試論高中數學競賽解題技巧

山西省芮城縣芮城中學(044600)

劉書寧●

試論高中數學競賽解題技巧

山西省芮城縣芮城中學(044600)

劉書寧●

在高中數學學習中數學競賽發揮著重要的補充效用，對競賽解題思想和技巧的探討是數學學習一個重要內容.本文從高中學生數學競賽解題技巧的重要性出發，從解題思維和命題解析兩個方面探討具體的解題技巧.

高中數學；競賽；解題技巧

一、高中學生數學競賽解題的重要性

在準備參加全國數學聯賽過程中，我感覺到我同大多數同學一樣，對數學競賽存在畏難、畏懼心理.只有更科學地改進和創新既有的數學學習方式和方法，更好地掌握高中數學競賽解題技巧，以便更好地把抽象性概念轉變成個人理解和數學思維，進而促進我們分析和解決實際問題的能力，實現高中數學學習思維的協調、全面發展.

二、高中數學競賽解題技巧解析

1.命題解析之演繹深化

對于競賽數學題目，要想快而準地解答，首要任務就是對命題進行解析，以明確問題，明晰條件，為解題奠定基礎.演繹深化是對競賽數學題目分析的重要方法.其定義就是以一般性、常規性且正確的基本問題作為出發點，基于邏輯思維循序漸進地演繹和深化數學競賽題目.和傳統解題技巧是相反的，是基于邏輯來分析和掌握問題實質，即從定理、圖形、公式、具體問題等，自淺入深逐步演繹深化出新問題.有諸多數學解題技巧，比如：數形結合、聯想類比等，均可自反向應用到該技巧中.

注:本題通過演繹配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質，計算表達式中的高次冪.一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯想和展開.

2.解題策略之局部思維

(1)分解成多個局部

高中數學競賽中有諸多綜合性題目，因題目相對復雜無法直接解出答案，而需要把具體問題分解成多個部分，再逐一解決進而對整個問題進行有效解決.但是要指出的是，局部問題之間存在一定的獨立性或者遞進性，所以在解決局部問題過程中，必須準確、妥善處理相互間的關系，進而才可確保解題思路的正確.

例2 假設n(>4)是一個給定整數，且x1，x2，x3,…,xn∈[0，1]，請證明：

(2)反證法

反證法是高中數學中常用的解題方法，其基本思想就是先提出一個和命題結論完全相反的假設，再通過既有公式、定理等進行一系列正確、嚴密的推理，由此得到新結論，而該結論或和既定條件矛盾，或和既定結論相矛盾，那么該結論就是正確的.此方法是高中競賽解題中常用的方法，能夠迅速明確命題中心內容，找準切入點.應用此方法的步驟有三個：反設；歸謬；結論.其中，反設是最為基本的，歸謬是關鍵.此方法應用推導過程無固定方式，但必須基于反設進行，要不然推導就失去意義.在推導中必須做到嚴謹，所得到的矛盾有這幾種情況：一是和命題已知條件相矛盾；二是和既有定理公式矛盾；三是和反設相矛盾；四是自相矛盾.

例3 在一次國際數學研討大會上有9名數學家做到一起，發現其中任意3個，最少2個可用一種語言交流.假如每名數學家至少會3種語言，那么請證明這9名數學家中，至少有3名能有一種語言進行交流.

解析 可先假定不存在三個人能夠說相同一種語言，那么每種語言最多有2人會說，進而每個人用一種語言最多可和另一人交流.

假設9名數學家分別為M1，M2，M3，…，M9，那么自M1最多能夠說3種語言，所以最少把和另外5個人，可設是M2，M3，M4，M5，M6不能進行交流，同時又因為M2也最多會3種語言，所以其至少和M3、M4，M5，M6中的任何一個人不能交流，可假設是M3，那么M1，M2，M3三個人相互間無法交流，而這和題設是相矛盾的，因此原來的結論是正確的.

總而言之，高中數學競賽解題過程，蘊含著重要的數學思想方法，只有對數學思想、數學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法.

[1] 陳小瑩,陳宇.一道2014年波羅地海數學奧林匹克不等式的推廣[J]. 中學數學研究，2015(11)

[2] 王慧興.數學奧林匹克訓練題(196)[J]. 中等數學，2015(10)

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