對一個豎直軌道內圓周運動極值問題的探究

摘 要：針對小球沿豎直平面內的圓形軌道的變速圓周運動問題，探究了小球在運動過程中對圓周軌道斜向上的彈力在豎直方向的分力存在最大值的位置以及在小球運動的過程中圓形軌道不從地面上跳起的條件.

關鍵詞：豎直軌道；圓周運動；極值條件；不跳起

例題 如圖1所示，質量為 的立方體物塊放在水平地面上直立的兩塊光滑擋板之間剛好接觸，物塊的內部有一半徑為 的豎直光滑圓槽.質量為 的小球放在槽底，現給小球一個初速度 ，在小球做圓周運動的過程中物塊一直靜止在地面上，試求：若小球運動到軌道最高點時立方體物塊對地面的壓力剛好為零，則初速度應滿足什么條件？當 （ 為正整數且1≤ ≤5）時，對應的初速度分別為多大？

解析 只有小球運動到水平直徑上方軌道的某位置時，對立方體物塊彈力的豎直分力才能豎直向上，使物塊對地面的壓力減小，如圖2所示.設小球從最低點運動到與圓心連線跟豎直方向的夾角為 時，速度為 ，受到軌道的彈力為 ，由牛頓第二定律和向心力公式有

（1）

由機械能守恒定律有

（2）

聯立方程可得小球對軌道的彈力大小為

彈力的豎直分力大小為 ，即

（3）

當物塊對地面的壓力剛好為零時有 ；當小球運動到軌道最高點時 ，則 .由此得

（4）

所以 ， 為正整數且1≤ ≤5.

探討 雖然理論上算出小球運動到軌道最高點時物塊對地面的壓力剛好為零，但在實際上小球到達軌道最高點之前，物塊可能已經跳起，而題中指明物塊一直靜止在地面上.因此該題結果不完全正確，需分析小球到達軌道最高點或在小球到達最高點之前物塊一直不跳起的條件，下面從多角度進行探究.

一、若在小球運動過程中物塊始終不離開地面，則小球的初速度和二者的質量應滿足什么條件？

物塊始終不離開地面的受力條件是

≤

即 ≤

設 ，由均值不等式可知 有最小值，極值條件為 ，即 .

當 < 時， <1，則 ，即小球運動至與圓心連線跟豎直方向夾角為 時， 有最小值， ，則 ≤ ，

可得 ≤ . （b）

當 ≥ 時， ≥1，由于 ≤1，則當 時，即當 時，亦即小球運動到軌道最高點時， 有最小值， ，則 ≤ ，

可得 ≤ . （c）

例如，當 時， < ，由 ≤ 得初速度的最大值為 ，物塊剛好不跳起，此時小球的位置滿足 .又如，當 時， > ，由 ≤ 得初速度的最大值為 ，物塊剛好不跳起，此時小球的位置在軌道的最高點.

二、若在小球運動過程中物塊對地面壓力的最小值剛好為零，則小球的初速度和質量滿足什么條件？

物塊對地面的壓力最小值包括三種情形：若壓力的最小值大于零，則物塊不跳起；若壓力的最小值小于零，則物塊跳起；若壓力的最小值等于零，則物塊剛好不跳起.

對不等式（b）取等號，可知在小球運動過程中物塊對地面壓力的最小值剛好為零時小球初速度滿足的條件為

（5）

物塊剛好不跳起時小球的位置滿足

（6）

余弦函數 的最大值為 ，由此式可得質量關系為 ≤ ，這是（5）式成立的前提條件.

對于特殊情形，當 時，由（6）式得 ，由（5）式得 ，因此當 且 時，在小球運動到軌道最高點時，物塊對地面的壓力剛好取最小值且為零，則物塊一直沒有離開地面.

三、若小球運動到軌道最高點時物塊對地面壓力最小且一直不跳起，則初速度和質量滿足什么條件？

對不等式（c）取等號，可知小球運動到軌道最高點時物塊對地面的壓力為零的條件是 ，那么此時物塊對地面的壓力為零而且物塊一直不跳起的條件是 且 ≥ .由此可知原題的正確答案為： ， 取正整數且3≤ ≤5.

當 ≥ 時，有 ≥ 成立，所以，若小球運動到軌道最高點時物塊對地面壓力有最小值，而且物塊一直不跳起，則小球的初速度取值范圍是

≤ ≤ （d）

將式（3）變形為 ，豎直分力 的表達式是關于 的一元二次函數 ，由于 <0，則 圖象是開口向下的拋物線，有最大值，由對稱軸坐標公式 可知

（7）

這就是小球在初速度一定的情況下，彈力的豎直分力取最大值時小球與半徑的連線跟豎直線夾角的公式.小球在該位置時物塊對地面的壓力取最小值，但不一定為零，或者物塊有可能離開地面.

