由遞推公式求數列通項的常用方法

■鄭州市第十一中學1805班 魏晨光

數列即按照一定順序排列的一組數,其通項公式為數列{an}的第n項與序號n之間的關系式。而我們平常做題中經常會給出一個遞推公式,以此來求解數列{an}的通項公式,那么由遞推公式求數列通項的常用方法有哪些呢?

一、累加、累乘法

1.已知a1,且an-an-1=fn(),n∈N*,則用累加法求解an。

已知數列{an}滿足a1=3,anan-1=2(n-1),n∈N*,求an的通項。

解析：由累加法可知an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2[1+2+…+(n-1)]+3。

解得an=n(n-1)+3,n∈N*。

二、構造法

由an+1=kan+f(n),k≠1,派生出的幾種情況。

1.形如f(n)=d(d為常數),即an+1=ka+d。通過觀察探究,令,得a+λ=n+1k(an+λ)為一個新的數列{An},n∈N*。

且{An}是以a1+λ為首項,公比為k的公比數列,由此求出 {An}的通項,進而求出{an}的通項。

2.形如f(n)=kn+b,即an+1=kan+kn+b,求通項方法如下。

不妨設an+1+x(n+1)+y=c(an+xn+y)。

解出k,b。再代入原式得到數列{An},其首項為a1+x+y,公比為c,進而求出{an}的通項。

4.形如an+2=kan+1+dan時,如何求?

設an+2-xan+1=y(an+1-xan),則:解得,。xy

可得到一個新的等比數列{An},進而求解{an}的通項。

三、取倒數法

形如an+1=(a,b,c為常數),兩邊同時取倒數。

若a=c,則可以直接得出為等差數列,公差為。若a≠c,利用上文構造新的數列,可求解。

練一練：

1.已知數列{an}前n項和為Sn,a1=2,且Sn=+n+1,n∈N*,求解an通項。

2.已知數列{a}中,a=2,a=n∈N*,求解an通項。