邏輯用語問題中的轉化思想

■河北省保定市第一中學505班 周昭希

解數(shù)學題,歸根到底就是從已知向結論轉化的過程,善于轉化,方可順利解題。那么面對形式多樣的常用邏輯用語問題,我們該如何轉化呢?下面舉例說明。

一、利用逆否命題的等價性轉化

原命題與其逆否命題真假性一致。p?q是否成立,從正面判斷比較難,可判斷其逆否命題的真假。

若p:x+y≠5,q:x≠2或y≠3,則“p?q”是____命題。(填“真”或“假”)

解析：考慮逆否命題:﹁p:x+y=5,﹁q:x=2且y=3,顯然有﹁q?﹁p,故“p?q”是真命題。填“真”。

評注:判斷命題真假的方法有:(1)聯(lián)系已有的數(shù)學公式、定理、結論進行正面直接判斷;(2)利用原命題和其逆否命題的等價關系進行判斷。

二、利用非命題轉化

原命題與其非命題的真假性相反,而“存在性命題”的非命題是“全稱命題”。

若命題“?x0∈R+(a-1)·x0+1＜0”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是( )。

A.[-1,3]

B.(-1,3)

C.(-∞,-1]∪[3,+∞)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

解析：因為命題“?x0∈R+(a-1)·x0+1＜0”是假命題,等價于它的非命題“?x0∈R+(a-1)x0+1≥0”是真命題,所以Δ=(a-1)2-4≤0,即a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3。故選A。

評注:不管是全稱命題,還是特稱命題,若其真假不容易正面判斷時,可先判斷其否定的真假。尤其是一類根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍問題,往往將“存在性命題問題”轉化為“全稱命題問題”來求解。

三、轉化為函數(shù)問題

與全稱命題和存在性命題有關的不等式恒成立問題,一般可轉化為函數(shù)的最值問題。

?x∈[-1,2],使4x-2x+1+2-a＜0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍。

解析：利用換元法,將原問題轉化為二次函數(shù)的最值問題。

已知不等式化為:

22x-2·2x+2-a＜0。①

原命題等價于:?t∈,a＞t2-2t+2恒成立。令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,當t∈時,ymax=10,所以只需a＞10即可。

則不等式①化為:

t2-2t+2-a＜0,即a＞t2-2t+2。

所求實數(shù)a的取值范圍是(10,+∞)。

評注:從命題角度看,不等式中的“能成立”問題,就是一個存在性命題,而“恒成立”問題,則是一個全稱命題,解答這類含參數(shù)的不等式問題,一般可將參變量分離,進而轉化為求函數(shù)的最值問題。

四、轉化為不等式問題

由復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍,是一類比較常見的問題。一般可先確定構成復合命題的簡單命題的真假,求出此時簡單命題成立的參數(shù)的取值范圍,再由復合命題的構成形式,確定其成立條件,求出參數(shù)的取值范圍,而最終問題的解決離不開解不等式。

已知命題p:關于x的不等式x2+2ax+4＞0對?x∈R恒成立;命題q:函數(shù)y=-(4-2a)x是R上的減函數(shù)。若“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是____。

解析：先簡化命題p、q,構建關于a的關系式,再轉化為關于a的不等式組問題。

由x2+2ax+4＞0對?x∈R恒成立,得Δ=(2a)2-4×4＜0,解得-2＜a＜2。所以p?-2＜a＜2。

由y=-(4-2a)x是R上的減函數(shù),得4-2a＞1,解得

所以q?

由“p∨q”為真,“p∧q”為假可知p與q中必有一真一假,即p真q假或p假q真。

評注:先簡化兩個命題,并求出兩個命題為真時a的取值范圍,最后根據(jù)題中命題的關系列出不等式,從而確定出a的取值范圍,這是求解這類問題的通法。

五、轉化為集合間的關系問題

判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析:一是由p能否推得q;二是由q能否推得p。對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題,可借助集合思想把抽象、復雜問題形象化、直觀化,要注意集合間的關系。

已知集合M={x|x＜-3或x＞5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}。

(1)求實數(shù)a的取值范圍,使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的充要條件;

(2)求實數(shù)a的一個值,使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的一個充分但不必要條件。

解析：(1)由M∩P={x|5＜x≤8},得-3≤a≤5。

因此M∩P={x|5＜x≤8}的充要條件是{a|-3≤a≤5}。

(2)求實數(shù)a的一個值,使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的一個充分但不必要條件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一個值,如取a=0,此時必有M∩P={x|5＜x≤8}。反之,M∩P={x|5＜x≤8}未必有a=0,故a=0是M∩P={x|5＜x≤8}的一個充分不必要條件。

評注:本例涉及參數(shù)問題,直接解決較為困難,先用等價轉化思想,將復雜、生疏的問題轉化為簡單、熟悉的問題來解決。一般地,在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關系問題時,常常要利用集合的包含、相等關系來考慮,這是破解此類問題的關鍵。