由式（7）可知，若 ，則當小球到達軌道最高點時物塊對地面的壓力剛好最??；對于初速度取值范圍 ≤ < ，小球做完整的圓周運動，當小球運動到軌道最高點之前的某個位置滿足 時物塊對地面的壓力最??；若 > ，則當小球到達軌道最高點時物塊對地面的壓力最小，不一定為零.而物塊是否離開地面，取決于二者的質量之比.

上述推論涉及到4個初速度的關系式，其含義各不相同，可簡要歸納如下：

1. ，是小球剛好能做圓周運動的條件，這是初速度的最小值；在此情況下物塊剛好不跳起的條件是 ，始終不跳起的條件是 ≥ .由 可知彈力的極值位置在 .

2. ，是小球運動到軌道最高點時物塊對地面的壓力剛好達到最小值的條件；物塊一直不跳起的條件是 ≥ .

3. （ ≤ ），是小球運動到軌道最高點之前時物塊對地面壓力的最小值剛好為零的條件，這是初速度的最大值，則物塊一直不跳起的條件是 ≤ （ ≤ ）.

4. （ ≥ ），是小球運動到軌道最高點時物塊對地面的壓力剛好為零的條件，這是小球初速度的最大值，則物塊一直不跳起的條件是 ≤ （ ≥ ）.

總之，當初速度一定時，物塊是否跳起與二者的質量有關.對于 ≤ ≤ ，極值位置公式為 ；對于 ≥ ，極值位置在軌道的最高點.當質量一定時，物塊是否跳起與小球的初速度有關.對于 ≤ ，極值位置公式為 ，若 ，則物塊剛好不跳起；對于 ≥ ，極值位置在圓軌道的最高點，若 ，則物塊剛好不跳起.

原題新解 小球運動到軌道最高點時物塊對地面的壓力為零的條件是 ，而小球在運動過程中到達軌道的最高點時物塊對地面壓力取最小值的條件是 ≥ ，由于物塊一直不跳起，則小球到軌道最高點時物塊對地面的壓力達到最小值而且為零，因此初速度同時滿足這兩式，由 ≥ 得 ≥ .這是小球在運動過程中對軌道的豎直壓力在軌道最高點時取最小值而且為零的質量條件.所以原題正確答案為： 且 ≥ ，即為： ， 取正整數且3≤ ≤5.可得具體數值為：若 ，則 ；若 ，則 ；若 ，則 .

拓展應用 若 或 ，則物塊對地面壓力的最小值各是多少？不跳起的條件為何？

解析 由于 < ，因此小球在到達軌道最高點之前時物塊對地面的壓力有最小值，可將 代入（7）式得出極值條件 .由（3）式可知 ，則物塊對地面的壓力最小值為 ，可知物塊剛好不跳起的條件是 ，那么物塊不跳起的條件是 ≥ .也可利用式（5）求物塊不跳起的條件.

由于 > ，因此小球運動到軌道最高點時物塊對地面壓力有最小值，此時 ，代入（3）式得 ，則物塊對地面壓力的最小值為 .可知物塊不跳起的條件是 ≥ .也可利用不等式（d）求物塊不跳起的條件.

對于以上各問題，解答思路的共同點是首先利用牛頓第二定律、向心力公式和機械能守恒定律推導出彈力在豎直方向的分力大小的關系式（3），然后在此基礎上利用不同的已知條件或不等式結論進行求解.

總之，在解題時要全面考慮小球的初速度、極值位置以及二者的質量關系，還要注意題中各種關鍵詞（如對地面壓力的最小值、壓力為零、壓力的最小值剛好為零；物塊不跳起、物塊剛好不跳起、物塊一直不跳起等）的含義.而有關物塊不跳起的條件包括兩方面，即速度條件和質量條件，還要考慮到極值位置.

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作者簡介：鄭金（1966年—），男，遼寧省朝陽市凌源市，大學本科，理學學士，高級講師，中國物理學會終身會員，《物理通報》第九屆編委（2013～2016年）。自2000年以來，在多種報刊雜志發表有關物理和數學方面的教育科研論文380余篇。參編教輔圖書2冊：《高考物理1.5輪》（2016年1月）和《手把手教你解高中物理題》（2016年5月）。

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