網絡結構異質性對疾病傳播影響的初步研究

王寧寧

(中北大學 理學院， 太原 030051)

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網絡結構異質性對疾病傳播影響的初步研究

王寧寧

(中北大學 理學院， 太原 030051)

為研究網絡結構異質性對疾病傳播的影響，基于N-intertwined模型構建出連續時間的異質SIS模型，分析模型解存在唯一性條件和傳播閾值，并得到模型零解全局穩定性。由傳播閾值與鄰接矩陣譜半徑的關系，分析出網絡結構影響疾病傳播的主要因素。由ER隨機網絡和BA無標度網絡的數值模擬，驗證了疾病更容易在無標度網絡中傳播。通過數值模擬得出：當初始階段個體染病概率相同或某一社團存在局部傳染源時，無標度網絡社團之間的耦合強度不會影響最終染病人數，但會促進或抑制疾病傳播；而相對于無社團結構的無標度網絡，社團結構的存在會縮短染病人數達到平衡的時間。

復雜網絡；疾病傳播；結構異質；譜半徑

隨著復雜網絡傳播動力學的不斷發展，網絡模型成為研究信息、疾病傳播途徑的有效工具。對于疾病傳播，目前存在平均場方法、節點狀態對逼近法和滲流理論[1-3]等方法。除上述研究方法外，還有一類節點狀態建模法[4-5]，其經典模型是N-intertwined SIS模型。該模型通過網絡中個體染病概率的變化，反映網絡中染病者人數的增減。一般地，N-intertwined模型根據時間尺度可分為離散時間模型和連續時間模型。對于前者，單位時間內個體染病和恢復事件是否可同時發生存在爭議[5- 6]；而后者在某些文獻中弱化了網絡結構的異質性[4]，將個體染病概率等同于個體每個鄰居對其傳染率的期望，這顯然是對個體染病概率的不精確估計。因此，本文綜合兩種建模方式的優點，建立了連續時間上體現網絡異質性的常微分方程模型，并以此作為本文網絡疾病傳播的基本工具。

在網絡拓撲結構方面，不同類型的網絡對疾病傳播也具有不同的影響。以隨機網絡為例，當節點間連邊概率固定時，網絡中節點度分布服從泊松分布[7]。然而，對于無標度網絡而言，節點度分布服從冪律分布。這就使得在節點總數、平均度等拓撲參數相同時，網絡結構存在明顯的異質性。僅對無標度網絡而言，當基本參數相同時，其網絡內部還有可能存在社團結構，使得部分節點內部連接稠密而外部連接稀疏，這些結構差異都有可能改變疾病在網絡中的傳播特性。本文從數學分析角度出發，建立異質網絡疾病傳播的SIS模型，通過分析得出隨機網絡和無標度網絡對疾病傳播的影響。并通過數值模擬驗證隨機網絡和無標度網絡疾病傳播的差異，分析耦合強度不同的社團結構對疾病流行速率的影響，排除無效預防策略，給出減少染病總數有效的預防策略。

1 異質網絡SIS模型的建立及分析

建立異質網絡SIS模型，其中節點的狀態分為兩種：易感狀態I和染病狀態S。通過該SIS模型研究其染病概率及染病人數I的變化。設λ,μ分別為單位時間內疾病沿一條邊的傳染率和個體恢復率，將pi(t)記為t時刻節點i的染病概率，N為網絡規模[8]。根據Mieghem[4]和Valdano[5]等的建模思想，可知每個節點染病概率的變化與自身疾病的恢復和鄰居節點的傳染存在必然聯系。由此得到如下SIS模型：

(1)

其中A是網絡鄰接矩陣。假設網絡中節點最小度不小于2，則系統(1)的展開式為

(2)

(3)

其中：

由于

(4)

所以，系統(1)的矩陣形式為

(5)

(6)

易知， f (t,p)是G?R×Rn的連續函數，且f關于p滿足局部Lipschitz條件:

對于?(t,p1),(t,p2)∈G0，存在P0(t, p0)∈G使得

成立。

簡要的證明過程如下：

將 f (t,p1), f (t,p2)分別代入上式,得到

(7)

