具有隨機保費離散半馬爾可夫風險模型的生存概率

包振華, 王 翠

(遼寧師范大學 數學學院, 遼寧 大連 116029)

具有隨機保費離散半馬爾可夫風險模型的生存概率

包振華, 王 翠

(遼寧師范大學 數學學院, 遼寧 大連 116029)

半馬爾可夫風險模型通過構造一個外在的馬爾可夫環境來刻畫保險公司所處環境的變化,可以用來處理保險公司在實際運營過程中出現的各種相依關系.考慮到保險實踐中保費收入具有不確定性，構建一類具有隨機保費收入的離散半馬爾可夫風險模型,其中保費收入由一個獨立的二項過程來刻畫.利用概率生成函數的技巧,給出生存概率所滿足的遞歸計算公式.建立了生存概率在零初值時所滿足的2個線性方程，通過求解線性方程組可以給出零初值時生存概率的解析表達式，進而利用遞歸公式得到任意初值的生存概率.作為應用,最后對理論結果做了數值分析.

半馬爾可夫風險模型;隨機保費;生存概率

在風險理論中,馬爾可夫調節的風險模型通過構造一個馬爾可夫外在環境來處理保險公司實際運營中出現的各種相關關系,因而受到了保險精算理論和實踐者的廣泛關注.離散半馬爾可夫風險模型假設索賠額受一個環境馬爾可夫鏈控制,此類模型最早由Reinhard和Snoussi[1-2]提出,他們得到了破產前盈余分布的遞歸計算公式.最近,Chen等[3-4]放松了文獻[1-2]中關于模型的一些設置條件,分別得到了期望貼現紅利以及生存概率滿足的遞歸公式.然而,上述文獻中都假設單位時間的保費收入為常數,這種限制一般不符合保險實踐.Temnov[5]最早在模型中使用一個復合泊松過程來描述保費收入,而用另一個獨立的復合泊松過程刻畫索賠額,得到了破產概率所滿足的卷積公式.此后,有眾多保險精算文獻研究具有不同形式的隨機保費收入模型,參見文獻[6-7]及所引文獻.本文考慮具有隨機保費收入的半馬爾可夫風險模型,得到了生存概率滿足的遞歸計算公式,并對理論結果做數值分析.

1 模型結構

(1)

其中，u∈為保險公司的初始盈余,非負整值隨機變量序列{Yi,i=1,2,…}表示索賠過程,并且Yt的分布是受環境馬爾可夫鏈影響,即Yt和Jt的條件聯合分布為

2 生存概率滿足的遞歸公式

(2)

(3)

(4)

解線性方程組(4)得

(5)

為了簡化符號,定義

(6)

由式(6)得

(7)

(8)

定理1 對于i=1,2以及k∈+,生存概率滿足遞歸計算公式:

(9)

證 由式(7)和式(8),只需說明當f0=0且f1=0時不等式π1μ1+π2μ2≥1成立.注意到

(10)

等價地

(11)

(12)

在式(12)兩邊關于s求導得

(13)

(14)

其中，

經計算得

(15)

其中，

(16)

現在考慮f0>0.令

(17)

3 數值分析

數值分析只考慮f0=0的情形,其他情形類似.索賠分布(表1)引自文獻[4].注意到當p=1時，模型(1)即退化為文獻[4]中的風險模型.

表1 索賠的分布

表和的數值結果

[1] REINHARD J M，SNOUSSI M.On the distribution of the surplus prior to ruin in a discrete semi-Markov risk model[J].ASTIN Bull，2001，31(2):255-276.

[2] REINHARD J M，SNOUSSI M.The severity of ruin in a discrete semi-Markov risk model[J].Stochastic Models，2002，18(1):85-107.

[3] CHEN M，GUO J，WU X.Expected discounted dividends in a discrete semi-Markov risk model[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2014，266(2):1-17.

[4] CHEN M，YUEN K C，GUO J.Survival probabilities in a discrete semi-Markov risk model[J]. Applied Mathematics and Computation，2014，232(2):205-215.

[5] TEMNOV G.Risk process with random income[J].Journal of Mathematical Sciences，2004，123(1):3780-3794.

[6] BAO Z H，LIU H.The compound binomial risk model with delayed claims and random income[J].Mathematical and Computer Modeling，2012,55(3/4):1315-1323.

[7] GAO J W，WU L Y.On the Gerber-Shiu discounted penalty function in a risk model with two types of delayed-claims and random income[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2014,269:42-52.

Survival probabilities with random premiums in a discrete semi-Markov risk model

BAOZhenhua，WANGCui

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

The semi-Markov risk model describes the changes for the insurance company by constructing an external Markov environment, which can be used to deal with the dependencies arisen in the operation of insurance company. Noting that the premiums received by the insurer are uncertain, we propose a class of discrete semi-Markov risk model with random premiums, in which the premiums are modeled by an independent binomial process. By using the technique of probability generating function, the recursive formulae for survival probabilities are obtained. We set up two linear equations satisfied by the survival probabilities with zero initial and the corresponding analytic expressions can be derived by solving the system of linear equations, then we can get the survival probabilities with arbitrary initials. As an application, the theoretical results are analyzed by a numerical example.

semi-Markov risk model;random premium;survival probability

2016-10-20 基金項目：教育部人文社會科學青年基金資助項目(15YJC910001)；遼寧省高等學校優秀人才支持計劃項目(LR2014031)

包振華(1976-),男,遼寧大連人,遼寧師范大學教授,博士.

1000-1735(2017)01-0001-05

10.11679/lsxblk2017010001

O211.67

A