大運動曲梁應力剛化效應特征值分析

張建書　芮筱亭　顧俊杰

摘要：從連續介質力學非線性位移一應變關系出發，導出計人應力剛化效應的柔性梁變形能表達式。利用哈密頓變分原理和浮動框架有限元方法（Finite Element Method of Floating Frame of Reference，簡記為FEMFFR）導出了勻速轉動非慣性系中曲梁的動力學方程。通過數值仿真分析了曲梁的旋轉軟化（Spin Softening）和應力剛化（Stress Stiffening）效應，并與ANSYS軟件仿真結果進行了對比，從結構動力學特征值角度驗證了基于連續介質力學非線性位移一應變關系為高速旋轉曲梁引入應力剛化效應的方法的正確性。由于曲梁結構不再像直梁結構那樣擁有獨立的縱向和橫向振動模態，為此討論了改進的Craig-Bampton模態綜合法在一般運動曲梁系統中的應用及其縮減策略，為利用浮動框架有限元方法建立滿足基于小變形假設的高速旋轉柔性曲梁動力學模型提供了參考。

關鍵詞：多體系統動力學；曲梁；浮動框架有限元法；應力剛化；模態綜合法

引言

從描述柔性體的位移和變形的策略這一角度可以將當前較為流行的柔性多體系統動力學方法分為兩大類：相對節點坐標描述方法和絕對節點坐標描述方法。相對節點坐標法也稱為浮動框架法或混合坐標法，該方法用描述柔性構件大范圍運動浮動框架的剛體坐標與描述柔性體相對于浮動框架的位置和變形坐標來描述柔性體在全局慣性系中的運動。該方法較為直觀并有眾多模態降階方法，對大運動小變形柔性多體系統尤為適合。絕對節點坐標法中單元節點坐標定義在全局坐標系下，并采用斜率矢量代替傳統有限元方法中的節點轉角坐標，能精確描述大運動大變形柔性多體系統。

利用浮動坐標方法對滿足小變形假設的大運動柔性多體系統進行動力學計算時，如果忽略柔性梁縱向變形與橫向變形的耦合作用，由于離心慣性力的作用，使得柔性體元件的等效剛度隨著浮動框架轉速提高而降低。不計人柔性梁縱向變形與橫向變形耦合作用的計算結果與實驗結果是相背的。

文獻在前期研究的基礎上提出了上述問題的一種解決方法：通過引入橫向變形引起的縱向縮短效應這一幾何非線性因素導出大運動柔性梁的一次耦合模型。文獻研究了柔性梁的一次耦合模型的模態降階方法，并與有限元方法的結果進行了對比。文獻研究了做空間任意運動柔性梁的動力學方程，同時考慮了橫向彎曲對縱向變形的影響。文獻比較了零次模型、一次耦合模型及精確模型的差異，探討了各種模型的適用性。由于在一次耦合模型中，需要通過沿著梁的軸線方向對整個柔性梁進行積分以獲取橫向彎曲變形引起的梁的軸向縮短效應，所以將該方法推廣到具有一般初始構形的曲梁結構具有一定的難度。

文獻根據非線性連續介質力學理論，從非線性位移一應變關系出發，通過對縱向和橫向變形節點坐標進行坐標分離，解出與縱向變形相關的準靜態方程，得到準靜態時的縱向應力表達式，從而獲得附加剛度項。仿真結果與一次耦合模型吻合較好。該方法避免了一次耦合模型建模方法中關于浮動坐標系方向連續積分的因素，但是對縱向和橫向變形采用了獨立的模態陣型，所以需要對該方法進行改進才能將其推廣應用到具有一般初始構形的曲梁結構。

文獻討論了曲梁的動力學建模方法，但均未計入應力剛化效應對曲梁動力學的影響，因此不適用于高速大運動曲梁的動力學仿真。計人應力剛化效應的大運動曲梁的動力學模型在文獻中尚很少見。

本文從連續介質力學非線性位移一應變關系出發，討論將應力剛化效應引入到大運動曲梁動力學模型的方法。首先從彈性體非線性位移一應變關系出發導出計人應力剛化效應的柔性梁變形能表達式；再利用哈密頓變分原理和浮動框架有限元法，建立具有一般初始構形柔性曲梁在勻速轉動非慣性系中的動力學方程；然后從結構動力學特征值角度分析大運動曲梁的應力剛化效應。由于曲梁不再像直梁那樣擁有獨立的縱向振動模態和橫向振動模態，同時為了使曲梁的振動模態滿足各種連接約束條件，因此最后一節討論改進的Craig-Bampton模態綜合法在一般運動曲梁系統動力學中的應用及其縮減策略，為利用浮動框架有限元方法建立滿足基于小變形假設的高速旋轉柔性曲梁動力學模型提供參考。