中俄高中幾何教科書比較研究

徐乃楠，馬曉艷(吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000)

中俄高中幾何教科書比較研究

徐乃楠，馬曉艷
(吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000)

俄羅斯高中數學課程教科書在世界范圍內廣受推崇，其中代數與數學分析初步和幾何分科編寫，幾何教科書重視數學公理化體系，具有較高的知識難度，對我國當前高中數學課程標準修訂和實驗教科書編寫具有重要的借鑒意義。

俄羅斯；幾何；高中教科書

俄羅斯聯邦高中數學教育標準對高中學生的數學學習要求分為基礎水平(БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ)和專業水平(ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ)兩個層次[1]，教育標準下有示范性教學大綱[2]，在教育標準和示范性大綱指導下還有著名數學家編寫的各種教科書。本文針對高中學段數學教科書的核心內容——幾何模塊，選取我國《普通高中課程標準實驗教科書》(人教A版)和俄羅斯卡列寧和捷列圣編寫的《幾何》教科書,進行文本比較研究。

1 俄羅斯《幾何》教材簡介

捷列圣·德米特里·亞歷山德洛維奇(Терёшин Дмитрий Александрович，1967- )，是莫斯科物理技術學院(Московский физико технический институт)數學系的副教授，2010年曾獲得俄羅斯聯邦教育獎，出版過13本立體幾何和數學奧林匹克方面的書籍。

莫斯科物理技術學院被譽為俄羅斯的MIT，一直積極參與數學教育研究和數學教科書、奧林匹克數學參考書編寫，尼科利斯基院士曾在那里工作過。卡利寧·亞歷山大·尤里耶維奇(Калинин Александр Юрьевич)是捷列圣的學生，1996年移居美國，現工作在亞馬遜公司。二人合寫的《幾何》(10-11年級合訂本)教科書由莫斯科繼續數學教育中心(Московский центр непрерывного математического образования)出版。該書是俄羅斯聯邦國家教育和科學部批準使用的高中數學教科書，2011年莫斯科繼續數學教育中心出版了新修訂補充本[3]。俄羅斯的教科書有的專門用于基礎水平的學生學習使用的，有的是專門用于專業水平的學生使用，有的是同時可供基礎和專業水平的學生使用[4]。該書可以提供給10-11年級學生,用于專業水平的學習使用。

該書是合訂本，但在具體編寫中分為10、11兩個年級，主體知識內容共有13個章節，具體章、節、內容與我國高中幾何模塊比較情況如表1所示。其中帶有星號的知識點例如歐拉定理、空間三角形相等定理和相似定理、空間中的相似變換和移動分類、旋轉體和多面體的非標準組合、圓錐曲線，以及整個第九章問題解決的知識等內容，教科書扉頁注釋中指出是“高于正常難度的內容”。

表1 中俄高中幾何教科書主要內容

中國幾何教科書內容俄羅斯幾何教科書內容模塊分類章節具體內容模塊分類章節具體內容幾何證明選講選修4-1相似三角形的判定及有關性質;直線與圓的位置關系;圓錐曲線性質的探討空間變換第8章基本定義,變換,變換的一般性質;平移;繞軸的轉動;中心對稱和平面對稱;空間中的相似變換;*空間三角形相等定理和相似定理;變換群;空間中的相似變換和移動分類坐標系與參數方程選修4-4坐標系;參數方程問題解決第9章*正棱錐中基本角的關系;棱錐和棱柱的底面上高的定義;求體積的輔助公式;輔助多面體的組合問題旋轉體第10章初步認識,圓柱體、圓錐體、平截頭圓錐體;球面和球體;球面和部分球體;球與圓柱體、圓錐體、平截頭圓錐體的組合;兩個球面的相互位置關系,相互接觸的球面問題;圓柱體、圓錐體、平截頭圓錐體與多面體的組合;切割線定理;球與多面體的組合;旋轉體和多面體的非標準組合;*圓錐曲線空間向量(后續部分)第11章向量積和混合積;向量積和混合積的幾何補充;空間直線方程;平面方程;一些實例;笛卡兒坐標系;球面方程;坐標法解決問題的實例最大值和最小值問題第12章引論;問題解決實例;幾何不等式物體的體積和表面積第13章體積定義;直平行六面體體積,棱柱體積;體積計算方法,圓柱體積;四面體體積;棱錐和圓錐體積;球體和部分球體體積;表面積定義;閔可夫斯基表面積計算方法平面幾何學的理論和方法選編附件三角形角平分線的性質;解三角形;幾個三角形面積公式;與三角形基本元素相關的一些公式;內角定理的一些推論;內接多邊形和外切多邊形;平面點的幾何軌跡;賽瓦定理和梅涅勞斯定理

