半球諧振陀螺的基礎理論研究

方 針,劉書海,余 波

(中國電子科技集團公司第二十六研究所,重慶 400060)

半球諧振陀螺的基礎理論研究

方 針,劉書海,余 波

(中國電子科技集團公司第二十六研究所,重慶 400060)

針對半球諧振陀螺的幾個基本理論問題,對包括環形諧振子和半球諧振子的動力學理論、控制理論和信號處理理論等進行了系統的闡述和總結,建立了包括諧振子振動頻率和進動特性、激勵系統穩定性、信號處理等在內的半球諧振陀螺的基本理論框架,以期為今后的具體工程提供理論指導。

半球諧振陀螺；諧振子；參數激勵；信號理論

0 引言

半球諧振陀螺是一種高精度的振動陀螺,以其可連續工作15年并維持高于0.99的可靠度的突出特點,在衛星、導彈、定向鉆井等應用領域受到廣泛的關注,特別是在空間應用中占有獨特的優勢[1-2]。

由于同時涉及運動學、動力學、靜電力學、聲學等多門學科的交叉,半球諧振陀螺是一個復雜的系統,為了更好地理解其工作機理,并對未來的工作提供有益的理論根據,需要對其基本理論進行系統的闡述和總結。本文從環形諧振子出發,詳細地探討了關于半球諧振陀螺的幾個基本理論問題,通過對這一系列理論問題的闡述,建立了從諧振子動力學理論到參數激勵,再到信號處理理論的半球諧振陀螺基本框架。

1 環形諧振子的動力學方程

環形諧振子是半球諧振子在二維空間中的簡易模型,由于兩者均具相同的四波腹振型,且該振型下具有相同的動力學特性,因此為了簡化模型,可用環形諧振子的模型研究半球諧振子的唇緣。為了更好地闡述半球諧振子的動力學特性,我們首先對環形諧振子的動力學方程進行推演。

假設環形諧振子為半徑為R的不可拉伸環,且在自身平面內以角速度Ω旋轉。v和w分別為諧振子微元在切向和徑向方向的位移。

則根據彈性力學理論可以得到環形諧振子微元的動能T和勢能P[1]：

(1)

式中,ρ、S、E和I分別為環的材料密度、環的截面積、楊氏模量和橫截面相對彎曲軸的慣性矩。

則拉格朗日算子可寫為

(2)

為了獲得環形諧振子的動力學方程,需要使用哈密頓原理(最小作用量原理),使系統的運動積分取最小值,則可以得到：

(3)

通過對式(3)進行全導數處理,得到等效的偏微分方程：

(4)

這是自由環的運動方程。為了簡化模型,此處我們假設轉動角速度較小且無角加速度。如果環受到外加驅動力的作用,則需要將單位載荷在切向和徑向上的分量pv和pw添加到自由環的運動方程中。簡化后能夠得到理想彈性不可拉伸環的動力學方程

2w(4)+w″)=(pw″-pv′)/ρS

(5)

此為環形諧振子的受迫振動。倘若進一步考慮滿足非彈性變形的線性損耗,則環形諧振子的動力學方程需要寫為

(6)

其中,ξ為阻尼因子,同品質因數的關系是Q=1/(ω0ξ),ω0為固有振動頻率。

根據對稱性,將諧振子2階徑向振動位移w(φ,t)=p(t)cos2φ+q(t)sin2φ代入動力學方程中,容易得到環形諧振子的進動因子為[3]

求得的進動因子為負,說明駐波進動方向與旋轉方向相反。進動因子的絕對值限于1,說明儀器殼體在旋轉過程中,駐波的旋轉角度要小于陀螺基座的旋轉角度。因此利用進動因子,在確定駐波相對儀器殼體(載體)的位置就可以得到有關陀螺基座在慣性空間轉動的角度信息。

