2017年普通高等學校招生全國統一考試全國卷理科數學模擬試題

許少華

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 設集合U={1， 2， 3， 4， 5}，集合A={x∈N | x2-6x+5<0}，則CUA=（ ）

A. {1， 5} B. {1， 2} C. {2， 4} D. {1， 3， 4}

2. 若a（2-i）2+bi（1-i）=2-5i（a， b∈R），則復數a+bi在復平面上對應的點在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 某學校星期一至星期五上午共安排五節課，每節課的時間為40分鐘. 第一節課上課時間為7：50～8：30，課間休息10分鐘. 某同學請假后返校，若他在8：50～9：30之間隨機到達教室，則他聽第二節課的時間不小于10分鐘的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

4. 已知雙曲線■-■=1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則■·■的最小值為（ ）

A. 2a-c B. a-2c C. 2a（a-c） D. a-c

5. 半徑為1的球內接正三棱錐，若三棱錐的高為■，則三棱錐的側面積為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

6. 執行如圖所示的程序框圖，

則輸出S的值為（ ）

A. -15 B. 15 C. 18 D. -18

7. 一幾何體的三視圖如右圖所示，若小網格是邊長為1的小正方形，則該幾何體的體積為（ ）

A. ■ B. ■

C. ■ D. ■

8. 如圖，是函數f（x）=Asin（？棕x+？準）（A>0， ？棕>0， 0<？準<？仔）的一個周期的圖像則的f（x）一個增區間為（ ）

A.[-■， ■] B.[■， ■]

C.[-■， ■] D.[-■， ■]

9. 定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=2017x+5，（x<0）f（x+1）-f（x+2），（x≥0） 則f（2017）的值為（ ）

A. 0 B. 1 C. 2016 D. 2017

10. 如圖，ABCD為等腰梯形，若CD=■AB=4，且梯形面積為20，若E為BC中點，F，G分別為DA的三等分點，則■·■=（ ）

A. -■ B. -■

C. -■ D. -■

11. 點N是圓（x+5）2+y=1上的動點，又知以點A（3， 0）為直角頂點的直角三角形ABC兩頂點B，C在x2+y2=25的圓周上，BC中點為M，則 |MN| 的最大值為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

12. 方程a（x-1）2 = （2-x）ex 有且僅有一個根的充分不必要條件為（ ）

A. -■≤a≤1 B. -■≤a≤2

C. -■≤a≤1 D. -■≤a≤■

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13. 求（x+ay-3z）9的展開式中含x4y2z3的系數為-13608，則實數a= .

14. ？駐ABC中，若sinB=sinC且sin 2 A=2sin 2 B（1-sinA），則∠A= .

15. 若y=（■）x與y=log■x圖像的交點為（x0， y0），當00恒成立，則t 的范圍為

.

16. 過拋物線y2=2px 的焦點F 的直線交該拋物線于A、B兩點，若 | AF |·| BF | 的最大值為16，則p 的值為 .

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17. （本小題滿分12分）數列{ an } 滿足：a1=6， an+1=an+2n+1

（1）求數列{ an } 的通項公式；

（2）設Tn=■+■+…+■，試證：Tn=■.

18. （本小題滿分12分）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=90°， BC=2， AC=2■， 且AA1⊥A1C，AA1=A1C.

（1）若D 是AC 的中點，求證：？駐A1DB1是直角三角形；

（2）求側面A1ABB1與底面ABC所成的二面角.

19. （本小題滿分12分）某人在從甲、乙兩社區各經營一個小士多店，他記錄了連續25所營業額（單位：拾元），結果莖葉圖如下：

（1）根據以上莖葉圖，對甲、乙兩店的營業額作比較，寫出兩個統計結論；

（2）若從兩店營業額超過三仟三佰元的天中隨機抽取四天作進一步分析，設抽到甲店的天數為X ，求X 的均值.

