高中數(shù)學(xué)立幾問(wèn)題中輔助線(xiàn)的思路探究

福建省尤溪第七中學(xué)(365100) 葉明超 ●

高中數(shù)學(xué)立幾問(wèn)題中輔助線(xiàn)的思路探究

福建省尤溪第七中學(xué)(365100) 葉明超 ●

立體幾何問(wèn)題的解題方式大多比較靈活，解題思路多樣．并且，大多數(shù)時(shí)候需要學(xué)生進(jìn)行輔助線(xiàn)的繪制才能順利完成題目的解答．但許多學(xué)生在進(jìn)行解答時(shí)，對(duì)于如何添加輔助線(xiàn)才能起到重要作用并沒(méi)有明確的認(rèn)知，導(dǎo)致解題效率不高．本文主要研究高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題中輔助線(xiàn)的運(yùn)用思路，筆者借助輔助線(xiàn)在立體幾何中的實(shí)際運(yùn)用，對(duì)輔助線(xiàn)的作用進(jìn)行研討．

高中數(shù)學(xué);立體幾何;輔助線(xiàn);基本思路;運(yùn)用

一、輔助線(xiàn)添加的基本思路

在實(shí)際解題過(guò)程中，輔助線(xiàn)的添加是有規(guī)則和思路的．首先，需根據(jù)題設(shè)中的已知項(xiàng)，在大腦中形成與其有關(guān)因素的基本聯(lián)系．接著，再將其中的空間因素或問(wèn)題盡可能地轉(zhuǎn)變成平面問(wèn)題，將不同空間的線(xiàn)朝著同一個(gè)平面或者平行方向移動(dòng)．在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行相關(guān)解題定理的運(yùn)用，進(jìn)而正確添加輔助線(xiàn)．

雖然輔助線(xiàn)的種類(lèi)很多，但其并不是雜亂無(wú)章的，而是具有一定的方法和思路．學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)注意輔助線(xiàn)添加方式的積累，了解哪種情況需添加哪種輔助線(xiàn)，并多練習(xí)和總結(jié)．

二、輔助線(xiàn)添加的基本方法

本文著重講立體幾何中平行線(xiàn)和垂線(xiàn)的添加方法．

平行線(xiàn)的添加主要有三種方法．方法一:面面平行法．即是指經(jīng)過(guò)條件作一個(gè)與之相關(guān)的平面，使已知條件中的線(xiàn)與面呈平行的狀態(tài)．方法二:線(xiàn)線(xiàn)平行法．是指在題設(shè)給出的條件中，在平面內(nèi)選擇一條線(xiàn)，使該直線(xiàn)與其所在的面呈平行的狀態(tài)，即可得到一個(gè)面與線(xiàn)相平行的解題條件．平面內(nèi)直線(xiàn)的具體尋找方法如下:選擇一條與題設(shè)條件中的線(xiàn)和面都呈相交關(guān)系的線(xiàn)，經(jīng)過(guò)兩者繪制一個(gè)面，繪制所得的平面與題設(shè)條件中的平面之間的交叉直線(xiàn)即使解題所需的直線(xiàn)(圖1)．或者也可以通過(guò)直線(xiàn)上的點(diǎn)作與面平行的不同直線(xiàn)，兩者的交點(diǎn)的連接所成的直線(xiàn)，就是要選擇的直線(xiàn)(圖2)．方法三:中位線(xiàn)法．在題設(shè)中經(jīng)常會(huì)有已知點(diǎn)E為某線(xiàn)的中點(diǎn)，其平行輔助線(xiàn)的添加方法是在三角形內(nèi)作中位線(xiàn)．然而，這種中位線(xiàn)又常常要先連接另外一邊的輔助線(xiàn)并找到相應(yīng)的中點(diǎn)．學(xué)生在繪制出中位線(xiàn)之后，兩者的平行關(guān)系較為明了，但學(xué)生往往會(huì)忽視其中的數(shù)量關(guān)系．因此，在教學(xué)中需注意這個(gè)問(wèn)題的避免．

垂線(xiàn)的添加方法．高中的立體幾何中有許多概念和基礎(chǔ)知識(shí)與垂線(xiàn)有關(guān)．例如線(xiàn)面角、面面之間的距離等概念．因此，在實(shí)際解題過(guò)程中，涉及到這些概念時(shí)，就需學(xué)生將已知條件中沒(méi)有的垂線(xiàn)添加出來(lái)．有了垂直于平面的直線(xiàn)，才能實(shí)現(xiàn)空間三維坐標(biāo)的設(shè)立，進(jìn)而運(yùn)用到垂線(xiàn)的相關(guān)定理進(jìn)行解題．

輔助線(xiàn)的添加實(shí)際上就是已知條件的完善，在揭示題目解題思路中起著重要的作用．

三、輔助線(xiàn)在立體幾何問(wèn)題中的實(shí)際運(yùn)用

分析 首先嘗試面面平行的輔助線(xiàn)的添加方法．

方法(1):經(jīng)過(guò)線(xiàn)MN作平面與面PBC呈平行狀態(tài)，如圖4所示．

a．經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作線(xiàn)MG∥PB，連接點(diǎn)G、N，得到線(xiàn)GN，面MNG即是經(jīng)過(guò)MN與面PBC呈平行關(guān)系的面．此時(shí)，線(xiàn)MG必須在點(diǎn)M與線(xiàn)PB所形成的面PAB范圍內(nèi);

b．經(jīng)過(guò)點(diǎn)N繪制直線(xiàn)NG∥BC，接著連接點(diǎn)G、M，得到線(xiàn)GM，面MNG即是經(jīng)過(guò)MN與面PBC成平行關(guān)系．此時(shí)，線(xiàn)NG必須在點(diǎn)N與線(xiàn)BC所形成的面ABCD范圍內(nèi)．

采用直線(xiàn)與直線(xiàn)相平行的輔助線(xiàn)添加方式．

方法(2):由于線(xiàn) AB、線(xiàn)DC是與面PBC呈相交關(guān)系的線(xiàn)，可采用上文的圖2中的輔助線(xiàn)繪制方式，如圖5所示．在面PAB內(nèi)經(jīng)點(diǎn)M作直線(xiàn)MM1使其平行于直線(xiàn)AB，并與直線(xiàn)PB相交于點(diǎn)M1，在面ABCD內(nèi)經(jīng)點(diǎn)N作直線(xiàn)NN1平行于直線(xiàn)AB，與直線(xiàn)BC相較于點(diǎn)N1，將點(diǎn)M1與N1相連接，直線(xiàn)M1N1就是解題所需在面PBC范圍內(nèi)與直線(xiàn)MN呈平行關(guān)系的線(xiàn)．

［1］宋波等．人教A版與北師大版高中數(shù)學(xué)教材立體幾何部分的比較研究［J］．四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，03:88－90．

［2］劉川鋒．論向量在立體幾何和平面解析幾何中的應(yīng)用［J］．中國(guó)校外教育，2015，33:15．

［3］丁鼎等．初中立體幾何整合點(diǎn)及支撐軟件研究［J］．中國(guó)教育信息化，2013，20:45－48．

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