板中Lamb波與管中縱向模態(tài)的傳播特性的對比分析

郭 鵬,田振華,李鴻源,徐 鴻

(華北電力大學(xué)， 北京 102206)

板中Lamb波與管中縱向模態(tài)的傳播特性的對比分析

郭 鵬,田振華,李鴻源,徐 鴻

(華北電力大學(xué)， 北京 102206)

從Navier運(yùn)動方程出發(fā)，根據(jù)不同波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)和邊界條件，分別推導(dǎo)了平板中Lamb波和管道中縱向模態(tài)導(dǎo)波的特征方程，并求解了它們的頻散關(guān)系和模態(tài)結(jié)構(gòu)。通過對平板中Lamb波與管道中縱向模態(tài)的特征方程的對比分析，發(fā)現(xiàn)了如果管道和平板的材料和壁厚都一致，且當(dāng)管道半徑足夠大時(shí)，管道中縱向模態(tài)的特征方程可化簡為平板中Lamb波的特征方程。通過比較頻散曲線，得出以下結(jié)論：隨著管道內(nèi)徑增加，管道中縱向模態(tài)的頻散關(guān)系逐漸趨近于平板中Lamb波的頻散關(guān)系；其中，管道中的縱向模態(tài)L(0,1)趨近于平板中的A0模態(tài)；管道中的縱向模態(tài)L(0,2)趨近于平板中的S0模態(tài)。

Lamb波; 縱向模態(tài); 頻散曲線; 模態(tài)結(jié)構(gòu)

相對于傳統(tǒng)的超聲體波(橫波和縱波)，超聲導(dǎo)波具有傳播距離遠(yuǎn)且能量損耗低的優(yōu)點(diǎn)。除此之外，超聲導(dǎo)波對不同形式的缺陷(裂紋，腐蝕，結(jié)構(gòu)分層等)有很高的敏感度，適合缺陷檢測。因?yàn)榫哂羞@些優(yōu)點(diǎn)，超聲導(dǎo)波可以用于快速的大面積缺陷檢測以及健康監(jiān)測。然而，相對于傳統(tǒng)的超聲體波，導(dǎo)波具有頻散(傳播速度隨頻率變化)和多模態(tài)的特性。這些特性使得導(dǎo)波比傳統(tǒng)體波更復(fù)雜。對于導(dǎo)波缺陷檢測和健康監(jiān)測而言，導(dǎo)波頻散關(guān)系和模態(tài)結(jié)構(gòu)的理論研究是導(dǎo)波檢測的基礎(chǔ)。一方面，從導(dǎo)波的頻散關(guān)系(如群速度頻散曲線)中，可得到不同頻率下導(dǎo)波的傳播速度，從而輔助導(dǎo)波缺陷檢測方法的開發(fā);另一方面，導(dǎo)波的模態(tài)結(jié)構(gòu)直觀地給出了導(dǎo)波的位移分布以及傳播形式，從而有助于模態(tài)的識別以及不同模態(tài)對缺陷敏感度的研究。故，快速準(zhǔn)確地求解導(dǎo)波頻散關(guān)系和模態(tài)結(jié)構(gòu)是導(dǎo)波檢測的基礎(chǔ)[1-5]。

要想在無損檢測中有效地應(yīng)用超聲導(dǎo)波，就必須了解平板和管道中導(dǎo)波的頻散特性，并根據(jù)導(dǎo)波在平板和管道中的頻散特性制定無損檢測方案，故求解和繪制導(dǎo)波在平板和管道中的頻散曲線對工程應(yīng)用有著非常重要的意義。THOMSON[6]和HASKELL[7]利用數(shù)值計(jì)算給出了頻散方程的通解；LOWE[8]利用全局矩陣法和勘根算法進(jìn)行了模態(tài)求解，但該方法在求解大頻厚積頻散方程時(shí)會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)的問題；何存富[9]利用有限元法對各種波導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動模態(tài)分析，并將特征頻率轉(zhuǎn)換成波動解，進(jìn)而提取了頻散特性曲線；BARTOLI[10]利用半解析有限元法求解了任意截面波導(dǎo)的頻散特性曲線；ELMAIMOUNI[11]利用多項(xiàng)式展開求解頻散曲線，該方法能有效縮短求解特征值的計(jì)算時(shí)間；GRAVENKAMP[12]利用比例邊界有限元法求解頻散曲線，在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)邊界采用對稱方式進(jìn)行數(shù)值離散。

