平衡截斷法與時間尺度法的降階效能分析

劉文東，李華濱，包為民

（1. 北京航天自動控制研究所，北京，100854；2. 北京宇航系統工程研究所，北京，100076；3. 中國航天科技集團公司，北京，100037）

平衡截斷法與時間尺度法的降階效能分析

劉文東1，李華濱2，包為民3

（1. 北京航天自動控制研究所，北京，100854；2. 北京宇航系統工程研究所，北京，100076；3. 中國航天科技集團公司，北京，100037）

為分析利用平衡截斷法截斷系統設計控制器的優勢及局限，對比分析了在對系統降階的過程中平衡截斷法和時間尺度法在降階維數的判斷、截斷狀態的選擇及截斷后降階系統頻率響應方面的區別與聯系。提出一種以降階控制器控制原系統的效果來判斷降階系統對原系統的近似方法。利用平衡截斷后系統與慢時間尺度系統分別設計降階控制器。仿真結果表明，平衡截斷法在截斷系統狀態過程中更為精細，對于加入控制后為改變其開環特性的系統，依據平衡截斷法得到的降階系統對原系統逼近效果比時間尺度法好；而對于反饋控制改變其開環特性的系統，平衡截斷法不能敏感到系統特性的改變，近似效果比時間尺度法差。

平衡截斷; 時間尺度; 降階系統; 降階控制

0 引 言

工程實踐中，為解決復雜高階系統帶來的計算困難，通常采取一系列模型簡化的方法，平衡截斷法即是一個得到廣泛認可[1～3]的經典模型降階方法。

平衡截斷法最早由Moore[4]提出，旨在通過坐標變換構造系統內部的平衡實現，進而截斷可控性、可觀性差的狀態，實現模型的降階[5]。比平衡截斷法提出稍早，Kokotovic從時間尺度的角度提出包含快慢模態系統的分解方法[6]，并從設計狀態調節器的角度分析依據慢子系統設計的控制器對原系統的控制效果[7]。可以說，平衡截斷法與時間尺度的分析方法均是一種通過設計低階/降階控制來控制高階系統的方法。從選取哪些狀態不參與降階控制器設計的角度來說，前者舍去的是Hankel奇異值小的可控可觀性差的狀態；后者舍去的是特征值大的高頻分量。區別在于平衡截斷法側重于對開環系統頻率、幅值特性的近似，而時間尺度法側重于對系統控制效果的近似。目前，尚未有文獻對這兩種選取降階系統的依據及其相應的控制效果進行對比分析。同時考慮到文獻[8]中提及的加入控制后，系統時間尺度改變導致降階系統維度變化的情況，應用平衡截斷法是否存在同樣問題也需進行研究。

本文按兩種方法分別選取了降階系統，并依此設計了控制器，對比了其降階系統的維度、包含的狀態，以及控制器控制效果，從時間尺度的角度出發，分析了平衡截斷法的優勢及局限，并對平衡截斷法的使用提出建議。

1 平衡截斷法與時間尺度法

1.1 平衡截斷法

假定系統{A,B,C,D}是穩定的。P，Q分別表示可控性Gramian矩陣和可觀性Gramian矩陣，則P，Q滿足：

依次遞減排列的稱為系統的Hankel奇異值。若存在第r個奇異值使得，那么所對應狀態的可控性和可觀性都較差，截取它們不會損失太多信息。

1.2 時間尺度分析方法

兩尺度線性定常系統

式中x1，x2維度分別為n1×1和n2×1。μ為小于1的小參數。若A22可逆，可分解為快慢兩個子系統分別求解。慢子系統為

快子系統為

由此，原系統式（3）最優控制的解可通過子系統式（4）、式（6）的解近似。

2 降階控制器性能指標計算方法

對于奇異攝動系統，存在邊界層[9]問題。然而，對于性能指標為積分型的線性二次型調節器（Linear Quadratic Regulator，LQR）問題，針對降階慢子系統設計的控制器能保證其控制性能指標與最優性能指標相差0(μ)量級[6]，意味著在該種情況下，可利用慢子系統一定程度上近似原系統。因而，提出了一種以降階控制器控制原系統得到的性能指標為依據判斷降階系統對原系統的近似程度的方法。