20. （本小題滿分12分）已知動圓P 與圓F1：（x+3）2+y2=81相切，且與圓F2： （x-3）2+y2=1相內切，記圓心P 的軌跡為曲線C；設Q 為曲線C 上的一個不在x 軸上的動點，O為坐標原點，過點F2作OQ的平行線交曲線C于M、 N兩個不同的點.

（1）求曲線C 的方程；

（2）試探究 |MN| 和 |OQ|2 的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；

（3）記？駐QF2M的面積為S1，？駐OF2N的面積為S2，令S=S1+S2，求S的最大值.

21. （本小題滿分12分）已知函數f（x）=ln（x+2a）-ax，a>0.

（1）求f（x）的單調區間；

（2）記f（x）的最大值為M（a）， 若a2>a1>0且M（a1）=M（a2），求證：a1a2<■；

（3）若a>2，記集合{x | f（x）=0}中的最小元素為x0，設函數g（x）=| f（x） | +x， 求證：x0是g（x）的極小值點.

請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多選，則按所做的第一題計分

22. （本題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程.

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系. 過拋物線x=2pt2，y=2pt（t為參數）的焦點F作弦BC，若BC的垂直平分線交BC于M，交x軸于N.

（1）當BC的極坐標方程為cos？茲+■sin？茲=p時，寫出弦BC所在直線的參數方程，并求 | BC | ；

（2）求證： | MN |2 = | FB |· | FC |.

23. （本題滿分10分）選修4-5：不等式選講.

對于函數f（x）=ax2+x-a，

（1）當a=1時，解不等式 | f（x） | < | 2x+1 |；

（2）若 | a |≤1且 | x |≤1，求證：| f（x） | ≤■.

參考答案

一、選擇題

1. A；由x2-6x+5<0 ？圯1< x <5.

由于x∈N，所以A= {2， 3， 4}，于是CUA= {1， 5}.

2. D；由a（2-i）2+bi（1-i）=3a-4ai+b+bi=（3a+b）-（4a-b）i=2-5i.

從而3a+b=2，4a-b=5？圯a=1，b=-1？圯a+bi=1-i.

3. A；該同學到達的時間總長度為40，其中在8：50～9：30進入教室時，聽第二節課的時間不小于10分鐘，其時間長度為20，故所求概率為■=■，選A.

4. C；由意知A1 （-a， 0），F2 （c， 0），P （x1， y1），得y1 2=■-b2，

則■=（-a-x1， -y1），■=（c-x1， -y1）.

那么■·■=（a+x1）（x1-a）+y1 2=■-（c-a）x1-b2-ac.

由于■-a=■<0，又x1≥a.

故當x1=a時，■·■取得最小值c2-（c-a）a-b2-ac=2a2-2ac=2a（a-c）.

5. B；如圖，V-ABC是半徑為1的球內接正三棱錐，H為V在底面內的射影，O為球心，設底面邊長為a，則BH=■BD=■×■a=■a.

由BO2=BH2+OH2？圯1=（■a）2+（■-1）2？圯 a=■.

那么VD2=VH2+DH2？圯VD2=（■）2+（■）2？圯 VD=■.

于是，側面積為S=3×■×■×■=■.

6. A；第一次執行程序，得到S=0-12=-1，i=2；

第二次執行程序，得到S=-1+22=3，i=3；

第三次執行程序，得到S=3-32=-6，i=4；

第四次執行程序，得到S=-6+42=10，i=5；

第五次執行程序，得到S=10-52=-15，i=6；

到此結束循環，輸出的S=-15.

7. C；由三視圖可得幾何體的立體圖是放置于正體中的三棱錐.

由于正方體的邊長為4，

因此，體積為V=■×■×4×2×4=■.

8. A；由圖像知A=2，由■×■=■-■？圯？棕=3，又x=■時，f（x）=0，即2sin（3×■+？準）=0，可得？準=■，

所以f（x）=2sin（3x+■）.

