船用汽輪機轉子盤軸耦合振動特性研究*

孫原理, 李兆俊

(海軍裝備研究院 北京,100161)

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船用汽輪機轉子盤軸耦合振動特性研究*

孫原理, 李兆俊

(海軍裝備研究院 北京,100161)

基于小長徑比建模理論，建立了盤軸耦合轉子的有限元模型，并對采用工程實際的斜切方式和輪盤單元等不同建模方法下船用汽輪機轉子的振動特性進行了分析,給出了較為系統的、適用于小長徑比、短粗轉子等結構的建模方法對轉子系統振動特性的影響規律。不同的建模方法會對轉子盤軸耦合振動特性計算結果有顯著影響。輪盤單元會使得轉子軸承系統出現附加的振型，表現為輪盤與轉軸的耦合模態振型，輪盤單元建模的計算方法能準確描述盤軸耦合轉子的振動特性。研究結果表明，對于厚度較大的輪盤，輪盤對轉子耦合振動的影響較小，工程常用的斜切建模會引入附加剛度，引起較大求解誤差，且這種誤差隨著輪盤厚度的減小而逐漸降低。

盤軸耦合； 有限元模型； 輪盤單元； 振動特性

引 言

艦船動力設備中的齒輪、汽輪機、燃氣輪機等結構中存在小長徑比、短粗轉子，常規轉子動力學研究中轉子部件的梁假設在上述情況下不再適用，故對于這些小長徑比、短粗轉子的建模還存在問題[1-3]；同時在這些轉子中存在轉子輪盤與轉子轉軸之間的相互耦合，振動特性較為復雜。目前國內外已有針對動力設備中轉子動力學特性的相關研究，并形成了許多可行計算分析方法和相關的軟件[4-5]，如傳遞矩陣法[6-8]、有限元法[9-10]、子結構法[11]、結構綜合法[12-13]和假設模態法[14]等。其中，Chun等[14]利用子結構綜合法和假設模態法分析了軸和葉輪系統的耦合振動?？偟膩碚f，對于轉子盤軸耦合振動問題的耦合建模方法和分析方法研究還尚不成熟。因此，迫切需要針對轉子盤軸耦合振動的相關研究問題，研究考慮轉子盤軸耦合動力學的建模方法和分析方法，給出較為系統的、能完全適用于小長徑比、短粗轉子等結構和工況特點的建模、計算分析方法，為動力設備中轉子盤軸耦合振動特性研究提供技術支撐。

基于小長徑比建模理論[15]，筆者將建立盤軸耦合轉子的有限元模型，并分析采用實際的工程斜切方式建模和輪盤單元等不同建模方式下船用汽輪機轉子的振動特性。

1 盤軸耦合轉子建模

輪盤是典型的小長徑比轉子，基于小長徑比建模理論，筆者研究了盤軸耦合轉子的建模計算方法，給出了盤軸耦合轉子的輪盤單元有限元模型和單元的運動方程。

對于多自由度轉子運動方程如下

其中：x為描述轉子結構的廣義坐標向量；ω為自轉角速度；實對稱矩陣M，C，和K分別為整個系統的質量、阻尼和剛度矩陣；Kω為由附加離心力造成的系統剛度矩陣；實反對稱陣G，Cr分別為陀螺矩陣和旋轉阻尼矩陣，其中旋轉阻尼矩陣主要與發生在該系統的旋轉部件的粘性耗散有關；Fn和Fr分別為由非旋轉力和不平衡引起的激勵力。

如果垂直于z軸的轉子在變形時保持水平，則彎曲運動可以通過軸心坐標X，Y轉換和旋轉角位移Φx,Φy進行描述,如圖1所示。沿Z軸方向的位移和旋轉角位移Φz分別為軸向和扭轉運動。

圖1 轉子坐標系Fig.1 Coordinate system of rotor

假定轉子和輪盤為剛體，它們對轉子彎曲運動的影響可以通過拉格朗日坐標系中的X,Y方向位移和Φx,Φy旋轉角位移表示?？紤]到軸向和扭轉運動，每個節點有3個平動自由度和3個轉動自由度。如果n是整個有限元離散的節點數，那么需要6n個自由度來描述整個轉子。

在動力設備中，有些輪盤的長徑比較小，那么剛體假設就無法成立，因此，分析小長徑比轉子輪盤結構的變形時就必須增加一個額外的自由度。

由轉子軸向力和輪盤上熱拉伸引起的幾何附加剛度可以在剛度矩陣中K考慮，旋轉阻尼矩陣主要與發生在該系統的旋轉部件的黏性耗散有關。如果軸向和扭轉自由度與彎曲自由度能夠解耦，X,Y方向位移和Φx,Φy旋轉角位移可以被組合成復數位移Z=X+iY和復數角位移Φ=Φy-iΦx，這樣陀螺矩陣和旋轉阻尼矩陣可以用實對稱陣來表達。