要實(shí)現(xiàn)平板和管道的超聲導(dǎo)波無損檢測，需要對平板和管道的特征方程、頻散曲線和模態(tài)結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入的研究，筆者從Navier運(yùn)動方程出發(fā)，根據(jù)不同波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)和邊界條件，分別推導(dǎo)了平板中Lamb波和管道中縱向模態(tài)導(dǎo)波的特征方程，進(jìn)而得到了其頻散關(guān)系和模態(tài)結(jié)構(gòu)，可為分析和設(shè)計(jì)超聲導(dǎo)波無損檢測試驗(yàn)提供參考。

1 無邊界介質(zhì)中波的傳播

對于各向同性均勻介質(zhì)，Navier運(yùn)動方程(不考慮體力)為

(1)

式中:u為位移矢量；ρ為材料密度；λ、μ為Lamé常數(shù)。

利用Helmholtz分解，位移u可以被分解為標(biāo)量場φ的梯度和矢量場H的旋度

(2)

將式(2)代入式(1)，將Navier運(yùn)動方程分解為標(biāo)量勢和矢量勢波動方程

(3)

?2H?t2=c2s2H，cs=μρ

(4)

式中:cl為縱波的波速；cs為橫波的波速。

式(3)為縱波的波動方程，式(4)為剪切波的波動方程。在無限大介質(zhì)中，兩方程互相獨(dú)立。對于彈性波的傳播而言，波動方程式(3)和式(4)的諧波解可表示為

(5)

式中:AL為縱波的幅值；AS為剪切波的幅值；kL為縱波的波數(shù)矢量；kS為剪切波的波數(shù)矢量；z為傳播方向；ω為角頻率；ey為y方向的單位矢量。

2 平板中的Lamb波

Lamb波是在平行板狀表面間傳播的一種超聲導(dǎo)波。它在傳播過程中可呈現(xiàn)出對稱模態(tài)(S模態(tài))和反對稱模態(tài)(A模態(tài))，對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)的波場結(jié)構(gòu)不同。對稱模態(tài)的截面位移場相對于中心線呈對稱狀分布；反對稱模態(tài)的截面位移場相對于中心線呈反對稱狀分布。除此之外，平板中的Lamb波還具有頻散特性，傳播速度與頻率和板厚度相關(guān)[13-15]。

圖1 平板中的Lamb波

此小節(jié)從Navier運(yùn)動方程出發(fā)，利用子波法，推導(dǎo)了平板中Lamb波的特征方程，并且求解了Lamb波的頻散關(guān)系。當(dāng)波導(dǎo)介質(zhì)存在邊界時(shí)，邊界條件會影響波的傳播。如圖1(a)所示，對于自由平板而言，縱波(L)和垂直剪切波(SV)在邊界條件作用下，將會互相影響及轉(zhuǎn)換，最終疊加形成更復(fù)雜的傳播形式，即Lamb波。如圖1(b)所示，可將部分波L-與SV-的波數(shù)kL-與kSV-分解到z與x方向；同理，部分波L+與SV+的波數(shù)kL+與kSV+也可分解到z與x方向，于是有

(6)

kSV±=kzez±kSVxex,kSVx=(ω2c2s-k2z)1/2(7)

式中:ex,ez分別為x,y方向的單位矢量。

因而，對于沿z方向傳播的Lamb波而言，波動方程式(3)和式(4)的諧波解可以表示為部分波L波與SV波的形式:

(8)

將式(8)代入式(1)，并結(jié)合應(yīng)力-應(yīng)變，應(yīng)變-位移關(guān)系方程，可求得平板內(nèi)Lamb波的位移和應(yīng)力的矩陣表達(dá)形式:

(9)

(10)

平板中的Lamb波不僅需要滿足波動方程式(3)和式(4)，而且需要滿足平板的邊界條件。對于圖 1 (a)所示的自由平板而言，其上下表面為自由應(yīng)力邊界。利用邊界條件及應(yīng)力關(guān)系可以求得Lamb波的特征方程為：

(11)

根據(jù)歐拉方程對上式分解，可求得Lamb波對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)的特征方程：

(12)

|(k2svx-k2z)sin(klzh)2iksvxkzsin(ksvxh)

2iklxkzcos(klzh)(k2svx-k2z)cos(ksvxh)|=0 ，反對稱模態(tài)(13)

式中:h為平板厚度d的一半。

根據(jù)方程(12)和方程(13)，可求得對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)的波數(shù)kz與角頻率ω的關(guān)系。利用方程cp=ω/k和方程cg=dω/dk，可求得Lamb波的相速度與群速度。

