江蘇省淮安市淮陰區開明中學(223300) 馬先龍 ●
特殊位置作用大
江蘇省淮安市淮陰區開明中學(223300) 馬先龍 ●
解幾何最值問題時,若能捕捉圖形的特殊位置,利用特殊位置時的圖形解題,往往能化難為易,事半功倍.
例1 如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC= 30°,將△ABC繞頂點C順時針旋轉,旋轉角為α(0°<α<180°),得到△A'CB'.設AC中點為M,A'B'中點為N,AC= 2,連接MN,則線段MN 的最大值為___.

分析 如圖2,當△ABC繞頂點C順時針旋轉到M、C、N三點共線時,即是本題的特殊位置圖形.此時,CM+ CN就是MN的最大值.
解 如圖1,在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠ABC= 30°,AC=2,∴AB=4.連結 CN,在 Rt△A'B'C中,∵∠A'CB'=90°,N為A'B'中點,∴此時CM、CN不共線,有MN<CM+CN;如圖2,當CM、CN共線時,有MN=CM+CN,∴MN≤CM+CN.∵M為AC的中點,∴3,∴MN的最大值為3.
例2 如圖3,正方形ABCD中,AB=2,動點E從點A出發向點B運動,同時,動點F從點B出發向點C運動,點E、F運動的速度相同,當它們到各自終點時停止運動.設運動過程中AF與DE相交于點M,P是邊CD上任意一點,則PB+PM 的最小值為___.

分析 如圖4,當動點E運動到點B,動點F運動到點C,即是本題的特殊位置圖形.此時,作點B關于CD的對稱點B',連接B'M交CD于點P,則B'M就是PB+PM的最小值.
解 如圖4,當點E、F分別運動到點B、C時,M是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點,作點B關于CD的對稱點B',連接B'M與CD相交于點P,則B'M就是PB+ PM的最小值.過點M作MN⊥BC于點N,在Rt△B'MN中,∵∠B'NM=90°,MN=1,B'N=2+1=3,∴B'M=PB+PM的最小值為

分析 如圖6,當OP與⊙A相切時,即是本題的特殊位置圖形.此時,∠POA最大,從而tan∠POA最大,而tan∠POA,故此時最大,據此即可求出的最大值.,故此時最大.連接AP,∵OP是⊙A的切線,∴∠OPA=90°.∵A(2,0),∴OA=2.在Rt△AOP中,∠OPA=90°,OA=2,AP=
解 如圖6,連接OP,當OP與⊙A相切時,∠POA最大,從而tan∠POA最大.∵的最大值為的最大值為
例4 如圖7,△ABC是邊長為3的等邊三角形,M是邊BC上的一個動點,以AM為直徑畫⊙O分別交AB,AC于點P,Q,連結PQ,則線段PQ 的最小值為____.
解 如圖7,作直徑PR,連接QR,則∠PQR=90°,∠PRQ=∠BAC=60°.在Rt△PRQ中,∠PQR=90°,.過點A作AH⊥BC,垂足為點H,則AH就是AM的最小值.在Rt△ABH中,∠AHB=90°,∠ABH=60°,AB的最小值為線段PQ的最小值為線段PQ的最小值為

例5 如圖8,已知A是⊙O外一點,P是⊙O上的動點,線段AP的中點為Q,連接AO,OQ.若⊙O的半徑為2,OA=5,則線段OQ 的最大值是___.
分析 如圖8,取OA的中點B,連接BQ,OP,易知BQ =1,點Q是半徑為1的⊙B上的動點.設AO與⊙B相交于M、N,則OM就是OQ的特殊位置圖形,據此可求出OQ的最大值.
解 如圖8,取OA的中點B,連接BQ,OP.∵Q、B分別為AP、AO的中點,∴BQ為△AOP的中位線OP.∵OP=2,∴BQ=1.以點B為圓心,作半徑為1的⊙B,則點Q是⊙B上的動點.設AO與⊙B分別相交于點M、 N,則當點Q運動到點M時,OQ最大線段OQ的最大值是
從以上幾例可以看出,認真審題,把握圖形本質,弄清運動對象的路徑并捕捉到圖形的特殊位置是解題成功的關鍵.一旦捕捉到圖形的特殊位置并畫出特殊位置時的圖形,問題則立刻變得簡單了.
G632
B
1008-0333(2017)02-0026-02