1.1 輪盤單元有限元建模

在動力設備中典型結構就是輪盤。圖1給出了坐標系的變換，通過坐標系的變換可以得到在慣性系和固定在輪盤單元上的隨動參考坐標系之間點坐標的關系式

(2)

其中:u,v,w分別為輪盤中間平面上任一點P0在徑向、切向和軸向位移分量；輪盤的極坐標在Cξηz坐標系里用r,β和z表示；P為P0變形后的點。

涉及的旋轉變換矩陣為

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

在方程(2)中忽略由幾何非線性所引起的非線性問題，并將相關的三角函數用泰勒級數展開，轉角有如下關系式：

(4)

P點在慣性參考坐標系中變為

(5)

式(5)給出了P點在慣性參考系CX′Y′Z′中運動的描述。未知量u,v,w是轉子在t時刻P0點位置c,?,z的函數，而轉角ΦX′,Φy,Φz和位移Xc,Yc,Zc僅和t有關。作為一個變形體，輪盤的動態描述可以用如下一組拉格朗日坐標來表示。

輪盤剛體運動

(6)

輪盤變形

(7)

定義形函數來描述P點位置r,?，z的函數u(r,?,z,t)、w(r,?,z,t)、v(r,?,z,t)，輪盤被分成如圖2所示的環狀單元，位移場u,w,v為

(8)

圖2 輪盤單元示意圖Fig.2 Schematic diagram of disk element

1.2 單元運動方程

輪盤單元如圖2所示。圖中：h0,hi分別為半徑r0,ri的厚度。在獲得單元形函數之后，通過計算單元動能和勢能即可得到單元的運動方程，單元動能和勢能的計算如下。

(9)

其中：ρ為質量密度。

這樣就可以將位移場方程帶入方程(9)，從而獲得單元在拉格朗日坐標系下的動能。

單元的勢能一般包含兩部分：材料的彈性變形引起的勢能Ue和涉及到“幾何剛化效應”的勢能Ug。

(10)

廣義的應變向量ε可以從輪盤內的位移場中獲得

(11)

矩陣D通常表示單元的彈性性能，是輪盤厚度和材料特性的函數

(12)

2 盤軸耦合轉子動力學特性分析

由于轉子輪盤是典型的小長徑比轉子，且不能用常規的梁單元進行處理，振動過程中容易與轉子轉軸發生耦合作用，使得振動特性較為復雜。針對這一問題，本研究首先以簡單的單輪盤轉子為例，建模中采用實際的工程斜切方式建模，并將動力學特性計算結果和輪盤單元建模的計算結果進行了對比。在此基礎上，針對實際汽輪機轉子模型提出了轉子輪盤的3種不同建模方法，并對這3種不同建模方法下的實際汽輪機轉子動力學特性進行了分析。

筆者提出的3種轉子輪盤建模方法分別為直切建模、斜切建模和輪盤單元建模。其中，直切建模是將輪盤部分全部作為集中質量和轉動慣量加在轉子-軸承系統相應的節點上；工程中常用的45°斜切建模是將圖3中虛線內部分作為梁單元建模，其余部分作為集中質量和轉動慣量加于轉子-軸承系統相應節點上。而第3種輪盤單元建模是基于1.1節的輪盤單元有限元建模理論。

圖3 輪盤單元斜切建模示意圖Fig.3 Schematic diagram of disk oblique cutting model

2.1 輪盤單元與斜切建模對單輪盤轉子動力學特性的影響

以單輪盤轉子模型為例，本節采用實際的工程斜切方式建模，并將其動力學特性計算結果和輪盤單元建模的計算結果進行了對比。圖4和圖5給出了斜切有限元建模和輪盤單元法有限元建模示意圖。

圖6給出了斜切建模軸系的前3階振型圖；圖7給出了輪盤厚度為5 mm時輪盤建模時的前3階振型圖；圖8給出了輪盤厚度為100 mm時輪盤建模時的前3階振型圖。

圖4 工程有限元建模Fig.4 Finite element model of rotor in engineering

圖5 輪盤單元有限元建模Fig.5 Finite element model of rotor in disk unit

圖6 輪盤單元斜切建模的振型圖Fig.6 Modal graph of disk oblique cutting model

圖7 輪盤厚度為5 mm時的振型圖Fig.7 Modal graph when the disc thickness is 5 mm

圖8 輪盤厚度為100 mm時振型圖Fig.8 Modal graph when the disc thickness is 100 mm

從圖6～8可以看出，當輪盤厚度(100 mm)較大時，輪盤剛度較大，彈性變形小，進而對轉子耦合振動的影響較??；當輪盤厚度(5 mm)較小時，輪盤對轉子振動的影響較大，轉子的振動為輪盤的振型與轉軸的振型耦合。

