擴張矩陣的一些性質

孫瑞瑞,李金霞

(新疆大學數學與系統科學學院,新疆 烏魯木齊 830046)

擴張矩陣的一些性質

孫瑞瑞,李金霞

(新疆大學數學與系統科學學院,新疆 烏魯木齊 830046)

研究了相關于擴張矩陣A的擴張球和擬范數的一些性質.首先通過具體實例及歐氏范數關于A的上下界估計指出擴張矩陣與經典球及歐氏范數匹配不佳,但歐氏范數相關于A仍能保持全局伸縮性.其次研究了相適應于擴張矩陣的擴張球和擬范數關于伸縮性、凸性、可積性、微分估計及傅里葉變換的一些性質.最后通過歐氏范數與相關于擴張矩陣的擬范數的不等式估計證明了相關于擬范數的兩類施瓦茨函數空間和相關于歐氏范數的經典施瓦茨函數空間都是等價的.

各向異性;擴張矩陣;擴張球;施瓦茨函數空間

1 引言

各向異性是自然界物體的一種常見屬性,亦稱“非均質性”,指物體的全部或部分物理、化學等性質隨方向的不同而各自表現出一定的差異的特性.如晶體的各向異性具體表現在不同方向上的彈性模量、硬度、斷裂抗力、屈服強度等都是不同的.在數學上可將各向異性通過離散伸縮群{Ak:k∈Z}來表達,其中A為特征值的模均嚴格大于1的實n×n矩陣,這樣的A被稱作是擴張矩陣.目前,有許多學者致力于研究各向異性的函數空間、小波及相關算子的有界性;參見文獻[1-5].然而,擴張矩陣A與歐氏范數和經典球匹配的不是很好.因此,Bownik在文獻[1],中引入了一類新的擴張球和擬范數來匹配這樣的離散伸縮群{Ak:k∈Z}.在本文中,研究了相關于擴張矩陣A的擴張球和擬范數的一些性質.

為了方便起見,對全文做如下約定.|·|定義為Rn上的歐氏范數.N:={0,1,2,···}.Z代表整數集.對任意的α:=(α1,···,αn)∈Nn,記|α|:=α1+···+αn.設C是與主要變量無關的常量,它在不同行會表示不同的值.我們用記號D?F來表示D≤CF.如果D?F且F?D,那么記做D～F.對任意的集合E?Rn,χE表示集合E的特征函數.

2 概念和主要結果

在數學上各向齊性的一些性質可以推廣到各向異性的情況下.例如,設

是Rn上的一個數量矩陣,φ∈L1(Rn)且滿足

對所有的k∈Z和x∈Rn,記φ2k(x):=|detD|kφ(Dkx)是φ上的一個各向齊性伸縮,則對任意的p∈[1,∞]及任意給定的 f∈Lp(Rn),對幾乎處處的x∈Rn,當 k→+∞時,有

一般情況下,設A是一個擴張矩陣,用各向異性伸縮群{Ak:k∈Z}來代替各向齊性伸縮群{Dk:k∈Z}時,(1)式仍然成立(參見文獻[1]).設λ?,λ+是滿足如下條件的兩個正數：

其中σ(A)定義為擴張矩陣A的全體特征值所組成的集合.在本文中,記b:=|detA|.若擴張矩陣A在復數域C上可對角化,則定義

注2.1(i)擴張矩陣A和范數|·|不太匹配.例如,當用各向異性的伸縮來代替各向齊性的伸縮時,范數|·|不一定具有齊次性.即:對任意的x∈Rn和k∈Z,|Dkx|n=|detD|k|x|n,但是當A不是數量矩陣時,|Akx|n=|detA|k|x|n不一定成立.

(ii)當擴張矩陣A與范數|·|或Rn中的球相作用時,它的局部伸縮性不是很好.下面,將給出兩個例子:

(a)對任意的擴張矩陣A和任意的x∈Rn,|Ax|＞|x|不一定成立.例如,取n=2, x=(1,1)且

但|Ax|＜|x|.

