紙鉗子
——一種奇妙自鎖現象的研究

宋家瑋 陳 晨

(1. 南京師范大學教師教育學院,江蘇 南京 210000; 2. 南京市金陵中學仙林分校中學部,江蘇 南京 210000)

紙鉗子
——一種奇妙自鎖現象的研究

宋家瑋1陳 晨2

(1. 南京師范大學教師教育學院,江蘇 南京 210000; 2. 南京市金陵中學仙林分校中學部,江蘇 南京 210000)

本文是關于2016年IYPT賽題中紙鉗子的研究,探究了影響分開兩本交疊在一起的書所需要的臨界拉力的因素,從交疊深度、交疊頁數、紙的摩擦因數、厚度等主要影響因素進行定量分析．通過實驗進行理論驗證,最后得出結論即拉力越大,紙間的摩擦力越大,越難拉開．同時也發現紙鉗子是一種自鎖現象,通過對其研究也加深了我們對自鎖現象的理解,對高中物理教學也有一定的啟示和借鑒．

紙鉗子；自鎖現象；摩擦力

1 引 言

國際青年物理學家錦標賽(IYPT)以其別具一格的比賽形式和獨具特色的賽題而聞名世界,并且越來越受到中學物理教育的關注,對其賽題的理論和實驗研究可以幫助學生加深對相關物理知識的理解,同時賽題本身也可以作為高中物理實驗的重要補充,便于中學物理教師的資源開發．

本文探討的是2016年IYPT賽題“紙鉗子”,從理論和實驗兩個角度對其進行研究,通過研究進一步理解摩擦力的形成原因,并知道這也是一種自鎖現象．同時,在實驗的探索過程中,也提高了學生的實驗能力．

圖1 預實驗圖

2 現象介紹

紙鉗子的實驗現象比較明顯,將兩本紙質相同的書一次性交織一頁或若干頁,再將兩本書推在一起．用力拉住兩本書的書脊并嘗試將它們分開,兩本書會越拉越緊,需要很大的力才能將兩本書分開,如圖1．

2 理論探討

2.1 定性解釋

我們先對這個現象做一個較為定性的解釋,當兩本書交疊在一起后,由于厚度的變化,書產生的形變使得書頁在法向方向有合攏的趨勢,產生了摩擦力,由于摩擦力的作用使得兩書難以分開．拉力越大,法向的力也越大,使得兩書越難拉開．

圖2 模型示意圖

2.2 模型建立

首先進行受力分析,為了排除重力的影響,這里先考慮豎直方向放置的情況,書本受拉力和摩擦力,兩書交疊產生的傾角使得書有自動合攏的趨勢,在水平方向有一個正壓力,導致了摩擦力．在不考慮書頁彎曲的情況下,模型示意圖簡化為如圖2.

我們不妨假設紙與紙之間緊密接觸．臨界拉力產生在靜摩擦轉變為滑動摩擦的時候,我們取臨界時的摩擦因數為滑動摩擦因數．這里我們研究一種最為簡單的情況,單頁交疊．每本書有2M張紙,ε表示每張紙的厚度,μ表示紙之間的滑動摩擦因數,d表示書脊到交疊部分的距離,L-d表示交疊部分的長度,Tn表示第n張紙受到的拉力．(中間為第一張紙,向左右兩邊編號依次增大)

由幾何知識得第n張紙與豎平面的夾角為

(1)

根據受力平衡,紙的法向受到的力為

Nn=Tntanθn.

(2)

每一面紙受到的最大靜摩擦力為

fmax=μNn.

(3)

由此得到遞推

Tn-Tn+1=4μNn.

(4)

(5)

2.3 模型拓展研究

2.3.1 多頁交疊

(6)

2.3.2 模型的修正

在T的表達式中我們并沒有看到摩擦力與書本面積的關系,但是實際實驗中我們發現改變書本的面積(僅僅改變書的寬度,L不變),臨界拉力也隨著變化．在摩擦力作用面積很大的情況下,最大靜摩擦力需要加一個和面積有關的修正項,即Fs=μsN+CsA.

2.4 模型的分析

根據受力平衡，有

N=Ttanθ.

(7)

產生自鎖現象的條件為

T<μN.