表1給出了隨著輪盤厚度的變化斜切建模1階臨界轉速和2階臨界轉速的偏差，其中轉子的直徑為400 mm。從表1中可以看出，隨著輪盤厚度的減小，輪盤單元建模與斜切建模計算得到的1，2階臨界轉速結果偏差也逐漸降低。當輪盤厚度較大時斜切建模的誤差較大，這是由于輪盤厚度較大時，采用斜切法建模中選取的直徑大于理論的等效直徑從而引入了一部分附加剛度造成臨界轉速偏高。

表1 不同輪盤厚度時兩種建模計算結果的偏差

Tab.1 Difference between two modeling methods in different disk thickness

直徑/mm厚度/mm1階臨界轉速/(r/min)2階臨界轉速/(r/min)1階臨界轉速/(r/min)2階臨界轉速/(r/min)1階臨界轉速偏差/%2階臨界轉速偏差/%0．2501005822225206299231188．192．660．225906033225176462230347．112．300．200806268225206646229576．031．940．175706532225326859228925．011．600．150606830225597102228453．981．270．125507173226097388228263．000．960．100407570226947732228502．140．690．075308036228388141229391．310．440．050208594230758649231340．640．260．025109270234689286235070．170．170．01259663237619669238000．060．16

從表1還可以看出，當輪盤厚度直徑比值為0.175時一階臨界轉速的誤差會達到5%，這類結構在實際工程中大量存在，如后續2.2節中汽輪機雙列復速級輪盤的厚度直接比為0.16，因此，輪盤單元的建模計算方法對于實際工程有很大意義。

2.2 不同建模方法下汽輪機轉子動力學特性分析

研究的實際汽輪機轉子模型，由一個雙列復速級和7個壓力級，兩個軸承組成。由于輪盤單元的不同建模方法對盤軸耦合轉子動力學特性的影響，因此，兩個軸承均采用線性化的8參數模型，且不同工況下軸承的8參數保持不變。

1) 直切建模。整個轉子總長2.2 m，劃分60個單元，建模中將雙列復速級和7個壓力級的輪盤部分全部作為集中質量和轉動慣量加在相應的節點上，兩個軸承采用8參數模型。汽輪機轉子的模型如圖9所示。

圖9 轉子有限元模型示意圖Fig.9 Schematic diagram of rotor finite element model

2) 斜切建模。整個轉子總長2.2 m，劃分60個單元，建模中將雙列復速級和7個壓力級的輪盤部分采用45 °斜切，其余部分作為集中質量和轉動慣量加在相應的節點上，兩個軸承采用8參數模型。汽輪機轉子的模型如圖10所示。

圖10 斜切建模轉子有限元模型示意圖Fig.10 Finite element model of rotor oblique cutting model

3) 輪盤建模。本節中采用直接對輪盤單元進行建模，將葉片部分作為集中質量和轉動慣量附加于相應的節點，軸承采用8參數模型，整個軸系總長2.2 m共80個單元，其中梁單元60個。圖11給出了模型示意圖。

圖11 輪盤建模轉子有限元模型示意圖Fig.11 Finite element model of rotor in disk unit

4) 3種建模結果對比。表2給出了3種建模方式下轉子盤軸耦合振動特性的計算結果。從表2中可以看出，但是斜切與輪盤單元建模結果相差不大。在直切建模中沒有把輪盤單元的剛度計算在內，因此系統的總剛度偏小，使得系統臨界轉速值偏?。幌喾?，把整個的輪盤單元均作為梁單元處理必然會使得附加剛度過大，在45°斜切建模中，整個輪盤單元只有一部分的剛度對系統有貢獻，45°斜切相交線的直徑外輪盤單元的剛度對總的剛度沒有貢獻。

同時由于汽機轉子的軸承剛度較小，1階模態振型表現轉子的平動、2階模態振型表現為轉子的錐動；此時，支承軸承剛度對臨界轉速的影響大于轉子結構剛度對其的影響。由于汽輪機各壓力級的輪盤厚度較小，因此，不同建模之間的誤差較小，這與2.1節單輪盤轉子的計算結果一致。

表2 3種建模臨界轉速結果

3 結束語

盤類零件本身的模態振型會引起輪盤和轉子轉軸發生耦合振動，使得對于典型的輪盤單元出現一些附加的振型，主要表現為輪盤軸系耦合振型。筆者提出的基于輪盤單元建模計算方法能準確描述盤軸耦合轉子的振動特性。當輪盤厚度較大時，輪盤對轉子耦合振動的影響較小；當輪盤厚度較小時，輪盤對轉子耦合振動的影響較大，轉子振動為輪盤振型與轉子振型的耦合。輪盤單元建模與斜切建模計算得到的臨界轉速結果偏差隨著輪盤厚度的減小而逐漸降低。

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*國家自然科學基金資助項目(51106035)

2015-03-09；

2015-05-22

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.02.017

TK14; TH113.1

孫原理，男，1983年10月生，工程師。主要研究方向為核動力工程。

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