(8)

由于p1,p2都是p0領域內的兩個向量，所以必然存在依賴于p0的L,使得L‖p2-p1‖=‖u-p1‖成立。于是由以上不等關系可得

(9)

其中，Lp0=2+μ+L。

綜上所述，系統(1)滿足解的存在唯一性條件。接下來，通過分析系統的線性部分

(10)

得到疾病的傳播閾值。由系統(2)可知，對任意染病概率和染病率存在

證明

區間U={(p1,p2,…,pn)|0

通過適當放縮，可知

1) 當ki是奇數時，

2) 當ki是偶數時，

因此，線性系統(10)零解局部穩定性與系統(1)相同。即原點附近初始條件相同時，線性系統染病人數趨于零，必然能得到系統(1)染病人數也趨于零。令ρ(-μE+λA)<0，則傳播閾值為：

(11)

將系統(1)作為系統(10)的擾動系統，擾動項為

如果兩個系統零解的穩定性相同，只需證明

(12)

對歐式范數而言，

任取上式中的一項

綜上所述，系統(1)與系統(10)零解的局部和全局穩定性均相同。由文獻[9]可知，隨機網絡和無標度網絡中鄰接矩陣譜半徑的估計值分別為

(13)

當網絡規模較大且平均度相同時，無標度網絡中的疾病傳播閾值更有可能小于隨機網絡，這就降低了疾病在無標度網絡中的傳播條件，使得疾病更容易在無標度網絡中傳播。此外，對無標度網絡而言，其內部存在獨有的社團結構。這種結構內部連接稠密而外部連接稀疏，如圖1所示。S.Fortunato等在研究社團結構時，給出了描述節點社團內外度劃分混合參數μ的定義[10-11]

(14)

圖1 無標度網絡中有無社團結構的差異

2 異質網絡SIS模型數值解及其分析

本節進行3組對比試驗，分別研究網絡結構類型、社團耦合強度和染病個體分布對染病人數和變化速率的影響。

2.1 隨機網絡和無標度網絡疾病傳播特性分析

在以下數值分析中，規定實驗網絡規模為1 000，平均度〈k〉=20且無標度網絡冪律分布指數相同，含有社團結構的LFR基準圖[10-12]中社團規模也相同。在上述基礎上，先進行第一組對比實驗，即ER隨機網絡和BA無標度網絡中疾病傳播的研究。通過隨機構造以上兩種網絡，得到了平均度相同時的譜半徑結果，如圖2子圖。

圖2 閾值介于隨機網絡和無標度網絡閾值 條件之間時染病人數的變化，其中子圖是 平均度相同時隨機網絡與無標度網絡的譜半徑

由模擬結果可知：平均度相同時，隨機網絡譜半徑的確要比無標度網絡譜半徑小。因此，當恢復率和染病率之比介于兩者譜半徑之間時，推斷疾病有可能在隨機網絡中逐漸滅絕，而在無標度網絡中傳播。為驗證這一推斷，對系統(1)進行數值模擬，不妨設初始階段個體染病概率全部相同，染病率和恢復率對隨機網絡滿足條件(10)，結果見圖2。由結果可知：盡管染病人數占總人數的20%，隨機網絡中的染病數量仍然可以趨近于0。但是無標度網絡中染病人數大約占到了85%。這也證明了上述分析的正確性。

2.2 無標度網絡中社團結構對疾病傳播的影響

對于無標度網絡而言，網絡中的社團結構雖然不會直接影響傳播閾值，但其仍起到不可忽視的特殊作用。接下來進行第二組對比實驗，首先研究平均度、節點度、染病概率和社團規模冪律分布指數等參數相同時，混合參數μ=0.1～0.8時對染病數量的影響。當染病率和恢復率超過或低于閾值條件時，得到數值結果見圖3(a)～(b)。由計算結果可以直觀看出：初始時刻個體染病概率相同時，不同混合參數μ對染病人數幾乎沒有影響，但染病人數變化率多少會受到影響。與圖2中結果相比，當疾病流行時，網絡中社團結構在一定程度上縮短了染病人數穩定所需時間，且耦合強度的增加會促進疾病的快速傳播；而當疾病逐漸滅絕時，社團耦合強度的增加會抑制疾病的過早滅絕。接下來，研究當網絡中僅存在局部傳染源時，社團結構對疾病傳播的影響。