(b)設0n:=對任意的球

不一定成立,其中 r∈(0,+∞).例如,取B(0n,r)=B(0n,1)和

斷言B(0n,1)AB(0n,1).事實上,設x1=則x1∈B(0n,1).若存在某個B(0n,1),使得則

類似地,A?1B(0n,r)?B(0n,r)也不一定成立.

(iii)擴張矩陣A具有全局伸縮性.也就是說,對于任意的x∈Rn和j∈Z,

當j→+∞時,

當j→?∞時,

因此,Bownik[1]引進了一類新的適應于擴張矩陣A的擴張球和擬范數.對一個給定的擴張矩陣A,存在一個實數r∈(1,∞)和一個開的橢球

使得Δ?rΔ?AΔ,其中P是一個非退化的n×n矩陣.通過一個標量變更,不妨設|Δ|=1,其中|Δ|定義為Δ的n維勒貝格測度.設Bk:=AkΔ,k∈Z.那么Bk是開的,

并且|Bk|=bk.設E是Rn的任意子集,記EC:=RnE并且E+F定義為E?Rn上的代數和{x+y:x∈E,y∈F}.對任意的k,j∈Z且k≤j,以下結論成立(參見文獻[1]):

其中σ是使得2B0?AσB0=Bσ的最小正整數.

定義 2.1若ρA:Rn→[0,∞)滿足以下條件,則被稱為是伴隨于擴張矩陣A的擬范數:

(i)對任意x∈Rn{0n},有ρA(x)＞0;

(ii)對任意x∈Rn,ρA(Ax)=bρA(x),其中b:=|detA|;

(iii)對任意x,y∈Rn,ρA(x+y)≤H[ρA(x)+ρA(y)],其中H ∈[1,∞)是一個不依賴于x和y的常數.

這里,給出擬范數的一些例子:

(i)在標準情形A:=2In×n和ρA(x):=|x|n下,對所有的x∈Rn,ρA是一個相關于擴張矩陣A的擬范數的例子.

(ii)相關于擴張矩陣A的階梯擬范數ρ定義為：

由(3)式,可以得到,對所有的x,y∈Rn,

顯然,ρ是一個擬范數,并且由這個擬范數ρ衍生出的ρ-球{x∈Rn:ρ(x)＜r}是凸的(參見命題2.1(ii)).此外,由文獻[6]可知測度空間(Rn,ρ,dx)是一個齊型空間,其中dx表示n維勒貝格測度.

(iii)Bownik在文獻[3]中指出

也是一個擬范數,其中

此外,Bownik還指出由這個擬范數ρ?衍生出的ρ?-球{x∈Rn:ρ?(x)＜r}卻不一定是凸的.但此類球與A進方體集{Aj([0,1)n+k):j∈Z,k∈Zn}有很好的幾何關系,具體內容參見文獻[3].

Bownik在文獻[1]中證明了相關于一個固定的擴張矩陣的任何兩個擬范數都是等價的.為方便起見,全文將固定使用階梯擬范數ρ.

在本文中,為方便起見,定義B:={x+Bk:x∈Rn,k∈Z}.

注2.2(i)由定義2.1(ii),知道任意一個相關于擴張矩陣A的擬范數ρ都具有齊次性;

(ii)用擬范數ρ和擴張球集B來與擴張矩陣A作用時,A具有很好的伸縮性.

(a)由定義2.1(ii)和b＞1,可以得到,對于相關于A的任意擬范數ρ和x∈Rn,

這意味著相關于A的擬范數ρ比歐氏范數擴張性好;

(b)由(2)式,對任意的x0∈Rn和k∈Z,有x0+Bk?x0+ABk.

此外,對擴張矩陣A有如下的一些性質.

命題 2.1設A是一個擴張矩陣,B∈B且ρ是一個相關于A的擬范數.

(i)|AB|=b|B|.

(ii)B是凸的且對任意的x∈Bk,k∈Z,有?x∈Bk.

(iii)設?是一個局部可積函數,則對任意的擴張球x0+Bk,有

其中x0∈Rn且k∈Z.

(iv)任給?∈L1(Rn),記為?的傅里葉變換且?k(x):=bk?(Akx),其中x∈Rn,k∈Z,則對任意的ξ∈Rn,有

其中A?表示A的轉置矩陣.