從整體上看，中國教科書的每冊內容都是圍繞一個主體，每冊書由幾章組成，每章又由幾小節組成，知識劃分比較細致。中國人教A版教科書幾何部分分為必修和選修，其中必修部分共6章，大部分集中在必修2的內容中，選修部分共4章,包括立體幾何、空間向量以及圓錐曲線內容。俄羅斯教科書每冊包含了不一樣的主題，相同主題的內容化為一章，因此從章節上看，相同知識點所劃分的章數比中國教科書多，知識形式比較全面。

2 中俄幾何知識結構比較分析

2.1 兩國幾何教科書內容不同

從整體內容上看，兩國教科書中知識量差異較大，中國教科書所含內容在俄羅斯教科書中都能找到，但是俄羅斯教科書中的一些知識在中國教科書中沒有體現，如“多面體最優化、梅涅勞斯定理、賽瓦定理、空間求面坐標系、定向曲面和麥比烏斯帶、星狀多面體、凸幾何分析、變換群”等，都是我們數學專業課中才能學到的內容。從細節上看，俄羅斯教科書中多數知識點設置體現在習題中，中國教科書的知識點都設置在正文中，如：對于面面垂直的性質定理,在俄羅斯教科書中是作為習題結論給出的。教科書中很多知識的學習都是通過學生探究交流、動手探究實現的。

2.2 兩國幾何教科書知識安排順序不同

俄羅斯教科書的內容組織建立在公理體系基礎上，第一章內容把幾何公理作為引論,在全書知識內容之前做好鋪墊，這對數學思維的發展有良好的影響，有利于學生理解數學理論的抽象本質和意義。然后，以公理為基礎來研究點、直線、平面之間的性質及其位置關系，進而研究以它們為元素組成的棱柱、棱錐、球等空間幾何體。我國高中教科書先把立體幾何作為開頭，在“空間幾何體結構”內容中展示了大量幾何體實物、模型、圖片等，學生可以感受空間幾何體的整體結構，深入認識點、直線、平面之間的位置關系。中國教科書先學習多面體和旋轉體的概念及體積和表面積，而俄羅斯教科書將其放在第二章、第六章和第十章,對多面體和旋轉體進行分類講授。對于空間直線與平面平行與垂直的內容，中國教科書將其放在一章中學習，其本意是把二者歸為空間中直線與平面的特殊位置關系這一類內容，而俄羅斯教科書把這一內容分為兩章，對平行與垂直分類討論，并且這兩章并不連續，中間是向量知識，對于垂直問題可直接用向量法解決。

2.3 兩種教材習題設置不同

中國教科書在每節結束后會設置一些習題，使學生鞏固所學內容。按難度分為A、B兩組，其中B組難度稍大，這樣設置有利于學生復習。俄羅斯教科書在每個單元教學內容完成之后都有一個小小的習題系統，并且由簡單到復雜層層遞進，對教師和學生都有較高的要求。

3 對我國高中幾何教科書編寫的啟示

3.1 處理好高中幾何教科書難度

俄羅斯高中《幾何》教科書中數學知識內容涉及向量的數量積、混合積及其幾何意義，梅捏勞斯定理和賽瓦定理，多面體最優化問題，空間球面坐標系，定向曲面與麥比烏斯帶，星狀多面體，凸幾何分析問題，變換群等內容，有的已經超出教育標準的要求[5]。我國高中數學課程對一些難度較高的數學知識不是沒有考慮，只是全都設計在選修課程當中，編有獨立的選修教科書，內容與必修課程的聯系不夠密切。選修系列涉及的幾何內容有“對稱與群、歐拉公式與閉曲面分類、球面上的幾何、三等分角與數域擴充”等內容，有的是俄羅斯高中數學課程中沒有的。但這些選修知識需要各個學校、教師根據情況單獨開課，事實上很多學校老師也沒為學生開設這些專題講座，其原因主要是因為高考不考這些內容，很多一線高中教師對這些現代數學內容把握不好。俄羅斯高中教科書中難度較高的知識點，是在必修內容或后續部分呈現的，二者聯系較為密切，有鮮明的接續性，我國高中教科書中的高難度知識點，需要學生進行更大范圍的拓展性學習，對提高學生掌握必修內容的水平并不一定具有實質性作用。