由-■+2k？仔≤3x+■≤■+2k？仔？圯■-■≤x≤■+■.

9. B；由f（x）=f（x+1）-f（x+2），得f（x+1）=f（x+2）-f（x+3）兩式相加得f（x）=-f（x-3），顯然f（x）=-f（x-3）=f（x-6）.

那么f（2017）=f（6×337-5）=f（-5）=2017-5+5=1，選A.

10. C；由CD=■AB=4及面積為20可得梯形的高為4. 以AB為x軸，AB的中垂線為y建立直角坐標系，則A（-3， 0），B（3， 0）， E（■， 2）， G（-■， ■）， F（-■， ■），

那么■=（-■， ■），■=（■， ■），于是■·■=-■×■+■×■=-■.

11. D；如圖，設M（x， y），由于M是BC的中點，則OM⊥BC，于是OM2+MB2=OB2.

又因為MB=MA，得x2+y2+（x-3）2+y2=25，

即M 的軌跡方程為（x-■）2+y2=■.

那么， |MN| 的最大值為5+■+1+■=■.

12. D；設f（x）=（x-2）ex +a（x-1）2 ，則f′（x）=（x-1）（ex+2a）.

易得當a>0時，當x∈（-∞， 1）時，f ′（x）<0；當x∈（1，+∞）時，f ′（x）>0. 所以f（x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增. 又f（1）=-e，f（2）=a>0，

取b 滿足b<0且b■（b-2）+a（b-1）2=a（b2-■b）>0，即a>0時，f（x）有兩個零點. 也就是說：a>0時，方程a（x-1）2 = （2-x）ex 有兩個根.

若a=0，則f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一個零點.

若a<0，由f′（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.

當ln（-2a）≤1即a≥-■時，x∈（1， +∞）時，f′（x）>0，因此f（x）在（1， +∞）上單調遞增. 且x≤1時，f（x）<0，f（3）=e3+4a≥e3+4（-■）=e（e2-2）>0，此時，有且僅有一個零點.

當ln（-2a）>1即a<-■時，f（x）在（-∞， 1）單調遞增，在（1， ln（-2a））單調遞減，在（ln（-2a）， +∞）單調遞增. 由于f（1）<-e<0，可得x≤ln（-2a）時，f（x）<0，取a=-2，則f（3）=e3-2×22=e3-8>0，此時，f（x）在 （ln（-2a）， +∞） 有且僅有一個零，也是在定義域內有且僅有一個零. 故選D.

二、填空題

13. a=2；由（x+ay-3z）9=[x+（ay-3z）]9，

得Tr+1=C9r·x9-r·（ay-3z）r=C9r·x9-r·Crt·（ay）r-t（-3z）t

=C9r·ar-t·（-3）t·x9-r·yr-t·zt.

結合題設，得t=3，r-t=2，9-r=4？圯 t=3， r=5，于是，含x4y2z3的系數為

C9 5·a2·（-3）3，由C9 5·a2·（-3）3=-13608？圯a=2.

14. ■；由sin 2 A=2sin 2 B（1-sinA），結合正弦定理得a2=2b2（1-sinA）.

又由sinB=sinC？圯b=c.

那么，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=2b2（1-cosA）=2b2（1-sinA）.

于是sinA=cosA？圯tanA=1？圯A=■.

15.[-1，1]；結合圖像易知0

那么不等式2t（■）x+（1-t）■>0可轉化為：5t·■+（4-3t）>0.

令a=■，則f（a）=2ta+（1-t）>0，當a∈（0，1）時恒成立，則f（0）≥0，f（1）≥0，也就是2t·0+（1-t）≥0，2t·1+（1-t）≥0？圯-1≤t≤1，于是實數t存，其范圍為.[-1，1].

16. 4；設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=ty+■.

再設∠AFB=？茲，則t2+1=■.

由x=ty+■，y2=2px？圯y2-2pty-p2=0？圯y1+y2=2pt，y1y2=-p2.

