考慮脆性損傷和滲流的圓形水工隧洞穩定性分析

劉懷付

(1. 安徽理工大學 深部煤礦采動響應與災害防控重點實驗室，安徽 淮南 232001；2. 安徽理工大學 能源與安全學院，安徽 淮南 232001)

0　引言

地下水工隧洞是水利水電工程中重要引水建筑物，由于荷載、滲流場和內水壓力的作用，將對隧洞圍巖和支護結構產生滲流體積力和動水壓力，改變隧道開挖后二次和三次應力狀態，嚴重影響著隧洞范圍和周圍應力的分布。因此，在水工隧洞結構設計中，正確地進行塑性范圍確定、應力分析和支護對工程的安全與經濟具有重要意義。

傳統隧洞彈塑性解[1]是在不考慮滲流和損傷對隧洞影響情況下得到的；采用Hoek-Brown[2](H-B)準則或Mohr-Coulomb[3-4](M-C)強度準則對巷道進行彈塑性分析，忽略中間主應力σ2的影響，會使結果偏于保守；脆性巖石達到應力峰值后具有應力值陡降、變形較小的特點，文獻[5-7]中很少有對巖石脆性特性的考慮；圍巖進入損傷階段后，常將其簡化為線性模型來處理[8-9]，而在脆性巖石物理模型試驗中，超過峰值應變后，應力應變曲線會表現出明顯的非線性[10]；在對隧洞進行襯砌時，常用支護阻力簡單地代替襯砌應力，沒有考慮襯砌與圍巖的應力協調[11]；文獻[12]結合具體工程問題，分析了不同襯砌系數、注漿半徑等對滲流量和襯砌外水壓力等影響規律，但未涉及圍巖應力變形等力學問題分析。很多學者對隧洞彈塑性解析解進行了廣泛研究，但對隧洞的研究多集中在某一或某幾方面，所得結果與實際情況存有差異。

基于前人的研究，本文考慮隧洞圍巖與襯砌的相互作用和非線性脆性損傷，利用統一強度理論推導出隧洞塑性范圍和周邊應力分布表達式，結合具體算例，分析了相關參數對塑性范圍及襯砌和圍巖應力分布的影響；用滲流量變化表征圍巖滲透性變化，提出采用注漿加固圈進行支護，通過降低圍巖滲透性來減小塑性范圍和隧洞襯砌應力。所得結果可為隧洞穩定性分析和支護提供一定的理論指導和建議。

1　理論分析模型

1.1　隧洞力學模型

假設隧洞斷面為圓形，圍巖均質、各向同性，隧洞深埋且長度足夠大。圖1為深部水工隧洞模型，隧洞的內半徑為R0，隧洞內半徑R0處的孔隙水壓力為pm；襯砌半徑為R1，隧洞塑性區半徑為R2；在隧洞半徑R3以外處的滲流場與初始滲流場水壓pi相同；內水壓力ps均勻地作用在隧洞洞壁處；初始地應力p0和孔隙水壓力pi作用在無窮遠處。

圖1　隧洞斷面Fig.1　Calculation sketch of tunnel

1.2　統一強度準則

巖土工程中假定壓應力為正、拉應力為負，隧洞圍巖為彈脆塑性材料且滿足平面應變條件，采用統一強度理論來描述隧洞圍巖的強度特征，表達式為[13]

(1)

(2)

1.3　脆性巖體損傷本構關系

周維垣等[10]基于連續介質損傷力學理論，從巖體的損傷機理出發，提出了巖體的脆性損傷本構模型，在單軸壓縮條件下，其應力-應變關系如圖2所示。

圖2　損傷模型應力-應變關系Fig.2　Stress-strain relationship of the damage model

將峰值強度前的應力應變關系簡化為線彈性關系，峰值強度后的損傷為非線性各向同性損傷，用損傷變量可描述塑性區各個階段的損傷演化過程。忽略峰值強度前的初始損傷，單軸壓縮下的一維損傷演化方程為：

(3)

式中：D為損傷變量，D=0時表示巖石無損傷狀態，D=1時表示巖石完全損傷，巖石破壞；ε為單軸壓縮下的應變；εs和εc分別為峰值應力對應的應變和常量；n表征巖石脆性強弱的參數，n的值越大，巖石脆性越強。

將一維損傷本構方程推廣到三維損傷，根據有效應力與Lemaitre應變等價原理，則三向應力情況下有：

(4)

式中：εi為等效應變。

平面應變條件下幾何方程為：

(5)

式中：εr與εθ分別代表塑性區的切向應變和塑性應變；u為巷道位移；r為巷道中心軸線到圍巖某一處的距離。

將式(5)代入(4)，并考慮彈塑性交界處變形連續條件:εi|r = R2=εc，可得塑性區圍巖的等效應變為：

(6)

將式(6)代入式(3)中，可得三維應力狀態下的損傷演化方程為：

(7)

