特殊位置作用大

江蘇省淮安市淮陰區開明中學(223300) 馬先龍 ●

特殊位置作用大

江蘇省淮安市淮陰區開明中學(223300) 馬先龍 ●

解幾何最值問題時，若能捕捉圖形的特殊位置，利用特殊位置時的圖形解題，往往能化難為易，事半功倍．

一、與三角形有關的問題

例1 如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為α(0°＜α＜180°)，得到△A'CB'．設AC中點為M，A'B'中點為N，AC= 2，連接MN，則線段MN 的最大值為___．

分析 如圖2，當△ABC繞頂點C順時針旋轉到M、C、N三點共線時，即是本題的特殊位置圖形．此時，CM+ CN就是MN的最大值．

解 如圖1，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC= 30°，AC=2，∴AB=4．連結 CN，在 Rt△A'B'C中，∵∠A'CB'=90°，N為A'B'中點，∴此時CM、CN不共線，有MN＜CM+CN;如圖2，當CM、CN共線時，有MN=CM+CN，∴MN≤CM+CN．∵M為AC的中點，∴3，∴MN的最大值為3．

二、與四邊形有關的問題

例2 如圖3，正方形ABCD中，AB=2，動點E從點A出發向點B運動，同時，動點F從點B出發向點C運動，點E、F運動的速度相同，當它們到各自終點時停止運動．設運動過程中AF與DE相交于點M，P是邊CD上任意一點，則PB+PM 的最小值為___．

分析 如圖4，當動點E運動到點B，動點F運動到點C，即是本題的特殊位置圖形．此時，作點B關于CD的對稱點B'，連接B'M交CD于點P，則B'M就是PB+PM的最小值．

解 如圖4，當點E、F分別運動到點B、C時，M是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點，作點B關于CD的對稱點B'，連接B'M與CD相交于點P，則B'M就是PB+ PM的最小值．過點M作MN⊥BC于點N，在Rt△B'MN中，∵∠B'NM=90°，MN=1，B'N=2+1=3，∴B'M=PB+PM的最小值為

三、與圓有關的問題

分析 如圖6，當OP與⊙A相切時，即是本題的特殊位置圖形．此時，∠POA最大，從而tan∠POA最大，而tan∠POA，故此時最大，據此即可求出的最大值．，故此時最大．連接AP，∵OP是⊙A的切線，∴∠OPA=90°．∵A(2，0)，∴OA=2．在Rt△AOP中，∠OPA=90°，OA=2，AP=

解 如圖6，連接OP，當OP與⊙A相切時，∠POA最大，從而tan∠POA最大．∵的最大值為的最大值為

例4 如圖7，△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是邊BC上的一個動點，以AM為直徑畫⊙O分別交AB，AC于點P，Q，連結PQ，則線段PQ 的最小值為____．

解 如圖7，作直徑PR，連接QR，則∠PQR=90°，∠PRQ=∠BAC=60°．在Rt△PRQ中，∠PQR=90°，．過點A作AH⊥BC，垂足為點H，則AH就是AM的最小值．在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=60°，AB的最小值為線段PQ的最小值為線段PQ的最小值為

例5 如圖8，已知A是⊙O外一點，P是⊙O上的動點，線段AP的中點為Q，連接AO，OQ．若⊙O的半徑為2，OA=5，則線段OQ 的最大值是___．

分析 如圖8，取OA的中點B，連接BQ，OP，易知BQ =1，點Q是半徑為1的⊙B上的動點．設AO與⊙B相交于M、N，則OM就是OQ的特殊位置圖形，據此可求出OQ的最大值．

解 如圖8，取OA的中點B，連接BQ，OP．∵Q、B分別為AP、AO的中點，∴BQ為△AOP的中位線OP．∵OP=2，∴BQ=1．以點B為圓心，作半徑為1的⊙B，則點Q是⊙B上的動點．設AO與⊙B分別相交于點M、 N，則當點Q運動到點M時，OQ最大線段OQ的最大值是

從以上幾例可以看出，認真審題，把握圖形本質，弄清運動對象的路徑并捕捉到圖形的特殊位置是解題成功的關鍵．一旦捕捉到圖形的特殊位置并畫出特殊位置時的圖形，問題則立刻變得簡單了．

G632

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1008－0333(2017)02－0026－02