多角度處理一道靜摩擦力問題

涂德新

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué)，江西 南昌 330046)

多角度處理一道靜摩擦力問題

涂德新

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué)，江西 南昌 330046)

本文對一道有關(guān)靜摩擦力的問題進行多角度處理,首先給出典型的錯誤的解法,通過數(shù)學(xué)方法分析后指出錯誤的原因,然后給出多種簡潔直觀的方法進行求解,并將該問題進行拓展,以期達到融會貫通的目的．

靜摩檫力;傾角;法向量;投影面積;分解;等效重力

題目.如圖1所示,在水平桌面上放置一個正方形薄木板abcd,在木板的正中間放一個質(zhì)量為m的木塊．先以木板的ad邊為軸緩慢將木板轉(zhuǎn)θ角,再以ab邊為軸將木板向上緩慢轉(zhuǎn)θ角．整個過程中木塊沒有滑動,則轉(zhuǎn)動后木塊受到的摩擦力大小為

圖1

錯誤解法:關(guān)鍵是求出木板轉(zhuǎn)動后與水平桌面間的二面角，如圖2所示.

圖2

于是木塊受到的摩擦力大小為

錯誤原因:誤認為兩次轉(zhuǎn)動后,b點與d點等高．

下面給出幾何分析過程.首先分析一下坐標系旋轉(zhuǎn)后的坐標與原坐標之間的變換關(guān)系．

圖3

如圖3所示,坐標系O-xyz繞y軸沿逆時針轉(zhuǎn)θ角變?yōu)镺′-x′y′z′,某點P在坐標系O-xyz中的坐標為(x,y,z),在坐標系O′-x′y′z′中的坐標為(x′,y′,z′),由幾何關(guān)系可知坐標變換公式為

x=x′cosθ-z′sinθ，

y=y′，

z=x′sinθ+z′cosθ.

設(shè)正方形abcd的邊長為l,如圖4所示,平面1繞軸ad向上轉(zhuǎn)θ角變?yōu)槠矫?,平面2繞ab邊向上轉(zhuǎn)θ角變成平面3,平面2所在的坐標系為O′-x′y′z′,分析有平面3中的正方形abcd在坐標系O′-x′y′z′中的坐標為

圖4

a(0,0,0),b(l,0,0)，

c(l,lcosθ,lsinθ),d(0,lcosθ,lsinθ).

再轉(zhuǎn)換成在坐標系O-xyz中的坐標為

a(0,0,0),b(lcosθ,0,lsinθ)，

c(lcosθ-lsin2θ,lcosθ,lsinθ+lsinθcosθ),

d(-lsin2θ,lcosθ,lsinθcosθ).

可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)兩次之后zb=lsinθ以及zd=lsinθcosθ,b點與d點顯然不等高．

解法1:向量分析法.用數(shù)學(xué)方法求出旋轉(zhuǎn)兩次后平面3的傾角,再求此時滑塊受到的靜摩擦力．

按照上述分析有ab=(lcosθ,0,lsinθ),ad=(-lsin2θ,lcosθ,lsinθcosθ).

展開后有

ab×ad=l2(-sinθcosθi-sinθj+cos2θk).

此向量剛好沿平面3的法線方向,設(shè)此平面與豎直方向的夾角為φ,則

化簡為 cosφ=cos2θ.

分析后可以發(fā)現(xiàn)平面3與水平面的夾角也為φ,故滑塊所受的靜摩檫力為

代入可得

解法2:法向量旋轉(zhuǎn)法.可以通過研究旋轉(zhuǎn)兩次后木板所在平面的法向量來分析滑塊所受的摩擦力．

圖5

如圖5所示,設(shè)平面1的法向量是OP=1(單位長度),第一次將平面1轉(zhuǎn)到θ角到平面2時法向量變?yōu)镺Q,第二次將平面2轉(zhuǎn)到θ角到平面3時法向量變?yōu)镺F．OF與OP的夾角即為平面3的傾角α.由幾何關(guān)系可得

PQ=tanθ,OQ=1/cosθ,QF=OQtanθ=tanθ/cosθ.

OF=1+tan2θ.

于是

解法3:面積投影法.本問題的核心是要求轉(zhuǎn)兩次后的正方形所在的平面與水平面之間的夾角，可以用面積投影的方法來求此夾角．

設(shè)正方形邊長為l．正方形第2次繞ab向上轉(zhuǎn)θ角到平面3上時,正方形在平面2上的投影面積為S1=l2cosθ,此投影面積S1在初始平面1上的投影面積為

S=S1cosθ=l2cos2θ.

設(shè)平面3與水平面1夾角為α,應(yīng)有

S=l2cosα.

可以解得

cosα=cos2θ.

于是

解法4:轉(zhuǎn)換法.可以先不求滑塊受到的摩擦力,而是求滑塊受到的支持力．

滑塊在平面1上時,受到斜面的支持力是N1=mg,此支持力和平面1垂直．

圖6

滑塊繞ad向上轉(zhuǎn)θ角到平面2上時,滑塊受到的支持力是N2=N1cosθ,此支持力和平面2垂直．

滑塊再由平面2上繞ab向上轉(zhuǎn)θ角轉(zhuǎn)到平面3上時,滑塊受到的支持力是N3=N2cosθ．

由以上3式可以解得N3=mgcos2θ,同樣此支持力和平面3垂直．

如圖6所示,設(shè)平面3與水平面1夾角為α,分析可知，N32+Ff2=(mg)2,可以解得

解法5:等效重力法.滑塊在斜面上時,可以把重力分解為下滑力和緊壓斜面的力,緊壓斜面的力和斜面垂直,可以看成“等效重力”.

滑塊在平面2上時,受到靜摩擦力f1=mgsinθ,此摩擦力沿著ab方向．可以認為滑塊還受到一個與平面2垂直的“等效重力”G′=mgcosθ的作用,滑塊在平面2上繞ab轉(zhuǎn)θ角轉(zhuǎn)到平面3上時,這個“等效重力”產(chǎn)生的靜摩擦力f2=G′sinθ=mgcosθsinθ,此摩擦力沿著bc方向,第2次轉(zhuǎn)動對第一個摩擦力f1沒有影響,而且最后兩個分摩擦力相互垂直,于是最后的摩擦力應(yīng)為

小結(jié):做物理題目不能想當然,復(fù)雜的空間幾何問題可以用數(shù)學(xué)方法來處理,數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用例如解法1中矢量分析法和解法2中的法向量旋轉(zhuǎn)法來處理旋轉(zhuǎn)兩次后斜面的傾角問題是比較方便的,也是非常嚴謹?shù)模覀円膊荒芎鲆曃锢矸椒ǖ膽?yīng)用,例如解法4中的轉(zhuǎn)換法和解法5中的等效重力法．有時用物理方法來處理物理問題也會相當簡潔,可以大大簡化代數(shù)運算．

1 李冬冬，吳樵夫.一道靜摩擦力問題的錯解分析[J].物理教師，2013(12)：89.

2016-12-14)