式中：D(r)為損傷變量，其值與隧洞半徑r有關；R2為隧洞塑性區半徑；n表征巖石脆性強弱的參數。

1.4　滲流場計算

忽略圍巖因塑性變形造成的滲透系數變化，施工期圍巖滲透水壓力可以認為是運行期在pm=0時的一種特殊情況，本文僅考慮運行期。根據文獻[14]知運行期圍巖的襯砌、孔隙水壓力為：

(8)

(9)

其中：

(10)

式中：kc、kd分別為襯砌混凝土和隧洞圍巖的滲透系數；R3為施工期保持原始滲流場外水壓力pi的圍巖半徑，可由鉆孔實測或抽水試驗確定。

2　隧洞應力分析

2.1　塑性損傷區應力

(11)

考慮孔隙水壓力，圍巖任一研究單元滿足平衡微分方程：

(12)

式中：η為滲透水壓力作用面積系數。

設p1為襯砌與圍巖塑性區交界處徑向應力；聯立式(11)和式(12)并積分，以σr|r = R1=p1為邊界條件，可得塑性區應力為：

(13)

其中：

(14)

2.2　彈性區應力

設彈塑性交界處徑向應力為py，隧洞彈性區視為受py、地應力p0和孔隙水壓力pw共同作用下的厚壁圓筒，可知彈性區應力：

(15)

在彈塑性交界面處，彈性區應力滿足式(11)，且此時D=0，整理可得：

(16)

考慮彈塑性交界處徑向應力連續，即σrp|r = R2=σre|r = R2。聯立式(13)，(15)和(16)可得：

(17)

2.3　襯砌應力

假設襯砌為理想彈性材料，不發生塑性變形。襯砌與圍巖共同承載，不考慮混凝土的損傷，假定襯砌滿足統一強度準則，即：

(18)

其中：

(19)

將式(8)，(18)代入式(12)，進行積分并結合邊界條件：σrp|r = R0=ps；可得襯砌應力為：

(20)

其中：

(21)

襯砌與圍巖相互作用，塑性區與襯砌交界處徑向應力連續：即σr|r = R1=p1；代入式(20)可得：

(22)

聯立求解式(17)，(22)，可求得塑性區半徑R2的隱式表達式為：

(23)

式(19)是關于塑性半徑R2的超越方程，可通過迭代法求得；將R2代入式(22)得p1；再由式(13)，(15)和(17)可求得隧洞塑性區、彈性區和襯砌應力。

3　算例分析

在抽水試驗過程中，在某一半徑內會發生水頭降，超過這一半徑就不會發生水頭降，這一半徑叫做抽水影響半徑，即在影響半徑R3以外處的滲流場與初始滲流場水壓pi相同。根據文獻[16]可知，影響半徑R3僅與巖體滲透系數kd、穩定流抽水降深Sw、出水量Q、抽水段長度l和鉆孔半徑rw有關，采用文獻[16]中的相關參數，根據影響半徑計算公式可得R3=24 m。

考慮切向應力σθ為最大主應力，對圍巖起控制作用，故分析各個參數對塑性區半徑R2和切向應力σθ的影響。

表1　n和(εc/εs)的關系

3.1　圍巖與襯砌滲透比kd/kc對隧洞的影響

如圖3，4分別為塑性區半徑R2和切向應力σθ隨滲透比kd/kc的變化示意圖。由圖3可知：當脆性參數n一定時，隨kd/kc的增大，塑性區半徑逐漸增大；當n分別為4，5，6，7和8時，kd/kc=5 000對應的R2比η=0所對應的R2分別增大了4.1%，4.6%，4.8%，4.4%，5.1%。由圖3可知：σθ在隧洞塑性區與襯砌交界處和彈塑性交界處不連續，前者不連續是因為圍巖和混凝土二者材料參數不同，后者不連續是因為塑性區圍巖發生脆性損傷導致圍巖力學性能發生劣化；襯砌內邊界初始σθ不受kd/kc的影響；當kd/kc增大時，襯砌切向應力σθ逐漸增大，塑性區切向應力σθ逐漸減小且應力峰值逐漸遠離塑性區內邊界。因此，當圍巖與襯砌滲透比差別較大時，不能把二者滲透比等同來處理，要全面考慮滲透比和滲流對隧洞的影響。

圖3　b=0.5時滲透比kd/kc與R2的關系Fig.3　Relation between permeability ratio of kd/kcand R2 when b=0.5

圖4　b=0.5和n=4時滲透比kd/kc與σθ的關系Fig.4　Relation between permeability ratio of kd/kcand σθ when b=0.5 and n=4

3.2　中間主應力系數b對隧洞的影響

如圖5和6分別為塑性區半徑R2和切向應力σθ隨中間主應力系數b的變化示意圖。由圖5可知：脆性參數n一定時，隨b的增大，塑性區半徑逐漸減小，當n分別為4，5，6，7和8時，b=1對應的R2比b=0所對應的R2分別減少了3.5%，3.1%，3.3%，3.7%，4%。由圖6可知：隨b的增大，襯砌和塑性區切向應力σθ逐漸增大，塑性區切向應力峰值逐漸靠近塑性區內邊界。考慮中間主應力的作用可以更加充分發揮材料的強度潛能，工程實踐中要考慮中間主應力的對圍巖的作用。

