巧用割補法求解初三綜合題中的三角形面積

鄭小詠

摘 要：巧用割補結合的方法求解不規則三角形面積。

關鍵詞：直角坐標系；不規則三角形面積；輔助線

這幾年來我一直在帶畢業班，分析這幾年的中考試題，在與函數結合的綜合大題中常有涉及求解不規則三角形面積的題型。這類問題往往涉及代數、幾何知識，有一定的難度，但此類題型又有較好的選拔功能，能考查學生對數學的思維能力、思維方法素質，是中考的熱點題型。針對這種題型，我個人認為選擇相應的解題方法是個值得重視的問題，方法選得適當，可使思路清晰、過程簡捷，達到事半功倍的目的。本文通過實例來談談如何巧用割補結合的方法解決此類問題。

例1：已知一次函數y1=x+m的圖象與反比例函數y2=的圖象交于A、B兩點，已知當x>1時，y1>y2；0

（1）求一次函數的表達式；

（2）已知反比例函數在第一象限的圖象上有一點C到y軸的距離為3，求△ABC的面積。

解：此題的第（2）步很明顯△ABC的三條邊不在坐標軸上，直接利用三角形底高公式求面積顯然比較困難。若只用割和補中的一種方法求解，計算量很大，那該怎樣解決這個問題呢？我們可以運用分割粘補兼而有之的方法進行求解：我們選過A作AE垂直于X軸于點E過C作CF垂直于X軸于點F。由已知條件易求得A（1，6）、C（3，2）、B（-6，-1）、D（-5，0）、G（-3，0）。通過割補，圖形中出現許多易于求解面積的圖形。這時，S△ABC可通過這些圖形的面積加減得到，觀察易得，S△ABC=S△BDG+S△ADE+S梯形AEFC-S△CGF=×（2×1）+×（6×6）+×（2+6）×2-×（6×2） =21。

一般來說，與函數結合的求解三角形面積通過向坐標軸作垂線來分割補全圖形的方法，這也是我們常用的分割補圖的技巧。經過這樣的分割，補出的圖形面積易于求解、底高明顯。抓住這一特征，則此題還可以有類似的求解方法。如下：

過B作X軸的平行線BM，再分別過A、C作AE垂直于BM，CF垂直于BM，垂足分別為E、F，則S△ABC=S△BEA+S梯形AEFC-S△BCF=×（7×7） +×（7+3）×2-×（9×3）=21。

例2：在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（-4，0）、B（0，-4）、C（2，0）三點

（1）求拋物線對應的二次函數的解析式；

（2）若點M為第三象限內拋物線上一點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S。求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值。

本題的第二步中因為M是變化的點所以造成△ABC是變化的，當然面積也隨之變化，顯然求面積不能直接用公式了，那么怎樣利用割補方式得到面積呢？用坐標軸作垂線構置直角圖形是我們方法的巧妙之處，同時M點又在AB線段的同側，問題更加簡單了。

解：（1）易得函數y=x2+x-4

（2）過M作MD垂直于X軸于點D，設點M坐標（m，n），則AD=m+4，MD=-n=-m2-m+4

通過分割，圖形不規則四邊形AMBO中出現了△AMB，△ABO，△AMD，梯形DMBO，觀察易得

S=S陰影△AMB=S△AMD+S梯形DMBO- S△ABO

=×（m+4）×（-n） +×（-n+4）×（-m）-×（4×4）

=-m2-4m=-（m+2）2+4 （-4

看似復雜的動態三角形面積在我們的妙割下變得簡單了。

例3：如圖拋物線y=-x2-x+3與X軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）與Y軸交于點C

（1）求點A、B的坐標；

（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標。

分析：（1）步應很容易求得A（-4，0）、B（2，0）

（2）題中由y=-x2-x+3 知C坐標（0，3）對稱軸x=-1連接AC、BC

AC=

D為變化點，可設D（-1，t），由題意可討論D在AB上和AB下兩種情況，

當D在AB上方時，顯然ACD面積是不易直接求得的，我們還是對它進行巧妙割補，向坐標軸作垂線，與坐標軸的直角組合產生易求圖形。過D作DE垂直于X軸垂足為E，則分割補后產生直角三角形AED、直角梯形DEOC、直角三角形ACO，則

當然，此題也可以直接用割的方法得到，做法是過D作DE垂直于X軸，交AC于M點，則 △ ACD被分割成△ADM△CMD 。而這幾個三角形有相同的底DM而它們在DM底上的高的和就是AO，所以我們只要求得DM的長面積自然也就算出來了，但相對于割和補結合來說，DM的計算相對麻煩些，計算也繁瑣些。此題（2）步中當D在AB下方的情況和上方相似，大家不妨試著運用一下。

例4：（2015·漳州中考）如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，請解決下列問題.

（1）填空：點C的坐標為（ 0 ， 3 ），點D的坐標為（ 1 ， 4 ）；

（ 2）設點P的坐標為（a，0），當|PD﹣PC|最大時，求α的值并在圖中標出點P的位置；

（3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′，設點C對應點C′的橫坐標為t（其中0

首先易解得B′C′的解析式為y=-x+3+t，點B′坐標（3+t，0），點M坐標（t/2，（6-t）/2）。

現在，我們取0

解法一：S = S△B′C′P′-S△BMP′-S△BNB′=×6×3-（6-t）×××（6-t） - t×2t=-t2+3t；

解法二：S = S△BCE-S△CMC′-S△C′NE=××3-×t×t -×（-t）×（3-2t）=-t2+3t；

解法三：S = S四邊形BEC′P′-S△BMP′-S△C′NE=×[（6-t）+（-t）]×3- （6- t）×-×（-t）×（3-2t）=-t2+3t

通過以上舉例可以看出，對不易求解的不規則三角形進行分割補圖的關鍵是如何巧妙的制作輔助線。一旦打通了正確制作輔助線這關鍵的一環，解題思路自然會暢通起來，思維能力和水平也就隨之提高。本題型中的主要輔助線是過某特定點向坐標軸作垂線或平行線，并結合坐標軸及坐標軸的垂線使圖形得到巧妙的割補就是解決問題的關鍵和技巧所在，希望大家在解題中要多觀察多思考多總結多動手相信對數學思維能力思想方法素質的提高將有很大的幫助。