圖3 初始時刻節點染病概率相同時，社團耦合 強度對疾病滅絕和傳播的影響

圖4 初始時刻僅存在局部傳染源時，社團耦合 強度對疾病滅絕和傳播的影響

在第3組對比實驗中，隨機挑選同一社團中度最大的幾個節點作為局部傳染源，研究混合參數對染病人數的影響。從數值模擬結果發現：混合參數μ對最終染病人數仍然沒有影響，但當疾病流行時，混合參數明顯改變了染病人數變化率。在混合參數由0.1變為0.8的過程中，染病人數的變化趨勢顯著加快，如圖4(a)所示。相反，當染病人數逐漸減少時，混合參數對染病人數變化起到了一定抑制作用，如圖4(b)所示。相同條件下，對無社團結構的局部傳染源進行數值分析，發現無論耦合強度大小，社團結構的存在縮短了疾病流形或滅絕的時間，見圖5。綜合而言，混合參數μ不會改變最終染病人數的數量，但其數值的增加會促進疾病傳播或抑制疾病消亡的速度。

圖5 初始時刻僅存在局部傳染源時，不存在 社團結構的無標度網絡中染病人數變化過程

3 結束語

本文通過建立異質網絡SIS模型，證明了系統解的存在唯一性和疾病傳播的閾值條件,并得到零解的全局穩定性。以此為基礎，研究了隨機網絡和無標度網絡疾病傳播閾值的差異。通過數值模擬發現：當初始個體染病概率相同或某一社團出現局部單一傳染源時，混合參數μ均不會影響染病人數，但是會改變染病人數的變化率。相對于無社團結構的無標度網絡，無論耦合強度多大，社團結構的存在都會縮短疾病傳播的時間。因此，對無標度網絡而言，適當減弱各個社團之間的耦合強度或破壞存在的社團結構可以減慢疾病的快速蔓延，為控制疾病傳播策略的制定贏得時間。但在不改變閾值條件時，上述預防策略不能從根本改變最終的染病人數[13-14]。為得到有效抑制疾病傳播范圍的方法，需要尋找降低網絡譜半徑或改變網絡拓撲類型的預防策略，其中重視個體自適應性或適當隔離高危人群就是有效途徑[15-17]。

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(責任編輯 劉 舸)

Primary Study About the Effect of Network Structure Heterogeneity on Epidemic Spread

WANG Ning-ning

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

In order to study the effect of network structure heterogeneity, an epidemic SIS network model was established based on the N-intertwined model. Subsequently, we proved the existence and uniqueness of solution and obtained the epidemic threshold, and then the globally asymptotically stability of zero solutions was also concluded. From the relationship between the threshold and the spectral radius of network, we studied out the main reason about the influence of the network structure on epidemic spread. Through the simulation of the ER and BA network, the easier spread of epidemic was verified in the BA network. When the infection probability is equal to each individual or there are some local infection sources in one community, the coupling strength of communities is irrelevant to the final number of patients, but will promote or restrain the spread. Compared with the scale-free network without communities, the existence of communities is beneficial to reduce the time needed to balance.

complex network; epidemic spread; structure heterogeneity; spectral radius

2017-01-16

國家自然科學基金資助項目(11331009)

王寧寧(1991—),男，河北泊頭人,碩士研究生，主要從事復雜網絡研究，E-mail:nnwangnuc@foxmail.com。

王寧寧.網絡結構異質性對疾病傳播影響的初步研究[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(4):121-126.

format：WANG Ning-ning.Primary Study About the Effect of Network Structure Heterogeneity on Epidemic Spread[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(4):121-126.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.04.020

O175;O41

A

1674-8425(2017)04-0121-06