一個Ramanujan Tau函數(shù)的新表達(dá)式

程開敏

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

一個Ramanujan Tau函數(shù)的新表達(dá)式

程開敏

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

通過對Ramanujan Tau函數(shù)的研究,并借助Ewell的一個關(guān)于q-級數(shù)的恒等式結(jié)果,發(fā)現(xiàn)了關(guān)于Ramanujan Tau函數(shù)的生成函數(shù)的恒等式,該恒等式中含有兩類重要的算術(shù)函數(shù),即表正整數(shù)為若干三角數(shù)的和的表法數(shù)及表正整數(shù)為若干平方數(shù)的和的表法數(shù).從而得到了一個關(guān)于Ramanujan Tau函數(shù)新的顯式表達(dá)式.最后作為結(jié)果的應(yīng)用,該文還給出了一個關(guān)于Ramanujan Tau函數(shù)新的簡潔同余恒等式.

Ramanujan Tau函數(shù);恒等式;同余式

1 引言

設(shè)q=eπiτ,其中τ∈C且Im(τ)＞0.對任意的q,z∈C,如下定義:

知道,Ramanujan Tau函數(shù)τ:N?→Z是通過如下恒等式來定義的:

Ramanujan Tau函數(shù)是一個非常重要的算術(shù)函數(shù).對τ(n)的研究一直是數(shù)論領(lǐng)域的經(jīng)典研究方向.其中有關(guān)τ(n)的顯式表達(dá)式及其同余性質(zhì)的研究就是很多數(shù)論學(xué)者的研究興趣之一.文獻(xiàn) [1]得到了 τ(n)模211,36,53,7,23的若干同余式.設(shè) n,k為正整數(shù),記因子和函數(shù)表示將n表為k個三角數(shù)的和的表法數(shù),rk(n)表示將n表為k個平方數(shù)的和的表法數(shù).則值得一提的是,文獻(xiàn)[2]給出了表達(dá)式

文獻(xiàn)[3-4]也分別得到了以下兩個恒等式

和

其中v2(n)為n的2-adic賦值,Od(n)為n的奇數(shù)部分,即Od(n)=n×2?v2(n).

在本文中,通過對Ramanujan Tau函數(shù)的研究,并借助文獻(xiàn)[5]的一個關(guān)于q-級數(shù)的恒等式結(jié)果,發(fā)現(xiàn)了關(guān)于Ramanujan Tau函數(shù)的生成函數(shù)的恒等式,該恒等式中含有兩類重要的算術(shù)函數(shù),即表正整數(shù)為若干三角數(shù)的和的表法數(shù)及表正整數(shù)為若干平方數(shù)的和的表法數(shù).從而得到了一個關(guān)于Ramanujan Tau函數(shù)新的顯式表達(dá)式.最后作為結(jié)果的應(yīng)用,我們還給出了一個關(guān)于Ramanujan Tau函數(shù)新的簡潔同余恒等式.

2 基本符號及引理

設(shè)n,k為正整數(shù),記Ak(n)和Bk(n)表示如下定義的集合:

顯然,當(dāng)n為奇數(shù)時,Ak(n)=?,當(dāng)n為偶數(shù)時,這里的tk(n)表示將n表為k個三角數(shù)的和的表法數(shù).又設(shè)

為了保證上述定義的完整性,做如下的合理約定:

下面給出由文獻(xiàn)[5]得到的一個有用結(jié)論.

引理 2.1[5]設(shè)θ∈R,q∈C且|q|＜1.則以下恒等式成立.

3 主要結(jié)果及證明

定理 3.1設(shè)n為正整數(shù),τ(n)為Ramanujan tau函數(shù).則有以下恒等式:

其中這里的ur1(n1),vr2(n2),ar3(n3)是按(5)和(7)定義的.

證明在引理2.1的(9)中取θ=0,得

則在(11)中用q替代q4,則有

又因?yàn)閷θ我獾膔∈N,都有

所以再利用(11),可得

最后比較(13)的最左邊和最右邊項(xiàng)qn的系數(shù)立即可得定理3.1的結(jié)果.

由定理3.1得到以下同余恒等式.

推論3.2設(shè)n為正整數(shù),τ(n)為Ramanujan Tau函數(shù),則對任意的n≥1都有

證明對任意的正整數(shù)n,由定理3.1并經(jīng)過計(jì)算,有

并且

則可分以下兩種情形討論.

情形1n為偶數(shù).則A4(n?1)=?,從而

情形2n為奇數(shù).則容易發(fā)現(xiàn)

另外文獻(xiàn)[6]對所有的正整數(shù)m都有t4(m)=σ(2m+1).所以在此情形下,

所以綜合以上兩種情形并結(jié)合(14)和(15)立即可得推論3.2.

[1]Berndt B C,Ken Ono.Ramanujan′s unpublished manuscript on the partition and tau functions with proofs and commentary[J].Sm.Lothar.Combin,1999,42:1-63.

[2]Apostol T M.Modular functions and dirichlet series in number theory[M].New York:Springer-Verlag,1997.

[3]Ewell J.New representations of Ramanujan′s tau function[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1999,128:723-726.

[4]Ewell J.A formulae for Ramanujan’s tau function[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1984,91:37-40.

[5]Ewell J.Consequences of a sextuple-product identity[J].Internat.J.Math.Math.Sci.,1987,10:545-549.

[6]Ewell J.Arithmetical consequences of a sextuple-product identity[J].Rocky Mountain J.of Math.,1995,1287-1293.

A new representation of the Ramanujan′s Tau function

Cheng Kaimin
(School of Mathematics and information,China West Normal University,Nanchong 637002,China)

Utilizing one result of Ewell,we investigate the Ramanujan′s tau function.We then find a new identity of the generating function for the Ramanujan′s function involving sums of square numbers and sums of triangle numbers,which deduces a new representation of the Ramanujan′s tau function.As one application of our result,a concise congruence of the Ramanujan′s tau function follows lastly.

the Ramanujan′s Tau function,identity,congruence

O156

A

1008-5513(2017)02-0129-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.003

2016-10-29.

四川省教育廳自然科學(xué)基金(15ZB0435).

程開敏(1985-),博士,講師,研究方向：數(shù)論及其應(yīng)用.

2010 MSC:11A25