(v)對任意的α∈Nn及α階可微函數?,存在正常數C對任意x∈Rn,有

(vi)對任意的ε∈(0,∞),有

證明(i)設B:=x0+Bk,其中x0∈Rn,k∈Z.由Bk=AkΔ,|x0+Bk|=|Bk|和AB=Ax0+ABk=Ax0+Bk+1,得到

(ii)要證B是凸的,只需證明,對任意的x,y∈B和θ∈(0,1),θx+(1?θ)y∈B.事實上,對x∈B:=x0+Bk,因為Bk=AkΔ,所以存在某個Δ使得x=由＜1,我們有類似地,對y∈B,存在某個Δ使得y=且因此,

即證得B是凸的.

對任意的x∈Bk,因為Bk=AkΔ,所以存在某個∈Δ使得x=則Δ,進而可得?x∈Bk.

(iii)設y=Ax,則x=A?1y,dx=b?1dy且y∈Ax0+Bk+1.因此,

(iv)對任意的?∈L1(Rn)和ξ∈Rn,

(v)詳見文獻[1].

(vi)對任意的ε∈(0,∞),

對任意的?∈C∞(Rn),α∈Nn和設

及

對相關于擬范數ρ的施瓦茨函數空間和相關于歐氏范數|·|的經典施瓦茨函數空間有以下定理.

定理 2.1S(Rn)=S?(Rn)=S??(Rn).

要證定理2.1,需要下面來自于文獻[1]中的引理.

引理 2.1對于任意的x∈Rn,存在一個正常數C使得:

定理2.1的證明由引理2.1和λ+≥λ?＞1知,對任意的α∈Nn和N,有

由上式和(4)式可得S(Rn)=S?(Rn).

此外,

注2.3Bownik在文獻[1]中也提到了類似于S(Rn)=S??(Rn)的性質,但是沒有給出證明,在定理2.1中給出了證明.

[1]Bownik M.Anisotropic Hardy spaces and wavelets[J].Mem.Amer.Math.Soc.,2003,164:781.

[2]Barrios B,Betancor J J.General characterizations of anisotropic Besov spaces[J].Publ.Math.Debrecen, 2012,80(1-2):179-198.

[3]Bownik M,Ho K P.Atomic and molecular decompositions of anisotropic Triebel-Lizorkin spaces[J].Tran. Amer.Math.Soc.,2005,358(4):1469-1510.

[4]Bownik M,Li B D,Yang D C,etal.Weighted anisotropic Hardy spaces and their applications in boundedness of sublinear operators[J].Indiana Univ.Math.J.,2008,57(7):3065-3100.

[5]Liu J,Yang D C,Yuan W.Anisotropic Hardy-Lorentz spaces and their applications[J].Sci.China Math., 2016,59(9):1669-1720.

[6]Coifman R R,Weiss G.Extensions of Hardy spaces and their use in analysis[J].Bull.Amer.Math.Soc., 1977,83(4):569-645.

Some properties of expansive matrix

Sun Ruirui,Li Jinxia
(College of Mathematics and System Science,Xinjiang University,Urumuqi830046,China)

In this paper,we study some properties of dilated balls and quasi-norms associated with expansive matrix A.Firstly,we point out that expansive matrix can not match very well with classical balls and Euclidean norm via some specific examples and the bounded estimates of Euclidean norm associated with A,but the Euclidean norm still maintains the global flexibility associated with A.Secondly,we study some properties about dilated balls and quasi-norm associated with A in terms of flexibility,convexity,integrability,differential estimate and Fourier transform.Finally,we prove that two kinds of Schwartz function spaces associated with the corresponding quasi-norms are equivalent with the classical Schwartz function space.

anisotropic,expansive matrix,dilated ball,Schwartz function space

O174.2

A

1008-5513(2017)02-0160-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.007

2016-11-11.

國家自然科學基金(11461065);新疆維吾爾自治區青年博士培養計劃(qn2015bs003).

孫瑞瑞(1989-),碩士生,研究方向:調和分析.

李金霞(1991-),碩士生,研究方向:調和分析.

2010 MSC:42B35