乘積度量空間中滿足?-型壓縮條件的四個映象的公共不動點定理

姜云,谷峰

(杭州師范大學數學系,浙江 杭州 310036)

乘積度量空間中滿足?-型壓縮條件的四個映象的公共不動點定理

姜云,谷峰

(杭州師范大學數學系,浙江 杭州 310036)

在乘積度量空間中,引入了φ-弱交換映象的概念,并使用映象對相容和φ-弱交換的條件,證明了關于四個映象的幾個新的公共不動點定理.本文結果拓展和改進了之前文獻中一些相關結果.

乘積度量空間;壓縮映象;φ-弱交換映象;相容映象;公共不動點

1 引言

自1922年Banach[1]證明了Banach壓縮原理以來,不動點問題就一直成為人們研究的熱點問題,許多作者在各種不同的空間中推廣了Banach不動點定理.2008年,Bashirov等[2]首次引入了乘積度量空間的概念,并研究了乘積微積分等問題.最近,Ozavsar和Cevikel[3]證明了乘積度量空間中壓縮映象的幾個不動點定理.Abbas等[4]在乘積度量空間中證明了一些閉球中的擬弱交換映象的公共不動點定理,同時他們也研究了乘積公共邊界值存在的充分條件.Kang等[5]在乘積度量空間中引入了相容映象的概念,證明了相容映象的幾個公共不動點定理.2013年,He等[6]在兩對映象都弱交換的條件下,證明了一個公共不動點定理.2015年, Gu和Cho[7]在乘積度量空間中研究了一類新的壓縮條件,并在比文獻[6]更弱的條件下,證明了幾個新的公共不動點定理.本文是上述工作的繼續,我們在乘積度量空間中引入了φ-弱交換映象的概念,并使用相容和φ-弱交換條件,證明了四個映象的幾個新的公共不動點定理.我們的結果,改進和發展了上述的一些已知結果.

在介紹主要結果之前,先介紹一些基本概念和已知結果.

定義 1.1[2]設X是一非空集合,稱映象d:X×X→R+是集合X上的一個乘積度量,如果以下條件被滿足:

(1)d(x,y)≥1?x,y∈X,d(x,y)=1?x=y;

(2)d(x,y)=d(y,x)?x,y∈X;

(3)d(x,y)≤d(x,z)·d(z,y)?x,y,z∈X(乘法三角不等式).

這時稱(X,d)是一個乘積度量空間.

例1.1[3]設是所有n元正實數的集合,設定義如下:

定義 1.2[3]設(X,d)是乘積度量空間,{xn}是X中的序列,x∈X.若對任意的積性開球B?(x)={y|d(x,y)＜?},?＞1,?N∈N使得n≥N時有xn∈B?(x).則稱序列{xn}積性收斂于x，記作xn→x(n→∞).

引理 1.1[3]設(X,d)是乘積度量空間,{xn}是X中的序列,x∈X.則有

定義 1.3[3]設(X,d)是乘積度量空間,{xn}是X中的序列,x∈X.若對于??＞1,都存在一個正整數N∈N使得當n,m≥N時,有d(xn,xm)＜?成立.則稱{xn}是X中的乘積Cauchy序列.

引理 1.2[3]設 (X,d)是乘積度量空間,{xn}是 X中的序列.則 {xn}是 X中的乘積Cauchy列當且僅當d(xn,xm)→1(n,m→∞).

定義 1.4[3]一個乘積度量空間 (X,d)被稱為是乘積完備的,如果 (X,d)中的每個乘積Cauchy序列都在X中乘積收斂.

定義 1.5[3]設(X,dX)和(Y,dY)是兩個乘積度量空間,f:X→Y是一個函數,x0∈X.如果對每個?＞1,存在一個δ＞1使得f(Bδ(x0))?B?(f(x0)),則稱f在x0點乘積連續.如果f在X中每一點都乘積連續,則稱f在X上乘積連續.

引理 1.3[3]設 (X,dX)和 (Y,dY)是兩個乘積度量空間,f:X→Y是一個映象, x∈X.則f在x點乘積連續當且僅當對于每個序列{xn}?X，當xn→x(n→∞)時,總有f(xn)→f(x)(n→∞).

引理 1.4[3]設(X,d)是乘積度量空間,{xn},{yn}?X,x,y∈X,且

則

定義 1.6[3]設(X,d)是一個乘積度量空間,f:X→X被稱為乘積壓縮的,若存在一個實常數λ∈(0,1],對于所有的x,y∈X 有

定義 1.7[7]設f和g是乘積度量空間(X,d)中的兩個自映象,稱映象對(f,g)是可交換的,若對任意的x∈X有

定義 1.8[7]設f和g是乘積度量空間(X,d)中的兩個自映象,稱映象對(f,g)是弱交換的,若對任意的x∈X有

下面我們推廣上述概念,我們在乘積度量空間中引入R-弱交換映象對和φ-弱交換映象對的概念如下:

定義 1.9設f和g是乘積度量空間(X,d)的兩個自映象,稱映象對(f,g)是R-弱交換的,如果存在正數R,使得?x∈X,有d(fgx,gfx)≤Rd(fx,gx).

