo)1)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)≥2a+alnx.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f′(x)沒有零點(diǎn)．

(2)證明：由(1)可設(shè)f′(x)在(0，+∞)上的唯一零點(diǎn)為x0.當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=x0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)．

三、多次求導(dǎo)，柳暗花明

此類導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)無法找到特殊值，可以考慮導(dǎo)函數(shù)整體或部分再次求導(dǎo)，再結(jié)合其它方法尋找突破.

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=ex，g(x)=lnx.

(Ⅱ)若對所有的x≥0，都有f(x)-f(-x)≥ax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解 (Ⅰ)略．

(Ⅱ) 記h(x)=f(x)-f(-x)-ax=ex-e-x-ax,∴h(x)≥0在[0,+∞)恒成立，

h′(x)=ex+e-x-a,∵h(yuǎn)″(x)=ex-e-x≥0(∵x≥0)，

∴h′(x)在[0,+∞)遞增，又h′(0)=2-a,

∴①當(dāng)a≤2時(shí)，h′(x)≥0成立， 即h(x)在[0,+∞)遞增，則h(x)≥h(0)=0,即f(x)-f(-x)≥ax成立.

②當(dāng)a≥2時(shí)，∵h(yuǎn)′(x)在[0,+∞)遞增，且h′(x)max=2-a<0,

∴必存在t∈(0,+∞)使得h′(t)=0.則x∈(0,t)時(shí)，h′(t)<0,即x∈(0,t)時(shí)，h(t)2舍去.

∴必存在t∈(0,+∞)使得h′(t)=0.

即x∈(0,t)時(shí)，h(t)2舍去．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2．

評注 本題用到了兩次求導(dǎo)，多次求導(dǎo)切忌不可濫用，本題二次求導(dǎo)后函數(shù)明顯簡單化，這樣子再去尋找零點(diǎn)就順理成章，另外也得注意不可把二次導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與原函數(shù)零點(diǎn)混淆.

四、合理重組，化繁為簡

此類函數(shù)相比前三種方法更不容易想到，可考慮把原區(qū)間分成幾部分或通過適當(dāng)?shù)幕啺言瘮?shù)分解成幾部分再進(jìn)一步研究，一般分為兩部分較為常見.

當(dāng)x>1時(shí)，φ′(x)>0,φ(x)遞增；當(dāng)0

∴φ(x)在x=1處取得唯一的極小值，即為最小值，即φ(x)≥φ(1)=1>0,∴F′(x)>0,

∵x>1,∴1-ex<0,∴h′(x)<0,即h(x)在(1，+∞)上是減函數(shù)，

五、零點(diǎn)判斷，注意正負(fù)

例5 (2016全國卷新課標(biāo)理)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(Ⅰ)求a的取值范圍；(Ⅱ)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

(Ⅰ)法二：∵f(1)≠0，∴x=1不是函數(shù)f(x)的零點(diǎn).

當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.

又當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，g(x)∈(0,+∞)，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g(x)∈R，故當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程a=g(x)有兩解，此時(shí)a的取值范圍為(0,+∞).

(Ⅱ)解答略．

評注 本題零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷問題，最常用的思路是零點(diǎn)存在性定理，但在具體解題中會(huì)出現(xiàn)很難尋找對應(yīng)區(qū)間的正數(shù)或負(fù)數(shù)點(diǎn)，解題中要注意可能要適當(dāng)?shù)胤趴s把式子簡化，同時(shí)也要注意在對應(yīng)區(qū)間可能出現(xiàn)恒正或恒負(fù)情況.

綜上可知，以上幾種方法各有千秋，解題中作為參考，使用中要做到具體問題具體分析，靈活使用.

[1]林國夫.2013年高考導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中的“隱零點(diǎn)”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013(9).

[2]福建省教育考試院2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試試題、參考答案[M].2016(6).

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