(8)

μMε

(9)

在M、μ、ε、D都不變的情況下,L變大,T減小. 即當書脊到交疊部分的水平距離占據書長的比例相同時,書越長,拉力越小．同樣,定義每頁紙占總厚度的比例為無量綱量時,可得在總厚度相同的情況下,M越大,拉力越小．

3 實驗探究

3.1 實驗器材

A4紙和拉力傳感器，為了方便使用力傳感器,我們制作了若干寬度為20mm、長為297mm,頁數不等的實驗書,如圖3、圖4所示．(事先測得紙的厚度為0.1mm,滑動摩擦因數μ=0.3)，

圖3 實驗書

圖4 拉力傳感器

3.2 實驗過程

將實驗書的兩端固定在力傳感器上,由于分開兩本書的臨界拉力是書所受摩擦力從最大靜摩擦突變為滑動摩擦的瞬間,所以力傳感器上的示數有一個突變點,如圖5所示,我們取突變點的示

圖5 拉力傳感器圖像顯示

數為臨界拉力的值．另外由于在拉力很小的時候,紙會在自身重力作用下散開,故我們在法向施加了一定的力,即給T*賦值．

實驗1:豎直情況下臨界拉力與紙張頁數的關系.

實驗參數:L=16cm,d=1cm,μ=0.3,ε=0.1mm，實驗數據見表1.

表1 豎直情況下臨界拉力與紙張頁數的關系

實驗2:豎直情況下臨界拉力與書脊到交疊部分的距離d的關系.

實驗參數:2M=50,L=16cm,μ=0.3,ε=0.1mm，實驗數據見表2.

表2 豎直情況下臨界拉力與

實驗3:豎直情況下臨界拉力與交疊頁數的關系(s為一次交疊的頁數)

實驗參數:2M=72,L=16cm,μ=0.3,ε=0.1mm，實驗數據見表3.

表3 豎直情況下臨界拉力與交疊頁數的關系

在水平放置的情況下,則需要修改遞推公式,由于我們取中間一頁為n,則上下的遞推公式形式不同，修改為

(10)

可同樣用上述方法求解,只是上下兩部分的T*不同,最下面一張紙所受T*主要是由重力造成的．

3.3 實驗分析

由于力太小,在豎直放置情況下紙會散開,故每一組都在法向施加了一定的力．

(1) 豎直情況下臨界拉力與紙張頁數的理論值與實驗值對比(T*=0.1N)，實線為理論值，圓點為實驗值.

圖6 臨界拉力與紙張頁數的理論值與實驗值對比

(2) 豎直情況下臨界拉力與書脊到交疊部分的距離d的理論值與實驗值對比(T*=2.5N).

圖7 臨界拉力與書脊到交疊部分的距離d的

(3) 豎直情況下臨界拉力與紙張頁數的理論值與實驗值對比,實線為理論值,圓點為實驗值．(T*=5.8N．在力過大時,由于紙張打滑所以有偏差)

圖8 臨界拉力與紙張頁數的理論值與實驗值對比

3.4 實驗結論

(1) 臨界拉力隨紙張的增加而增大．

(2) 臨界拉力隨書脊到交疊部分的水平距離的減小而增大,且變化趨勢先快后慢．

(3) 臨界拉力隨一次性交疊頁數的增加而減小．

4 結論和啟示

本實驗實驗過程簡單易行,兩本看似不起眼的書,卻可以承受我們難以想象的巨大的力．這一實驗可作為高中力學實驗的重要補充,加深學生對摩擦力、對自鎖現象的理解;另一方面,也可以豐富教學內容,激起學生探索物理的興趣,培養他們的探究能力．

1 潘志民，楊景，廖星覺.關于拉開兩本交叉重疊的書所需力的研究[J].物理教師,2015(2):63-65.

2 薄宏超.挖掘高考熱點，解密自鎖現象[J].湖南中學物理,2013(3):65-66.

3 H. Alarcon, T. Salez, C. Poulard, J.-F. Bloch, E. Raphael, K. Dalnoki-Veress, F. Restagno. The enigma of the two interleaved phonebooks[J]. 2015,arXiv:1508.03290

4 D. Van Domelen. Showing Area Matters: A Work of Friction. Phys[J]. Teach，2010，48(1)：28-29.

2016-12-21)