定義 1.10設f和g是乘積度量空間(X,d)中的兩個自映象,稱映象對(f,g)是φ-弱交換的,如果存在連續函數φ:[1,∞)→[1,∞),滿足φ(1)=1,使得?x∈X有

注1.1顯然,弱交換映象必是R-弱交換映象,R-弱交換映象也必是φ-弱交換映象,但反之不真.

例1.2設X為[1,+∞),其上的乘積度量度量定義為

設fx=ax2,gx=bx2,其中a,b為正數且|b?a|＞1.設函數

則?x∈X,有

令

則有

于是h′(x)在[1,+∞)上單調遞減,從而當x=1時函數取得最大值為

這說明h(x)在[1,+∞)上單調遞減,當x=1時取得最大值為

(因為 |b?a|＞ 1).即 h(x)≤ h(1),?x∈[1,+∞),進而有從而有所以

定義 1.11[7]設f和g是乘積度量空間(X,d)的兩個自映象,如果對于任何滿足條件

的序列{xn}?X，總有=1成立,則稱映象對(f,g)是相容的.

定義 1.12[7]設f和g是乘積度量空間(X,d)的兩個自映象,(f,g)被稱為弱相容映象,如果{x∈X|fx=gx}?{x∈X|fgx=gfx}.即

注1.2[7]交換映象一定是弱交換映象,弱交換映象一定是相容映象,相容映象一定是弱相容映象,但反之不一定.

為方便起見,設Φ表示所有滿足下面條件的函數?:[1,∞)5→[0,∞)的集合:

(1)?對于每個變量是遞增的和連續的;

(2)對于t≥1,有

除非另外說明，下文中均假定?∈Φ.

2 主要結果

定理 2.1設(X,d)是一個完備的乘積度量空間,S,T,A和B是X上的四個自映象,滿足S(X)?B(X),T(X)?A(X).假定存在使得對?x,y∈X,有

如果下面任一條件被滿足,則S,T,A和B有唯一公共不動點.

(a)A或S連續,(S,A)相容且(T,B)是φ-弱交換的;

(b)B或T連續,(T,B)相容且(S,A)是φ-弱交換的.

證明任取x0∈X,因為S(X)?B(X),T(X)?A(X),所以?x1,x2∈X,使得

重復上述過程,得到X中的兩個序列{xn}和{yn},滿足

下證{yn}是X中的乘積柯西列.事實上,?n∈N,由式(1),式(2),函數?和ψ的性質,有

進而得到

進而得到

綜合式(3)和式(4),對任意的n∈N,有

因此對于所有的n,m∈N,n＜m,利用乘積三角不等式得到:

對上式取極限得d(yn,ym)→1(n,m→∞),所以{yn}是X中的乘積柯西列.由X的完備性可知,存在z∈X使得yn→z(n→∞).由于

都是{yn}的子列,故

接下來證明z是S,T,A和B的公共不動點.

首先假設條件(a)成立,這時考慮以下兩種情況:

情況1先設A連續,則由于(S,A)是相容映象,故有

令n→∞,利用式(5)以及函數?和ψ的性質,可得

因為λ＜1,所以d(Az,z)=1,即Az=z.再次應用式(1)和式(2),得,

在上式中令n→∞,并利用Az=z,式(5)以及函數?和ψ的性質,可得,

于是d(Sz,z)=1,即Sz=z.

因為z=Sz∈SX?BX,存在z?∈X,有z=Sz=Bz?,進而有z=Sz=Az=Bz?.利用式(1)以及函數?和ψ的性質,得

所以d(z,Tz?)=1,因此Tz?=z=Bz?.又因為(T,B)是φ-弱交換的,有

于是Bz=Tz.現在證明Tz=z,由式(1)以及函數?和ψ的性質,有

所以d(z,Tz)=1，即z=Tz.因此,得到了z=Sz=Az=Tz=Bz,即z是S,T,A和B的一個公共不動點.

情況2再設S是連續的,則=Sz.由(5)以及(S,A)的相容性,有

令n→∞,利用式(5)以及函數?和ψ的性質,可得

所以d(Sz,z)=1,因此Sz=z.同時又因為z=Sz∈SX?BX,存在z?∈X,有

利用式(1)以及函數?和ψ的性質,得

令n→∞,利用z=Sz=Bz?,由式(5)以及函數?和ψ的性質,可得

所以d(z,Tz?)=1,因此Tz?=z=Bz?.又因為(T,B)是φ-弱交換的,有

所以Bz=Tz.再次使用式(1)以及函數?和ψ的性質,有

令n→∞,利用Bz=Tz,由(5)以及函數?和ψ的性質,可得

所以 d(z,Tz)=1,因此 z=Tz=Bz.又因為 z=Tz∈TX ?AX,存在 z??∈X,有z=Tz=Az??.利用Tz=Bz=z,式(1)以及函數?和ψ的性質,得

所以d(Sz??,z)=1,因此Sz??=z=Az??.又因為(S,A)是相容的,所以

所以Sz=Az，因此

即z是S,T,A和B的一個公共不動點.