那么■+■=sin？茲·■=■■=■.

由■=■+■≥2■？圯

│AF│·│BF│≥p2，由p2=16？圯p=4.

三、解答題

17.（1）由an+1-an=2n+1，又a1=6.

于是an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=6+22+…+2n=4+■=2n+1+2.

（2）由于■=■=■>■=■-■.

于是Tn=■+■+…+■>（■-■）+（■-■）+…+（■-■）=■-■>■.

18.（1）由于AA1=A1C且D是AC的中點，所以A1D⊥AC.

又由于側面A1ACC1與底面ABC垂直，且面A1ACC1∩面ABC=AC.

所以A1D⊥面ABC，得A1D⊥AB.

由于A1B1∥AB，得A1D⊥A1B1.

故△A1DB1的形狀是直角三角形.

（2）由于∠ABC=90°，于是以B為原點，BA為x、BC為y建立空間直角坐標系.

如圖，

可得A（2■，0，0），C（0，2，0），A1（■，1，■），■=（-■，1，■），面ABC的法向量■=（0，0，1）.

設面A1ABB1的法向量為 ■=（x，y，z），

則■·■=0，■·■=0？圯2■x=0，-■x+y+■z=0？圯x=0，y+■z=0，取y=■，則z=-1，

得面A1ABB1的法向量為 ■=（0，■，-1），

于是cos<■，■>=■=-■？圯<■，■>=120°.

故側面A1ABB1與底面ABC所成的二面角120°.

19.（1）對莖葉圖進行觀察，可以發現如下結論：

1. 乙店營業額的平均數大于甲店營業額的平均數.

2. 甲店營業額較乙店營業額更分散.（或：乙店營業額較甲店營業額更集中（穩定）.甲店營業額分散程度比乙店營業額的分散程度更大）.

3. 甲店營業額的中位數為3070元，乙店營業額的中位數為3180元.

4. 乙店營業額基本上是對稱的，而且大多集中在中間（均值附近）.甲店營業額除一個特殊值（3520）外，也大致對稱，其分布較均勻.

（2）由莖葉圖可知，兩店營業額超過三仟三佰元的天共有10天，其中，甲店有4天，乙店有6天.

由題意得X的可取值為0，1，2，3，4且P（X=0）=■=■，P（X=1）=■=■，P（X=2）=■=■，P（X=3）=■=■，P（X=4）=■=■.

于是，X的概率分布列表如下：

故X的均值為EX=0×■+1×■+2×■+3×■+4×■=■.

20. （1）設圓心P的坐標為（x，y），半徑為R.

由于動圓P與圓F1：（x+3）2+y2=81相切，且與圓F2：（x-3）2+y2=1相內切，所以動圓P與圓F1只能內切.

所以│PF1│=9-R，│PF2│=R-1？圯│PF1│+│PF2│=8>│F1F2│，那么圓心P的軌跡為以F1，F2為焦點的橢圓，其中2a=8，2c=6.

故圓心的P的軌跡方程為■+■=1.

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直線OQ：x=my，則直線MN：x=my+3，

由x=my，■+■=1，可得：x2=■，y2=■，∴ ■=■，■=■，

∴ │OQ│2=x23+y23=■+■=■.

由x=my+3，■+■=1，可得（7m2+16）y2+42my-49=0，

∴ y1+y2=-■，y1y=-■，

∴ │MN│=■=

■=■│y2-y1│=■■=■■=■.

∴ ■=■=■.

∴ │MN│和│OQ│2的比值為一個常數，這個常數為■.

（3）∵ MN∥OQ，∴ △QF2M的面積與△OF2M的面積相等，所以S=S1+S2=S△OMN.

又因為O到直線MN：x=my+3的距離為d=■.

所以S=■│MN│·d=■×■×■=■.