3.2 處理好高中幾何教科書的編寫方式

俄羅斯高中《幾何》教科書總體遵循直線順序編排幾何知識內容，但也存在小螺旋編排結構，例如，教科書第十年級的第三章“空間向量”主要討論“向量的定義、運算和數量積”等內容，第十一年級的第十一章繼續討論“空間向量(后續部分)”，內容涉及“向量的混合積及幾何意義，空間直線、平面、球面方程的向量表達”等問題。我國高中數學采用呈螺旋式上升方式編寫的教科書，代數、幾何和概率統計等內容混排，在一些知識點的螺旋編排銜接上需要我們進一步完善的。另外，俄羅斯幾何教科書內容建立在公理體系基礎上，第一章內容基本把幾何公理作為引論,在全書知識點講授前做好鋪墊，幾何公理化是俄羅斯幾何教科書最顯著的特征。教育家們的理由是“它對數學思維的發展給予良好的影響，有利于理解數學理論的抽象性的本質和意義，保證了有可能把理論應用到種種具體情況中去。”[6]雖然受到西方新數學運動影響的俄羅斯數學教育改革中公理化特點逐漸弱化，在初中階段教科書中著名數學家沙雷金的直觀幾何影響很大，但俄羅斯大部分中小學幾何教科書主要還是以幾何公理化體系組織知識內容，同時綜合向量和坐標幾何等現代幾何內容,而平面解析幾何尤其是圓錐曲線內容基本上是選修的內容。因此，如何將直觀和邏輯有效地結合起來值得我們思考，平面幾何和空間幾何的統一教學體系究竟應該包括哪些基本內容需要我們深入研究[7]。

3.3 處理好高中代數和幾何課程分和問題

關于教科書的分科編寫還是混合編寫的問題，一直是我國高中數學課程中爭論不休的問題。爭論的雙方都有論據、各執一詞。提倡綜合課程的認為利于學生綜合數學素養的形成，數形結合有利于學生更好地進行數學學習。提倡分科課程的認為，不同教師負責不同科目有利于教師發揮自身優勢，也有利于學生有指向性地學習不同數學知識。在這一點上俄羅斯小學(1～4年級)教材是綜合課程，就叫《數學》，包括算數、代數初步和幾何課程初步的內容，而初中5～6年級教材為《數學》，7～9年級則分為《代數》與《幾何》兩科，高中分為《代數與分析初步》和《幾何》。高中數學課程改革不要僅僅做表面文章，更應關注課程內容，關注課程和教科書的知識內容。

[1]徐乃楠,孔凡哲.俄羅斯高中數學教育標準最新進展及啟示[J].數學通報,2013(4):5-8.

[2]徐乃楠,孔凡哲,史寧中.俄羅斯高中數學示范性大綱最新進展研究[J].長春師范大學學報,2014(3):117-124.

[3]А. Ю. Калинин, Д. А. Терёшин. Геометрия[M].10-11 классов(профильный уровни), Москва: МЦНМО,2011.

[4]徐乃楠,孔凡哲,史寧中.俄羅斯高中數學教科書研究及啟示[J].長春師范大學學報,2014(6):165-168.

[5]徐乃楠,孔凡哲,史寧中.俄羅斯高中數學教育標準、示范性大綱和教科書的最新變化特征及啟示[J].全球教育展望,2015(1):100-109.

[6]A.A.斯托利亞爾.數學教育學[M].丁爾陛,等,譯.北京:人民教育出版社,1984:169.

[7]徐乃楠.中俄高中數學教科書中的數學史研究[M].長春:東北師范大學出版社,2014:275.

Comparative Research on the Geometric Textbooks Between Russian and Chinese

XU Nai-nan,MA Xiao-yan

(College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping Jilin 136000, China)

The Russian textbooks of senior high school mathematics curriculum is widely respected in the world, the geometry and algebra and mathematical analysis had division writing, Geometry textbook pays attention to mathematical axiomatic system, knowledge has a high difficulty, it is of great significance for the revision of the mathematical curriculum standards and textbooks of senior high school in China.

Russian；Geometry；Senior high school mathematical textbook

2017-01-02

國家社會科學基金2012年度教育學重點課題“中小學理科教材國際比較研究”(AHA120008)；吉林省教育科學“十二五”規劃課題“俄羅斯數學課程改革最新進展研究”(GH14205)；吉林省教育廳“十三五”社會科學研究項目“中俄中小學數學課程比較研究”(吉教科文合字[2016]第176號)。

徐乃楠(1979- )，女，副教授，碩士生導師，博士，從事數學課程與教學論研究。

G423.07

A

2095-7602(2017)04-0112-05