接下來證明S,T,A和B有惟一的公共不動點.假設ω∈X也是S,T,A和B的公共不動點,則

所以d(z,ω)=1,因此z=ω,所以z是S,T,A和B的唯一公共不動點.

類似可證,當條件(b)成立時,S,T,A和B的有唯一公共不動點.

注2.1由于φ-弱交換映象對包含R-弱交換映象對和弱交換映象對為特例,所以定理2.1本質地改進了Gu和Cho[7]的相關結果.

推論 2.1設(X,d)是一個完備的乘積度量空間,S,T,A和B是X上的四個自映象,滿足S(X)?B(X),T(X)?A(X),假定存在使得

對于?x,y∈X成立.如果下面任一條件成立,則S,T,A和B有唯一公共不動點.

(a)A或者S是連續的,(S,A)相容且(T,B)是R-弱交換的;

(b)B或者T是連續的,(T,B)相容且(S,A)是R-弱交換的.

推論 2.2設(X,d)是一個完備的乘積度量空間,S,T,A和B是X上的四個自映象,滿足S(X)?B(X),T(X)?A(X),假定存在使得

對于?x,y∈X成立.如果下面任一條件被滿足,則S,T,A和B有唯一公共不動點.

(a)A或者S是連續的,(S,A)相容且(T,B)是弱交換的;

(b)B或者T是連續的,(T,B)相容且(S,A)是弱交換的.

定理 2.2設(X,d)是一個完備的乘積度量空間,S,T,A和B是X上的四個自映象,滿足S(X)?B(X),T(X)?A(X),假定存在使得

對于所有的x,y∈X成立.如果下面任一條件被滿足,則S,T,A和B有唯一公共不動點.

(a)S,T,A和B之一是連續的;

(b)映象對(S,A)和(T,B)都是可交換映象.

證明因為S(X)?B(X),T(X)?A(X)有

因為映象對(S,A)和(T,B)都是可交換映象,所以

由注1.2可知(Sp,A)和(Tq,B)是相容的也是φ-弱交換的,因此由定理2.1知Sp,Tq,A和B有唯一公共不動點z,即Spz=Tqz=Az=Bz.下面,證明S,T,A和B有唯一公共不動點.事實上,由式(6)有

所以d(Sz,z)=1,因此Sz=z.另一方面,有

同樣d(z,Tz)=1,因此Tz=z.因此,得到Sz=Tz=Bz=Az=z,因此z是S,T,A和B的一個公共不動點.最后,證明S,T,A和B有唯一公共不動點.假定w∈X也是S,T,A和B的一個公共不動點,則有

有d(z,w)=1,因此z=w,因此z是S,T,A和B的唯一公共不動點.

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[2]Bashirov A E,Kurplnara E M,Ozyaplcl A.Multiplicative calculus and its applications[J].J.Math.Anal. Appl.,2008,337:36-48.

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[5]Kang S M,Kumar P,Kumar S,et al.Common fixed points for compatible mappings and its variants in multiplicative metric spaces[J].Int.J.Pure Appl.Math.,2015,102(2):383-406.

[6]He X,Song M,Chen D.Common fixed points for weak commutative mappings on a multiplicative metric space[J].Fixed Point Theory Appl.,2013,4:40-48.

[7]Gu F,Cho Y J.Common fixed points results for four maps satisfying ?-contractive condition in multiplicative metric spaces[J].Fixed Point Theory Appl.,2015,3:160-165.

Common fixed points theorems for four maps satisfying ?-type contractive condition in multiplicative metric spaces

Jiang Yun,Gu Feng
(Department of Mathematics,Hangzhou Normal University,Hangzhou 310036,China)

In the framework of a multiplicative metric spaces,we introduce concept of φ-weakly commuting mappings,we prove some new fixed point theorem for four mappings using compatible mappings and φ-weakly commuting mappings.The results obtained in this paper extend and improve some well-known comparable results in the literature.

multiplicative metric space,contractive mappings,φ-weakly commuting mappings, compatible mappings,common fixed point

O177

A

1008-5513(2017)02-0185-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.010

2016-12-01.

國家自然科學基金(11071169);浙江省自然科學基金(Y6110287).

姜云(1992-),碩士生,研究方向:應用非線性分析.

谷峰(1960-),教授,研究方向:應用非線性分析.

2000 MSC:47H10,54H25,55M20