圖5　kd/kc=50時b與R2的關系Fig.5　Relation between band R2 when kd/kc=50

圖6　kd/kc=50和n=4時b與σθ的關系Fig.6　Relation between b and σθ when kd/kc=50 and n=4

3.3　脆性參數n對隧洞的影響

由圖3和5知，隨著脆性參數n的增大，塑性區半徑均有不同程度的增加，如b=0.5和kd/kc=50時，n=8對應的塑性區半徑R2比n=4所對應的R2增大了15.0%；從圖7可知：隨脆性系數n的增大，襯砌切向應力σθ不受脆性強弱的影響，塑性區內邊界切向應力逐漸減小，塑性區切向應力σθ也逐漸減小且應力峰值逐漸遠離塑性區內邊界。可見考慮脆性損傷后，隧洞塑性區范圍會有很大程度的增大，如不考慮損傷，計算結果會偏于保守。

圖7　b=0.5和kd/kc=50時n與σθ的關系Fig.7　Relation between n and σθ when b=0.5, kd/kc=50

4　隧洞支護結構設計

前面的理論分析表明，圍巖與襯砌滲透比、中間主應力系數、擴容系數、脆性參數等對塑性范圍和應力都有一定的影響。在工程實踐中，合理減少圍巖與襯砌滲透比可大大減少塑性范圍，降低襯砌應力，有利于減少襯砌厚度和配筋量，提高隧洞圍巖的穩定性。

根據滲流量的變化可衡量圍巖滲透性的變化，滲流量計算公式為[14]：

(24)

式中：q為隧洞每天每米排水量，m3/(m·d)；ha為保持滲流場穩定外水頭與原滲流場一致水頭，m，一般取值為100 m；其他符號含義同前。

對于本文所假設的算例，取襯砌混凝土滲透系數與圍巖滲透系數相等為kd=5.0×10-6m/s，即kd/kc=1，將各參數代入式(24)可得q=120.04 m3/(m·d)。由文獻[12]可知，為了保證隧洞的穩定性和安全，隧洞允許排放量控制在1～10 m3/(m·d)左右，相比較而言，算例計算結果遠遠大于隧洞最大允許控制量，顯然不能滿足要求。

對于具體水工隧洞，采用注漿加固圈來減小圍巖滲透性，注漿圈的半徑及滲透性應根據隧洞最大排水量和混凝土的的滲透性來具體分析。若認為混凝土不透水，則滲流量計算式為：

(25)

式中：kg為注漿圈的滲透系數，Rg為注漿圈外半徑，其他符號含義同前。

對于本文所假設的算例，取襯砌混凝土滲透系數與圍巖滲透系數相等，襯砌內半徑為2.5 m，外半徑為2.8 m；注漿圈內半徑為2.8 m，外半徑為3.6 m，滲透系數為圍巖滲透系數的150倍。將各參數代入式(25)計算可得q′=6.852 m3/(m·d)，滲流量比前文計算結果大大的減小，可見堵水效果很好，圍巖滲透性大大的降低，在襯砌滲透系數不變的情況下，由圖2，3可知塑性半徑和襯砌應力會大大的減小。

4　結論

1)本文基于統一強度理論和非線性損傷本構模型，考慮圍巖與襯砌滲透比kd/kc、中間主應力系數b和脆性參數n等綜合影響，深入研究襯砌和隧洞周邊力學特征及塑性區范圍，提供了一種更為準確的隧洞彈塑性分析。

2)滲透比kd/kc對隧洞的力學特征有顯著影響。隨kd/kc的增大，塑性區半徑R2逐漸增大，襯砌內邊界初始切向應力σθ不受滲透比和滲流的影響，襯砌和塑性區內邊界處σθ逐漸增大，塑性區σθ逐漸減小且峰值逐漸遠離塑性區內邊界。用滲流量的變化來表征圍巖滲透性的變化，通過采用注漿加固圈降低滲流量，減小圍巖滲透性，可很好地降低塑性范圍和隧洞切向應力。

3)隨中間主應力系數b的增大，塑性區半徑R2逐漸減小，襯砌和塑性區切向應力σθ逐漸增大且塑性區應力峰值逐漸靠近塑性區內邊界，考慮中間主應力可以更加充分發揮圍巖的承載能力，減少襯砌的支護強度。

4)隨著脆性強度n的增大，塑性區半徑R2均有不同程度的增加，塑性區內邊界和塑性區切向應力σθ逐漸減小且應力峰值逐漸遠離塑性區內邊界，襯砌應力不受脆性強弱的影響。考慮脆性損傷后，隧洞塑性區會有一定程度的增大，如不考慮損傷，計算結果會偏于保守。

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