控制器性能指標為

對降階系統：

性能指標式（7）變為

構造哈密爾頓函數：

由極值條件：

解得：

正則方程為

假定：

式中K待定。對式（14）求導得：

聯立式（12）至式（15），對比xr項系數，得：

若Riccati方程式（16）存在半正定穩定解Kr，則降階系統的最優控制為

對于降階控制ur=?Fxr，閉環軌線為

性能指標式（7）可化為

聯立式（18）至式（20）可知：

若能保證Ar-BrF穩定，則可通過解Lyapunov方程式（21）得到正定的Pr，進而可得降階控制的性能指標Jr。

3 平衡截斷法與時間尺度法對比分析

3.1 降階維數的判斷

平衡截斷法依據Hankel奇異值的大小決定降階的維度，意味著PQ的特征值影響著降階的維度。時間尺度法降階則依據系統特征值的大小。為探明PQ特征值與系統開環、閉環特征值的關系，將原系統降至一維，則Lyapunov方程式（1）、式（2）的解為

式中a,b,c為A,B,C陣的標量形式。而此時，系統開環特征值為a。若采用LQR設計反饋，系統閉環特征值為。可粗略認為Hankel奇異值與系統開環、閉環特征值存在包含某種比例系數的倒數關系。這也與降階近似時，平衡截斷法截斷Hankel奇異值小的狀態而時間尺度法舍棄特征值大的狀態相符。

為進一步辨明Hankel奇異值與開環系統特征值及閉環系統特征值的關系，選取系統如下：

隨機生成系數矩陣B，C，仿真 100次，系統的Hankel奇異值分布如圖1所示。

由圖1中可以清晰看出盡管系統系數矩陣B，C參數發生了改變，但Hankel奇異值始終保持兩大兩小的分布。

與此同時，系數矩陣A的特征值為：-2.815±12i，-140±142.83i，與Hankel奇異值分布相符。為測試閉環系統特征值與Hankel奇異值的關系，選取性能指標取式（7），采用前文系統參數依據LQR設計反饋得到系統閉環特征值，100次仿真結果如圖2所示。

圖2中存在一條虛線界限，當閉環特征值3到達虛線左側時，可認為閉環系統特征值實部絕對值呈現三大一小的分布。由此可見在相同的系統參數情況下，Hankel奇異值與系統開環特征值分布相似，與系統閉環特征值分布存在偏差。

3.2 截斷狀態的選擇

取矩陣B=[0 0 0 10]’，C=[0 1 1 1]，觀察兩種方法舍去的狀態量的成分。

平衡實現后的系統狀態變為?=xTx，狀態?x為

對于時間尺度法[7]，滿足：

式中a，b為系數矩陣A，B中元素，Go為慢子系統對應的反饋系數us=Goxs。

把xf作為快子系統狀態量進行截斷時，截斷的快模態僅為x3，x4中快模態的一部分，未包含x3，x4快模態中與x1，x2相關的部分0(μ)項及x1，x2中的快模態0(μ)項。這說明時間尺度法截斷的狀態僅為系統快模態的一部分，保留的是系統慢模態和剩余的快模態。雖然文獻[8]證明了包含部分快模態及全部慢模態的拓展降階控制器性能優于僅包含慢模態的控制器，然而該命題的前提是系統維度已增高。若對于系統維度不變的情況下，將快慢模態復合的狀態判定為慢模態會導致判斷系統切空間膨脹壓縮方向時存在一定偏差[10]，雖然該偏差已證明為μ的同階無窮小量級[6]。

3.3 截斷后降階系統頻率響應

依據兩種方法得到的降階系統為

系統頻率響應如圖3所示。由圖3可知，平衡截斷法得到的降階系統在全頻域對原系統近似較好，但在高頻區域存在偏差；慢子系統對系統的低頻域近似較好，高頻較差；快子系統反之。通常時間尺度法利用慢子系統、快子系統分段近似原系統并在交叉段進行復合。圖3表明兩種方法均能夠對原系統的頻域做出有效的近似。