圖2是1 mm厚鋼板(材料屬性:E=196.5 GPa,泊松比ν=0.29,密度ρ=8 000 kg·m-3)中Lamb波的頻散曲線。如圖2所示，Lamb波具有多模態(tài)特性，隨著頻率增大，不同模態(tài)(如A1、S1、S2和A2模態(tài))逐漸出現(xiàn)。對稱模態(tài)S0和反對稱模態(tài)A0的起點(diǎn)在低頻區(qū)，隨著頻率增大，高階模態(tài)(如A1、S1、S2和A2模態(tài))逐漸出現(xiàn)。除多模態(tài)特性外，Lamb還具有頻散特性，傳播速度隨頻率變化：在低頻區(qū)內(nèi)，S0模態(tài)傳播速度快，且群速度隨頻率變化較小；與之相反，A0模態(tài)傳播速度慢，且群速度隨頻率變化較大。

圖2 1 mm厚鋼板中Lamb波的頻散曲線

3 管道中的導(dǎo)波

管道中導(dǎo)波特征方程的推導(dǎo)，與平板中Lamb波特征方程的推導(dǎo)類似。從Navier運(yùn)動方程出發(fā)，結(jié)合管道中不同模態(tài)的邊界條件，可以推導(dǎo)得出管道中不同模態(tài)的特征方程。此小節(jié)給出了管道中縱向模態(tài)特征方程的推導(dǎo)過程。管道中的超聲導(dǎo)波同樣需要滿足波動方程(3)和(4)。因?yàn)榭v向模態(tài)為軸對稱模態(tài)，所以沿z方向傳播時(shí)，如圖3所示(圖中r為柱坐標(biāo)系下的徑向坐標(biāo)，rin,rout分別為管道內(nèi)徑、外徑)，管道中縱向模態(tài)的諧波解可表示為

(14)

將式(14)代入式(1)，結(jié)合應(yīng)力-應(yīng)變，應(yīng)變-位移關(guān)系方程，可以求得縱向模態(tài)位移和應(yīng)力的矩陣表達(dá)形式

(15)

(16)

對于圖 3所示管道而言，其內(nèi)外壁面為自由應(yīng)力邊界。利用邊界條件及式(16)，可以求得管道縱向模態(tài)L(0,m)的特征方程為：

(17)

圖3 管道三維圓柱坐標(biāo)系示意

根據(jù)式(17)，可求得縱向模態(tài)L(0,m)的波數(shù)kz與角頻率ω的關(guān)系，進(jìn)而得到管道縱向模態(tài)的頻散曲線。縱向模態(tài)同樣具有多模態(tài)和頻散特性。縱向模態(tài)頻散曲線除受管道材料參數(shù)影響外，還隨著管道尺寸變化而變化，如圖 4所示，當(dāng)管道內(nèi)徑不同時(shí)，管道的頻散曲線不同。在低頻區(qū)，隨著管道內(nèi)徑的變化，頻散曲線變化較大；然而在高頻區(qū)，隨著管道內(nèi)徑的變化，頻散曲線變化不大。

4 自由平板和管道中的導(dǎo)波對比分析

4.1 頻散曲線對比分析

圖4比較了Lamb波與管道(材料屬性同圖2所示材料，管道壁厚1 mm)縱向模態(tài)的頻散曲線。

圖4 Lamb波與管道縱向模態(tài)頻散曲線比較

管道中的縱向模態(tài)L(0,1)與自由平板中的A0模態(tài)近似，管道中的縱向模態(tài)L(0,2)與自由平板中的S0模態(tài)近似。當(dāng)管道壁厚不變時(shí)，隨著管道內(nèi)徑的增加，管道中縱向模態(tài)的頻散曲線逐漸趨近于自由平板的頻散曲線。

(18)

因而，隨著kr的增大，Hankel函數(shù)的值與指數(shù)函數(shù)近似。如果頻率不變，當(dāng)r足夠大時(shí)，可根據(jù)方程(18)對特征方程(17)化簡為：

(19)

進(jìn)一步化簡后，可得：

(20)

式中:d為管道壁厚。

當(dāng)管道內(nèi)徑足夠大時(shí)，管道縱向模態(tài)的特征方程可化簡為方程(20)。與平板中的特征方程(11)相比，化簡后的管道縱向模態(tài)特征方程(20)與平板特征方程(11)一致。因而，在相同頻率下，隨著管道內(nèi)徑的增大，管道的特征方程逐漸趨近于平板的特征方程。也就是說，隨著管道內(nèi)徑的增大，管道的頻散關(guān)系逐漸趨近于平板的頻散關(guān)系。

4.2 波場結(jié)構(gòu)對比分析

將方程(18)代入方程(16)并化簡，可得管道中的近似位移場表達(dá)式為：

(21)

而自由平板中：

(22)