令■=t？圯m2=t2-1（t≥1），

因為S=■=■=■≤■=2■，當且僅當7t=■？圯t=■，亦即m=±■時取等號，故當m=±■時，S取得最大值2■.

21.（1）由f ′（x）=■-a=■.

因為x>-2a，a>0，由f ′（x）>0，得-2a■-2a.

所以，f（x）的單調增區間為（-2a， ■-2a）；減區間為（■-2a，+∞）.

（2）由（1）知，M（a）=f（■-2a）=2a2-1-lna，

∴ 2a21-1-lna1=2a22-1-lna2？圯2（a22-a21）=lna2-lna1=ln■，

∴ 2a1a2·■=ln■？圯4a1a2·（■-■）=2ln■？圯4a1a2=■.

設h（t）=t-■-2lnt（t>1），則h′（t）=1+■-■=（1-■）2>0.

所以，h（t）在（1，+∞）上單調遞增，h（t）>h（0），即，t-■>2lnt>0，因■>1，故■-■>2ln■>0？圯0<■<1，所以a1a2<■.

（3）由（1）知，f（x）在（-2a，■-2a）上單調增，又x→-2a時，f（x）→-∞ .

易知f（■-2a）=M（a）=2a2-1-lna？圯M′（a）=4a-1-■=■，顯然，a∈（2，+∞）時，M′（a）>0從而M（a）遞增，于是M（a）>M（2）=7-ln2>0.

所以-2a0.

所以，當-2a

（a+1）x-ln（x+2a）， （-2a

于是-2a

記H（a）=f（■-2a）=2a2+■-1-ln（a+1），

則H′（a）=4a-■-■，當a>2時，H′（a）>8-■-■>0，所以H（a）在（2，+∞）內單調遞增，∴ H（a）>H（2）=■-ln3>0，∵ ■-2a<■-2a ，∴ f（x）在（-2a，■-2a）內單調遞增，∴ x0∈（-2a，■-2a）.于是-2a

∴ g（x）在 （-2a，x0）上遞減.

當x0■-（a-1）=1>0，

∴ g（x）在（x0，■-2a）上遞增，故x0是g（x）的極小值點.

22.（1）由x=2pt2，y=2pt？圯y2=2pt得拋物線的焦點F（■，0）.

又由cos？茲+■sin？茲=p？圯x+■y=p得直線BC的傾斜角為150°.

故BC所在直線的參數方程為x=■-■t，y=■t（t為參數），將它代入y2=2pt中，整理得t2+4■pt-4p2=0.

∴ │BC│=│t1-t2│=■=2p.

（2）設弦BC所在直線的傾斜角為？琢，則直線BC的參數方程為x=■+tcos？琢，y=tsin？琢（t為參數）代入y2=2px，整理得t2sin2？琢-2pcos？琢t-p2=0.

則│FB│·│FC│=│t1│·│t2│=│t1·t2│=■.

∵ M為BC的中點 ，∴ │MF│=■│t1+t2│=│■│.

∴│MN│=│MF│·│tan？琢│=│■│·│tan？琢│=■，即MN2=■.

∴ MN2=│FB│·│FC│.

23.（1）當a=1時，由│f（x）│<2x+1？圯│x2+x-1│<2x+1？圯x2+x-1<2x+1，-2x-10？圯-10？圯0

故不等式│f（x）│<│2x+1│的解集為{x│0

（2）法一：

由│f（x）│=│（x2-1）a+x│≤│x2-1│·│a│+│x│≤│x2-1│+│x│=1-x2+│x│=-（│x│-■）2+■≤■.

法二：設F（a）=f（x）=（x2-1）a+x，∵ │a│≤1，顯然│f（x）│=│F（a）│≤max{│F（1）│，│F（-1）│}=max{│x2-1+x│，│-x2+1+x│}.

由│x│≤1，得│x2-1+x│=│（x+■）2+■│≤■，│x2-1+x│=│-（x-■）2+■│≤■.故結論成立.

責任編輯 徐國堅