3.4 降階控制器控制效果分析

取式（7）中R=1，初值x0=[1 1 1 1]’，依據平衡截斷后系統與慢子系統分別設計降階控制器，按第2節中的方法計算控制性能，采用文獻[4]、文獻[8]中的系統模型，仿真結果如表1所示。

表1 多系統降階控制器控制性能對比（1～7）

續表1

由表1可看出在仿真1～7中，系統Hankel奇異值與閉環系統特征值均呈現兩大兩小分布，這意味著兩種方法降階后的系統均為兩維。從降階控制器控制性能的角度來說，表中采用平衡截斷法截斷系統后設計的降階控制器控制效果比依據時間尺度法設計的控制效果好，而這也與3.2節中對兩種方法截斷狀態的分析結果相符。

然而由文獻[8]知，仿真1～7中，系統的開環特性并未發生改變。對于反饋控制改變系統開環特性的系統，仿真結果如表2所示，若n階系統存在n1維慢模態和n2維快模態（n=n1+n2），則設計n1維降階控制器是合理的；若設計的降階控制器維數低于n1維，則該控制器是不合理的，因為這意味著控制器設計過程中忽略了部分不應忽略的慢變狀態，其控制效果存在較大不確定性。

對于仿真8～10，由E可知若采用LQR最優控制，則反饋控制改變了系統開環特性，對應的合理降階系統維度從原來的兩維變為三維，在令平衡截斷后的系統同樣保留三維狀態后，對比發現其控制效果與閉環時間尺度法相比較差。這是由于Hankel奇異值更接近于系統開環特征值，依據Hankel奇異值對系統的非奇異變換使得系統在選取要截斷的狀態時不能敏感到反饋控制帶來的系統特性的改變。因而該非奇異變換在選取系統主要成分過程中存在偏差，進而使得截斷后系統對原系統的近似比時間尺度法差。

表2 多系統降階控制器控制性能對比（8～10）

4 結 論

平衡截斷法作為一種廣泛使用的模型降階方法，使用時通常從頻域、時域方面檢驗其與原開環系統的逼近程度。然而對高階系統的降階目的并非只有對系統開環特性的近似，更一般的是依據降階后的系統設計相應的控制來控制原系統，因而模型降階與其說是設計一種低階系統近似原高階系統，不如說是通過以一種低階系統對應的控制近似原高階控制的控制效果。在這樣的考慮下，本文設計了以降階控制器控制效果為評判依據的平衡截斷法與時間尺度法對系統逼近效果的比較。仿真結果表明，在系統開環特性未改變的情況下，平衡截斷法由于其平衡實現導致其截斷狀態過程中更為精細，控制器效果較好；而對于反饋控制改變系統開環特性的情況，平衡截斷法不能敏感該改變，在截斷狀態時存在偏差，其控制效果比時間尺度法差。因而在使用平衡截斷法截斷系統設計控制律后，需檢驗其閉環系統特性與原開環特性相比是否發生改變。

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Performance Analysis for Balanced Truncation and Timescale Method

Liu Wen-dong1, Li Hua-bin2, Bao Wei-min3
(1. Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing, 100854; 2. Beijing Institute of Aerospace Systems Engineering, Beijing, 100076; 3. China Aerospace Science and Technology Corporation, Beijing, 100037)

To analyze the advantage and limitation of using balanced truncation method during controller designing, the comparison between balanced truncation method and timescale method is made in the decision of reducing dimension, the selection of the truncated states and the frequency response of the reduced order system. To evaluate the degree of approximation, a method using reduced controller control performance index is proposed. Two reduced order controllers are designed using the truncated system and slow timescale system, and the performances are compared. Simulation results show that the balanced truncation method is more precise in selecting the system state. For the system which has not change its open loop characteristics after adding the control, the reduced order system obtained by the balanced truncation method has better approximation than the timescale method, however, for the system has changed its characteristics with feedback control, the balanced truncation method can not be sensitive to the changes, the approximation is worse than the other method.

Balanced truncation; Timescale; Reduced-order system; Reduced-order control

O231.1

A

1004-7182(2017)02-0044-06

10.7654/j.issn.1004-7182.20170210

2016-12-15；

2017-01-16

劉文東（1987-），男，博士研究生，主要研究方向為飛行控制系統中的多尺度問題