高中數學立幾問題中輔助線的思路探究

福建省尤溪第七中學(365100) 葉明超 ●

高中數學立幾問題中輔助線的思路探究

福建省尤溪第七中學(365100) 葉明超 ●

立體幾何問題的解題方式大多比較靈活，解題思路多樣．并且，大多數時候需要學生進行輔助線的繪制才能順利完成題目的解答．但許多學生在進行解答時，對于如何添加輔助線才能起到重要作用并沒有明確的認知，導致解題效率不高．本文主要研究高中數學立體幾何問題中輔助線的運用思路，筆者借助輔助線在立體幾何中的實際運用，對輔助線的作用進行研討．

高中數學;立體幾何;輔助線;基本思路;運用

一、輔助線添加的基本思路

在實際解題過程中，輔助線的添加是有規則和思路的．首先，需根據題設中的已知項，在大腦中形成與其有關因素的基本聯系．接著，再將其中的空間因素或問題盡可能地轉變成平面問題，將不同空間的線朝著同一個平面或者平行方向移動．在此基礎上，進行相關解題定理的運用，進而正確添加輔助線．

雖然輔助線的種類很多，但其并不是雜亂無章的，而是具有一定的方法和思路．學生在學習的過程中，應注意輔助線添加方式的積累，了解哪種情況需添加哪種輔助線，并多練習和總結．

二、輔助線添加的基本方法

本文著重講立體幾何中平行線和垂線的添加方法．

平行線的添加主要有三種方法．方法一:面面平行法．即是指經過條件作一個與之相關的平面，使已知條件中的線與面呈平行的狀態．方法二:線線平行法．是指在題設給出的條件中，在平面內選擇一條線，使該直線與其所在的面呈平行的狀態，即可得到一個面與線相平行的解題條件．平面內直線的具體尋找方法如下:選擇一條與題設條件中的線和面都呈相交關系的線，經過兩者繪制一個面，繪制所得的平面與題設條件中的平面之間的交叉直線即使解題所需的直線(圖1)．或者也可以通過直線上的點作與面平行的不同直線，兩者的交點的連接所成的直線，就是要選擇的直線(圖2)．方法三:中位線法．在題設中經常會有已知點E為某線的中點，其平行輔助線的添加方法是在三角形內作中位線．然而，這種中位線又常常要先連接另外一邊的輔助線并找到相應的中點．學生在繪制出中位線之后，兩者的平行關系較為明了，但學生往往會忽視其中的數量關系．因此，在教學中需注意這個問題的避免．

垂線的添加方法．高中的立體幾何中有許多概念和基礎知識與垂線有關．例如線面角、面面之間的距離等概念．因此，在實際解題過程中，涉及到這些概念時，就需學生將已知條件中沒有的垂線添加出來．有了垂直于平面的直線，才能實現空間三維坐標的設立，進而運用到垂線的相關定理進行解題．

輔助線的添加實際上就是已知條件的完善，在揭示題目解題思路中起著重要的作用．

三、輔助線在立體幾何問題中的實際運用

分析 首先嘗試面面平行的輔助線的添加方法．

方法(1):經過線MN作平面與面PBC呈平行狀態，如圖4所示．

a．經過點M作線MG∥PB，連接點G、N，得到線GN，面MNG即是經過MN與面PBC呈平行關系的面．此時，線MG必須在點M與線PB所形成的面PAB范圍內;

b．經過點N繪制直線NG∥BC，接著連接點G、M，得到線GM，面MNG即是經過MN與面PBC成平行關系．此時，線NG必須在點N與線BC所形成的面ABCD范圍內．

采用直線與直線相平行的輔助線添加方式．

方法(2):由于線 AB、線DC是與面PBC呈相交關系的線，可采用上文的圖2中的輔助線繪制方式，如圖5所示．在面PAB內經點M作直線MM1使其平行于直線AB，并與直線PB相交于點M1，在面ABCD內經點N作直線NN1平行于直線AB，與直線BC相較于點N1，將點M1與N1相連接，直線M1N1就是解題所需在面PBC范圍內與直線MN呈平行關系的線．

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［2］劉川鋒．論向量在立體幾何和平面解析幾何中的應用［J］．中國校外教育，2015，33:15．

［3］丁鼎等．初中立體幾何整合點及支撐軟件研究［J］．中國教育信息化，2013，20:45－48．

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