一類解析函數的三階Hankel行列式上界估計

張海燕,湯獲,馬麗娜

(赤峰學院數學與統計學院,內蒙古 赤峰 024000)

一類解析函數的三階Hankel行列式上界估計

張海燕,湯獲,馬麗娜

(赤峰學院數學與統計學院,內蒙古 赤峰 024000)

主要研究了與對稱點有關的一類解析函數Ms(α,μ,A,B)的三階Hankel行列式H3(1),得到了該行列式的上界估計.

解析函數;對稱點;三階Hankel行列式;上界估計

1 引言

設S表示單位圓盤D={z∈C:|z|＜1}內單葉解析且具有如下形式的函數族

設P表示單位圓盤D={z∈C:|z|＜1}內具有如下形式且滿足條件Rep(z)＞0的函數族

由文獻[1]中的結論易知,對于函數p(z)∈P,存在Schwarz函數ω(z),使得

定義1.1[2]設函數f(z)和g(z)在單位圓盤D內解析.如果存在D內的Schwarz函數ω(z),滿足:ω(0)=0,|ω(z)|＜1且f(z)=g(ω(z)),則稱f(z)從屬于g(z),記為f(z)?g(z).特別地,如果g(z)在D內單葉,則

2013年,湯獲,鄧冠鐵在文獻[3]中引入與對稱點有關的一類解析函數,并討論了該函數類的系數估計.

定義 1.2[3]設Ms(α,μ,A,B)是具有(1.1)的形式且滿足下面條件的函數全體,

其中?1≤B＜A≤1,0≤μ≤α≤1.

由從屬的定義可知f∈Ms(α,μ,A,B)當且僅當

其中ω(z)是單葉解析函數,且滿足ω(0)=0,|ω(z)|≤1,z∈D.

1976年,Noonan和Thomas[4]定義了函數f的q階Hankel行列式：

其中a1=1,n≥1,q≥1.

特別地,有

和

因為f∈S,a1=1,故有

其中H2(1)的上界估計即是經典的Fekete-Szeg不等式[5].

近年來,越來越多的學者對Hankel行列式的研究產生了濃厚的興趣.文獻[4]研究了p葉函數的二階Hankel行列式,文獻[6]中研究了星象函數的行列式Hq(n),并確定了當n→∞時,行列式Hq(n)的增長率.文獻[7]中研究了指數多項式的Hankel行列式,文獻[8]中研究了積分序列的Hankel變換和一些性質.其他關于H2(2)的上界估計問題的研究,如文獻[9-11].但到目前為止,對于三階Hankel行列式H3(1)的研究較少(見文獻[12][13]).受以上啟發,研究與對稱點有關的一類解析函數Ms(α,μ,A,B)的三階Hankel行列式H3(1),給出了其上界估計.

2 主要結果

除非特別說明,在本文中,假設

為了證明本文結論,需要如下引理.

引理 2.1[2]如果p(z)∈P,則

引理 2.2[14]如果p(z)∈P,則存在復數x,z,滿足|x|≤1,|z|≤1,使得

引理 2.3[3]設f∈Ms(α,μ,A,B),則

借助于上面引理及下面幾個定理的結論,得到了函數Ms(α,μ,A,B)的三階Hankel行列式的估計.

定理 2.1若f∈Ms(α,μ,A,B),則有

其中

證明設f∈Ms(α,μ,A,B),由從屬定義和(1.5)式可得

其中ω(z)是單葉解析函數,且滿足ω(0)=0,|ω(z)|≤1,z∈D.設

則

且

即

定義函數p(z)如下:

則p(z)∈P且

故有

又

分別比較(1.17)式、(1.18)式中z,z2,z3的系數,得

于是,有

從而,有

其中

進而,有

下面分兩種情況進行討論:

(1)當t＞t?時,＜0,函數F(c,t)關于t嚴格單調遞減,F(c,t)在t=0取最大值,即

因為

故函數G′(c)嚴格單調遞增.由于c∈[0,2],因此G′(c)＞G′(0)=B2P?8.由于0≤P≤8,?1≤B≤1及c的任意性,可知G′(c)≥0,從而G′(c)單調遞增.從而有G′(c)≥G′(0)=0,即函數 G(c)單調遞增,因此函數 G(c)在 c=2處取到最大值.綜上可知,函數 F(c,t)在t=0,c=2處取得最大值,即

其中

定理 2.2若f∈Ms(α,μ,A,B),則有

其中

證明此定理的證明方法與定理2.1類似,在此省略其證明過程.

定理 2.3若f∈Ms(α,μ,A,B),則有

其中

證明由(1.19),(1.20),(1.21)式,可得

設|x|=t,0≤t≤1,c1=c,c∈[0,2],又因為|z|≤1,則由三角不等式和引理2.2,可得

即

其中

進而,有

下面分兩種情況進行討論:

(1)當t＞t?時,＜0,函數F(c,t)關于t嚴格單調遞減,F(c,t)在t=0取最大值,即

令

則由

可得G′(c)嚴格單調遞減.因為c∈[0,2],所以G′(c)≤G′(0)=0,進一步可得G(c)單調遞減.因此函數G(c)在c=0取最大值.綜上可知,函數F(c,t)在t=0,c=0處取得最大值,即

(2)類似地,當t＜t?時,＞0,函數F(c,t)關于t嚴格單調遞增,F(c,t)在t=1處取得最大值,G(c)在c=0處取得最大值.因此函數F(c,t)在t=1,c=0處取得最大值,即

綜上可知,定理2.3得證.

定理 2.4設f∈Ms(α,μ,A,B)則有

其中

T,P M,N分別由(1.14),(1.15),(1.27),(1.28)式給出.

證明因為

故由三角不等式可得

將(1.10),(1.11),(1.12),(1.13),(1.24),(1.25)式代入到(1.34)式,即得定理2.4的結論.

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The estimate of upper bound of third Hankel determinant for a class of analytic functions

Zhang Haiyan,Tang Huo,Ma Lina
(School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Inner Mongolia 024000,China)

In this paper,we investigate the Hankel determinant H3(1)for a class of analytic functions with respect to symmetric points,denoted by Ms(α,μ,A,B),and obtain the estimate of upper bound of the above determinant.

analytic functions,symmetric points,third Hankel determinant,upper bound

30C45,30C50

A

1008-5513(2017)02-0211-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.013

2016-11-04.

國家自然科學基金(11561001);內蒙古自治區高等學校科學研究項目(NJZY16251).

張海燕(1982-),碩士,講師,研究方向：算子代數與復分析.

2010 MSC:30C45,30C55