2 半球諧振子的動力學方程

相較于環形諧振子,半球諧振子可以認為是由無數直徑不同的環形諧振子所組成,但這些環形諧振子之間的形變和應力需要滿足薄殼彈性力學的束縛。

為了獲得半球諧振子的動力學方程,并計算得到相關的振動頻率和進動因子,以期對實際應用中的陀螺提供理論指導,首先需要建立彈性球殼模型,得到振動位移不同分量間的限制條件。

如圖1所示,建立與半球殼固聯的坐標系。

圖1 球坐標系中的半球球殼Fig.1 Hemisphere shell in spherical coordinates

根據彈性力學理論,可以得到不可拉伸半球薄殼的中面法向應變和切向應變分別為[4-5]：

(7)

(8)

假設半球球殼不可拉伸,因此令法向應變為零可以得到不同角θ處微元間的關系函數,又稱為瑞利函數[6]：

(9)

該函數制約了半球殼上不同微元位移間的關系。

因此,根據對稱性容易得到半球諧振子的2階振動位移[1,6]：

(10)

至此,得到半球諧振子的2階振動中不同θ角的圓環薄殼間的限制條件。

為了進一步闡述半球諧振陀螺的工作機理,在此以布勃諾夫-加繆爾金和正則方程兩種方法對陀螺的進動和振動頻率進行推導。

2.1 布勃諾夫-加繆爾金法

根據振動位移,可以寫出微面元的具體位移：

=kpp(t)+kqq(t)

(11)

則根據布勃諾夫-加繆爾金法(即諧振子在兩種正交波形疊加振動下保持能量不變)可以得到關系式[1]：

(12)

其中,F為各質點所受的合力。

代入科里奧利力、離心力并假設外載荷為0,則可以將積分展開為(ω0為固有振動頻率)：

(13)

V2(θ)+W2(θ)sin2θ)sinθdθ

解得振動頻率和進動因子分別為：

(14)

(15)

這種方法主要用到諧振子振動的駐波特性,能夠快速得到較為精確的動力學方程[7]。

2.2 正則方程法

在分析力學中,通常可以采用拉格朗日方程或者哈密頓方程等一系列正則方程對復雜的動力學問題進行求解。這類方程所采用的坐標系或者描述方式不同,使得它們的表達形式迥然不同,但由于所表述的物理本質完全相同,因此可以取一對半球諧振陀螺的動力學特性進行分析。

在此,采用拉格朗日方程進行分析,因為它形式較為簡單。類似于對環形諧振子的推導,為了獲得拉格朗日函數,需要對半球諧振子球殼的動能和勢能進行描述。

根據彈性理論可以得到薄殼的動能和勢能(其中θ1和θ2分別為底端角和頂端角):

(16)

代入位移公式和應力可以將動能和勢能簡化成形如：

(17)

式中,

則可得拉格朗日函數

在不考慮阻尼的影響下,可寫出諧振子振動的動力學方程：

(18)

將拉格朗日函數代入式(18),展開后可得到：

(19)

從表1的計算結果可以看出,底端角的變化無論是對振動頻率還是進動因子,影響都是非常小的；對比而言,頂端角的微小變化就會引起頻率和進動因子的巨大變化,因此,為了提高諧振子的抗沖擊能力,同時又不影響其振動特性,可以考慮嘗試在球殼根部設計適當的圓角,以達到限制陀螺的一階振動來抵抗外部沖擊的效果,同時也不對半球諧振子的振動特性產生較大的影響。

表1 不同低端角和頂端角對頻率和進動因子的影響

除此之外,還可以看出半球諧振子的進動因子要小于環形諧振子的進動因子,其理論方面的原因主要來自于振動所必須的幾何限制條件(式(9)和式(10))。理論上具有較大進動因子的環形諧振子應該是最具有潛力的諧振子,但是由于其沒有支撐,在實際應用中我們最終選取了半球狀諧振子作為陀螺諧振子。