比較式(22)與(21)，可以發(fā)現(xiàn)Lamb波與管道中縱向模態(tài)的位移表達(dá)式近似。圖 5對比了1 mm厚鋼板中A0模態(tài)與1 mm厚鋼管道中的L(0,1)模態(tài)。如圖 5所示，L (0, 1)模態(tài)與A0模態(tài)的波場結(jié)構(gòu)近似，在壁厚一定的情況下，隨著管道內(nèi)徑增大，管道中的L (0, 1)模態(tài)的波場結(jié)構(gòu)越接近于A0模態(tài)的波場結(jié)構(gòu)。圖 6對比了1 mm厚鋼板中S0模態(tài)與1 mm厚鋼管道中的L(0,2)模態(tài)。如圖 6所示，在壁厚一定的情況下，隨著管道內(nèi)徑增大，管道中的L (0, 2)模態(tài)的波場結(jié)構(gòu)越接近于S0模態(tài)的波場結(jié)構(gòu)。

圖5 f=2 000 kHz時(shí)A0模態(tài)和L(0,1)模態(tài)的位移場分布

圖6 f=2 000 kHz時(shí)S0模態(tài)和L(0,2)模態(tài)的位移場分布

5 結(jié)論

(1) 平板Lamb波具有多模態(tài)特性和頻散特性，隨著頻率增大，不同模態(tài)(如A1、S1、S2和A2模態(tài))逐漸出現(xiàn)。對稱模態(tài)S0和反對稱模態(tài)A0的起點(diǎn)在低頻區(qū)，在低頻區(qū)內(nèi)，S0模態(tài)傳播速度快，且群速度隨頻率變化較小；與之相反，A0模態(tài)傳播速度慢，且群速度隨頻率變化較大。

(2) 管道中的縱向模態(tài)同樣具有多模態(tài)和頻散特性。縱向模態(tài)頻散曲線除受管道材料參數(shù)影響外，還隨管道尺寸變化而變化。

(3) 通過對比分析管道中的縱向模態(tài)和平板中Lamb波的特征方程，發(fā)現(xiàn)如果管道和平板的材料和壁厚都一致，那么當(dāng)管道內(nèi)徑足夠大時(shí)，管道中縱向模態(tài)的特征方程可化簡為平板中Lamb波的特征方程。相應(yīng)地，如果管道和平板的材料和壁厚都一致，隨著管道內(nèi)徑的增加，管道的頻散關(guān)系逐漸趨近于平板的頻散關(guān)系。

(4) 通過頻散曲線和模態(tài)結(jié)構(gòu)的對比發(fā)現(xiàn)，管道中的縱向模態(tài)L(0,1)趨近于平板中的A0模態(tài)，管道中的縱向模態(tài)L(0,2)趨近于平板中的S0模態(tài)。

(5) 對于大直徑管道中的缺陷檢測而言，可將其近似視為平板中的缺陷檢測，直接利用平板缺陷檢測的相關(guān)方法對大直徑管道進(jìn)行檢測。另外對于管道中基于L(0,1)和L(0,2)模態(tài)的檢測，可以分別借鑒平板中A0和S0模態(tài)的相關(guān)方法。

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Comparison Analysis of the Propagation Characteristics of Lamb Waves in Plates and Longitudinal Waves in Pipes

GUO Peng, TIAN Zhen-hua, LI Hong-yuan, XU Hong

(North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

This paper derives the characteristic equations, dispersion curves and mode shapes of Lamb waves in plates and longitudinal mode guided waves in pipes in details by solving the Navier equation for different waveguide structures and boundary conditions. By comparing the characteristic equations of Lamb waves and longitudinal mode guided waves, it can be found that for pipes and plates that have the same material and wall thickness, the characteristic equations of longitudinal modes in pipes can be simplified to the characteristic equations of Lamb waves in plates when the pipe radius is large enough. Moreover, through the comparison of dispersion curves, it has been found that the dispersion relations of pipes gradually approach to the dispersion relations of plates. Particularly, the longitudinal mode L (0, 1) in pipes approaches to the A0mode in plates, and the longitudinal mode L (0, 2) in pipes approaches to the S0mode in plates.

Lamb wave; Longitudinal mode; Dispersion curve; Mode shape

2016-11-02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51134016)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2016XS25)

郭 鵬(1986- )，男，博士研究生，研究方向?yàn)殡娬驹O(shè)備狀態(tài)監(jiān)測、結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測和超聲無損檢測技術(shù)。

徐 鴻(1959-),男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:xuhong@ncepu.edu.cn。

10.11973/wsjc201704009

TB559; TG115.28

A

1000-6656(2017)04-0042-07