任意邊界條件非局部彈性桿縱振特性分析

杜敬濤　許得水　呂朋　劉志剛

摘要：基于非局部彈性理論，研究了彈性邊界約束條件下桿結構縱向振動特性。在非局部桿兩端引入縱向約束彈簧，通過設置相應彈簧剛度系數，可以得任意經典邊界及其組合情況下非局部桿結構縱振問題。非局部彈性桿縱振位移采用一種改進傅立葉級數進行展開，在標準傅立葉級數基礎上構造附加函數，以使縱振位移在整個求解域內足夠光滑。通過聯合求解非局部縱振微分方程與彈性邊界約束條件獲得系統特征矩陣。通過與現有文獻中不同邊界條件非局部彈性桿縱振模態數據進行對比，充分驗證了所構造模型的正確性。在此基礎上討論了邊界約束剛度系數和非局部特征參數對非局部彈性桿縱振特性的影響。與現有方法相比，該方法能夠統一考慮任意邊界條件，當邊界條件改變時不需要對理論推導和計算程序進行重新修改，實現了非局部彈性桿縱振特性分析的最為一般情況。

關鍵詞：非局部理論；桿結構；縱向振動；彈性邊界約束

引言

經典連續介質理論廣泛應用于固體和結構力學行為的建模分析，并取得了豐碩的研究成果，然而對于外部載荷特征尺度與內部微觀特征尺度相近情況下的裂紋尖端應力奇異性、高頻波彌散現象和微納米材料等問題，采用經典連續介質理論難以獲得令人滿意的結果。1966年，Eringen在考慮微觀力學中長程效應的基礎上提出非局部理論，作為經典連續介質理論的擴充與發展，非局部理論能夠有效計及微觀尺度效應，為解決考慮內部微觀或細觀結構的問題奠定了理論基礎。

自非局部理論提出以來受到了研究人員的極大關注，理論體系逐步完善，并在黏彈性力學、斷裂力學、晶體錯位理論等方面的研究中取得了一系列成果，解決了許多經典連續介質力學難以解決的問題。戴天民對連續統理論進行了大量工作，對微極連續耦合場論和極性連續統理論的基本原理進行了詳細論述。周振功等采用非局部彈性理論，計算了裂紋尖端應力場，消除了裂紋尖端應力場的奇異性。畢賢順等推導了半無限大平面不同材料在線性載荷作用下非局部彈性問題的解析解；劉振國等采用非局部線性理論分析了圓孔周邊應力集中的量綱問題。Pisano和Fuschi獲得了非局部彈性直桿應變場的封閉解。Weckner和Abeyaratne將長程力應用于無限長桿的動力學響應分析。Lei等采用非局部理論研究了含非局部阻尼分布參數系統的動力學問題。

近年來，隨著材料科學的迅速發展，碳納米管等納米材料因其具有獨特的行為特性，針對其振動分析受到國內外學者的廣泛關注。研究表明經典的連續介質理論難以充分刻畫其力學行為，為此，學者們進一步引入尺度效應，即采用非局部理論研究納米結構振動特性。縱向振動作為納米管（棒）一種重要的振動形式，基于非局部理論開展納米棒（桿）縱振特性分析引起了人們的研究興趣。鄭長良在非局部彈性理論框架下分析了彈性直桿縱向振動，結合一維晶格動力學，得到了Eringen非局部理論中材料常數的一個上限。Aydogdu基于非局部彈性理論，研究了不同邊界條件下非局部直桿幾何參數和非局部特征參數對縱振固有頻率的影響。黃偉國等運用非局部理論分析了三種典型邊界條件下壓桿穩定與軸向振動問題，并討論了臨界壓力和固有頻率的尺度效應。雷勇軍等分別運用Ritz法和傳遞函數法求解了非局部彈性桿經典邊界條件下縱向振動的模態頻率。由于數學處理上存在一定難度，這方面的研究主要局限于經典邊界條件，即固定、自由等，事實上，邊界條件作為影響結構振動特性的重要因素，對于納米桿縱振同樣具有重要影響，顯然，現有研究限制了人們對此類問題的全面認識。

針對現有研究不足，本文基于非局部彈性理論建立了彈性邊界約束桿結構縱向振動分析模型，任意經典邊界及其組合可以通過設置邊界約束剛度系數得到。非局部桿縱振位移采用改進傅立葉級數展開，聯合求解非局部縱振微分方程與彈性邊界約束條件獲得系統特征矩陣。通過與文獻中不同邊界條件非局部彈性桿縱振固有頻率對比，對本文模型正確性進行驗證，并討論了邊界約束剛度系數和非局部特征參數對非局部彈性桿縱振特性的影響。