3 諧振子的參數激勵及其穩定性

在推得諧振子的動力學方程之后,如何實現其穩定工作是接下來需要解決的問題。在外界載荷的驅動下,為實現諧振子穩定振動且能夠被外接信號控制,需要對其參數激勵理論進行深入的研究。

參數激勵是借助圍繞在諧振子唇邊邊緣的環形電極實現的,通過對參數激勵的研究可以尋求一種實現系統穩定的激勵參數。設諧振子和環形電極間的電壓為V=V0coslt,電壓頻率l接近諧振子的固有振動頻率ω0。

為了簡化計算,在此以環形諧振子為例,假設施加于諧振子上的切向電場分量為零,同時將其法向分量按位移w的冪指數展開,由于僅考慮陀螺的線性工作區域,且由于位移相較于環形諧振子的半徑而言可以忽略不計,在此取一階精度近似展開為：

其中,L為諧振子和電極的高度,ε0為真空介電常數,d0為未振動時諧振子同電極間的間距。由于pw的展開項中第一項為不變量,主要影響諧振子的零階振動,因此在考慮諧振子二階振動的情況時,可以僅僅取一階小項進行分析

(20)

圖2 環形諧振子二階振動的速度關系示意圖Fig.2 The schematic diagram of the point velocity in the 2nd order mode

由于主要研究二階振動,圖2所示為二階環形諧振子質點間的速度關系示意圖,其中黑色部分和紅色部分分別為質點方位角φ處質點的速度和分速度,根據0°和45°方向的振動相互影響合成,可以將環形諧振子的動力學方程(6)的解寫成如下形式(w(t,φ)為任意質點的徑向速度):

w(t,φ)=p(t)cos2φ+q(t)sin2φ

(21)

其中,p(t)和q(t)分別為方位角為0°和45°方向振動的振幅。

除此之外,通過將速度進行傅里葉展開,并結合二階振型的幾何特征,也可以輕易得到式(21)。

將式(20)和式(21)反代回環形諧振子的動力學方程中,并使用布波洛夫-加繆爾金法,可以得到：

(22)

(23)

代入式(22)后取一個振動周期的平均值之后,可以得到描述慢變量函數的方程組：

(24)

在無轉動角速度情況下,Ω=0時,慢變量方程組(24)的平面穩定區域的邊界方程為[1,8-9]：

(25)

圖3 穩定區域邊界Fig.3 Stable area boundary

利用極小值點坐標可以算出優化的激勵參數(電極高度為h)：

(26)

在該參數V=V0coslt激勵下,諧振子將處于穩定振動。

即當系統激勵參數位于穩定振動區域內時,有

那么任何解均是呈指數衰減,提供適當的反饋激勵信號即可維持諧振子駐波振動。

而對于系統激勵參數位于不穩定振動區域時,有

將會出現：當激勵信號振幅大于V0時,振動將逐漸增大且不穩定,如果沒有某種對振幅的限制方式,那么振幅將不可控；當激勵信號振幅小于V0時,諧振子將無法振動。

因此基于優化的激勵參數,可以嘗試通過施加適當的反饋信號使得諧振子穩定的工作,這可能在陀螺的實際應用中具有重要的指導意義。

4 半球諧振陀螺信號理論

在陀螺中,諧振子駐波被穩定控制的情況下,我們的主要任務是測量出角速度。

首先,從第2節中進動理論的推導過程中,容易得到,被激勵振動的諧振子振動過程可以表述為

w(φ,t)= (a*coslt+b*sinlt)cos2φ+

(m*coslt+n*sinlt)sin2φ

(27)

該振動是必須滿足如下條件的駐波[8-9]：

(28)

利用式(24)進行類似于參數激勵穩定性的推導,在優化的激勵參數驅動下,當存在轉動角速度情況下,Ω≠0時,有：

(29)

此時將式(29)代入式(22)可以解出振動位移

cos(lt-α)cos2(φ-?)

(30)

因此,諧振子二階振動過程中,相隔45°的2個傳感器,采集到的信號為[6]:

(31)

通過信號解調之后,略去lt項,信號可表述為:

(32)

通過信號測量和解調,能夠得到相位角?(t)

(33)

進而通過進動因子推算出角速度Ω(t)

(34)

基座的轉角Δψ

(35)

至此,通過式(33)、式(34)和式(35)可以測算出系統的轉動角速度。

5 結論

本文利用基本假設對半球諧振子的幾個基本理論問題進行了推導和總結,包括環形諧振子的動力學方程、半球諧振子的進動特性、參數激勵的穩定性問題、信號采集與處理的方法等,從諧振子的振動、穩定性和后端信號三個方面,系統地構建了半球諧振陀螺的基本理論框架,無論是對半球諧振陀螺理論的構建,還是對未來實際生產的指導,均具有重要的意義。同時,由于本文旨在建立基本的理論框架,在多處進行了模型簡化,例如假設角速度較小且離心力可以忽略,未考慮溫度等其他因素對半球諧振子振動的影響,電驅動信號僅取了一階精度等,而這些模型簡化將會在陀螺實際工作過程中使問題的研究更加方便簡潔,具有較大的工程應用價值。在后續系列中我們將深入研究諸如基本假設或者被忽視的因素在陀螺理論和實際生產中所產生的巨大影響。

[1] Волновой.твердотельныйгироскоп[M].Hayка, 1985：1-20.

[2] 代成龍,皮德常,方針,等.半球諧振陀螺儀壽命的一種長周期預測方法[J].宇航學報, 2015, 36(1): 109-116.

[3] 樊尚春, 劉廣玉, 王振均.變厚度軸對稱殼諧振子振型的進動研究[J].儀器儀表學報,1991(4)： 421-426.

[4]LandauLD,LifschitzEM.Theoryofelasticity(2ed)[M].NewYork:McGraw-Hill,1970.

[5]NiordsonFI.Theroryofthinshells[M].Berlin:SpringerVerlag, 1969.

[6]ChangCO,HwangJJ,ChouCS.Modalprocessionofarotatinghemisphericalshell[J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 1996, 33(9): 2739-2757.

[7] 王旭,方針,吳文啟,等.基于二維質點振動模型的半球諧振陀螺諧振子進動分析[J].中國慣性技術學報,2011,19(5):621-626.

[8] Ееармцн Н Е.Динамика неидеадьнойободочки и управдение ее колебаниями//Известия РАН.Механика твердого тела,1993(4)： 49-59.

[9] ЮрцнBE.Устойчивость колебаний волнового твердотельного гироскопа//ИэвестияAHCCCP.Механика твердого тела,1993(3)： 49-59.

Study of Basic Theories of Hemispherical Resonator Gyros

FANG Zhen, LIU Shu-hai, YU Bo

(The 26th Research Institute of China Electronic Technology Group Corporation, Chongqing 400060, China)

Based on several basic theoretical issues of hemispherical resonator gyros, the dynamic theory of resonator and hemispherical resonator, the control theory and signal processing theory have been systematically described and summarized.The basic theoretical framework of hemispherical resonator gyros, including the theories of resonant vibration, precession, stability of excitation system and signal processing method have been established to provide theoretical guidance for future specific projects.

Hemispherical resonator gyros; Resonator; Parametric stimulus; Signal theory

2017-01-23；

2017-02-28

科工局民用航天項目：半球諧振陀螺儀薄弱環節改進及可靠性提升技術研究(無編號)；十三五預研：微系統抗電離輻射加固技術及驗證研究(4140A11040105)；預研基金：高精度半球諧振陀螺及系統誤差機理研究(9140A0901215DZ36025)

方針(1962-),男,博士,研究員,主要從事半球諧振陀螺技術方面的研究。E-mail:hrg@sipat.com

10.19306/j.cnki.2095-8110.2017.02.013

TN384

A

2095-8110(2017)02-0072-07