指向深度體驗的數學教學實踐

摘 要：指向深度體驗的數學教學，是引導學生全程參與和全力體驗，用學生“看得見”“可理解”的方式組織學習活動。教師可引領學生在“慢”“長”的知識創生中，在“簡”“畫”的數學抽象中，在“錯”“悟”的反思活動中，深度體驗學習過程，積累實踐和思維經驗，逐步內化為自身的數學素養。

關鍵詞：深度體驗 知識創生 數學抽象 反思體驗

數學學習是一項充滿情感、富有思考的體驗活動，新課改以來，許多教師關注到數學學習中的體驗活動，積極開展體驗式學習。然而，一些課堂上的體驗活動存在膚淺、零散的問題。我們呼喚指向深度體驗的數學教學，引導學生全程參與和全力體驗，用學生“看得見”“可理解”的方式組織學習活動。

一、親歷“慢”“長”的知識創生

數學教學中，教師應選擇具有體驗價值的內容，將學生置于慢體驗、長思考的狀態中，經歷知識的“再創造”，深度體驗知識的動態生長過程，積淀具有創造潛質的活動經驗，從而獲得“帶得走”的能力。

【案例1】 “復式統計表”教學片段

（學生根據學校4個興趣小組的男、女生人數，填寫4張單式統計表。）

師 觀察這4張單式統計表，快速回答下面4個問題。

（出示問題：①古箏小組共有多少人？②哪個小組的男生人數最多？③女生一共有多少人？④4個小組共有多少人？學生在搶答第3、第4個問題時明顯慢了下來。）

師 如果想從表中直接看出這兩個問題的答案，該怎么辦？

生 將4張表合在一起。

師 該怎樣合呢？請同學們嘗試把4張統計表合成一張統計表。

（出示要求：①合一合。②看一看：你所合成的表還有什么地方需要改進？③改一改。）

師 對照合成后的表格（見表1），說說還有什么地方需要改進的。

生 第一欄寫了4個“人數”，重復了，只留一個就行了。

生 從表中看不出是哪個興趣小組的人數，應該在第一欄添加小組的名稱。

師 （演示）大家看，“小組名稱”和“人數”，都在一個格子里，要打架了。

生 （笑）那把“人數”移到上一格里去。

生 我覺得這一格里面還要放一個“組別”。

（學生指出性別、人數、組別欄，以及分別對應表中的哪部分內容。）

師 這一個格子里有三個欄目，怎樣規劃一下它們的位置，讓它們看起來既清楚又美觀呢？

（教師介紹表頭，師生一起規劃，完善統計表。）

師 為了看出4個小組一共有多少人，還可以添加“總計”一欄。對照表格說一說：總計可以怎樣計算？

（學生交流。）

師 現在，再來搶答剛才的兩個問題，容易了嗎？對比單式統計表和復式統計表，說說復式統計表有什么優點。

……

復式統計表的制作過程，對于學生來說是一次“有價值的創造”。案例1中，教師沒有直接將復式統計表的各部分名稱、填寫方法告知學生，“高效”完成教學任務，而是繞著彎子、兜著圈子，讓學生親歷復式統計表的創生過程。教師先創設搶答問題的情境，由于后兩題的信息無法在單式統計表中呈現，造成學生搶答受阻。“如果想從表中直接看出這兩個問題的答案，該怎么辦？”這一問激發了學生“合表”的需求，促使學生對原有的單式統計表進行加工，設計出復式統計表的雛形，進一步討論、改進這些有缺陷的復式統計表，并利用它解決剛才遇到的問題。最后，將復式統計表與單式統計表進行對比，讓學生感受復式統計表呈現的各類信息，體驗創造帶來的成就感。這樣的教學，雖然進度慢了些、時間長了些，但學生始終在思考、體驗。這一過程不僅是一種發現，更是一種“發明”，其間的各種嘗試、發現所形成的經驗，正是學生未來發展所需的關鍵能力。

二、感悟“簡”“畫”的數學抽象

“數學抽象”是一種提煉抽取數學對象的重要方法，對于培養人的抽象思維能力和理性精神具有重要意義。教學中，教師應啟發學生借助數學符號從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用符號或者數學術語進行表達，進而感悟數學符號化抽象，剔除情境中的非數學因素，發展數學思考。

【案例2】 “一一間隔的排列規律”教學片段

師 通過剛才的研究，大家已經知道課本情境圖中一一間隔排列的每種物體的數量，請同學們比一比每排兩種物體的數量，有什么發現？

（出示表2。）

生 兔子比蘑菇的數量多1。

生 木樁比籬笆的數量多1。

生 每排兩種物體的數量都相差1。

師 為什么每排兩種物體的數量都相差1呢？比一比，想一想，畫一畫，看誰能表示得更清楚。

生 我是這樣想的：一只兔子吃一個蘑菇……最后一只兔子沒有蘑菇吃了，所以兔子比蘑菇的數量多1。

師 這位同學用一只兔子對著一個蘑菇的方法讓我們清楚地看出了誰的數量多1？（生：兔子）為什么兔子的數量多1呢？

生 最后一只兔子沒有蘑菇對應了，所以兔子多1只。

生 把一個夾子和一個手帕這樣圈起來（出示畫的圖，見圖1），最后那個夾子沒有手帕和它對應了。

生 我把木樁和籬笆這樣畫出來（出示畫的圖，見圖2），發現最后一個木樁沒有籬笆和它對應了，所以木樁多1個。

師 解釋一下，你畫的是什么意思？

生 豎線表示木樁，橫線表示籬笆，最后剩一個木樁。

師 非常了不起！他能想到用符號來代替圖中的物體。那這里的豎線除了能代替木樁，還能代替情境圖中的什么物體？

生 兔子、夾子。

師 橫線呢？

生 蘑菇、手帕。

師 好，我們來替換一下。

（教師課件演示將圖中的物體抽象成符號，然后合并成圖3的過程。）

師 如果圖中兔子和蘑菇還是這樣間隔排列下去，現在有20只兔子，一共需要多少個蘑菇？如果有80只兔子呢？先想一想，然后用自己喜歡的符號再畫一畫，驗證自己的想法對不對。

（學生有的用符號全部畫完了20只兔子；有的只畫了一部分，中間用上了省略號；有的直接借助剛才畫圖的經驗，利用“一個對著一個”的想法，在頭腦中進行想象，就清楚地知道蘑菇比兔子少一個。而當兔子變成80只時，學生已經不愿意再畫圖，直接口答出來了。）

有的教師教學本課時，直接讓學生觀察誰是兩端物體，是否相同，并總結、歸納、記憶什么情況下兩種物體“相差1”、什么情況下兩種物體“一樣多”。這種教學方式不僅會給學生帶來因死記硬背而出現的“錯亂”，使問題變得更加復雜，更重要的是，錯失了體驗數學思想、提升抽象思維的機會。案例2中，教師將探索的問題簡化為兩種物體數量為什么差1，并鼓勵學生用不同的方式來展現自己的發現，“比一比，想一想，畫一畫，看誰能表示得更清楚”，為學生富有個性的符號化表達創造了條件。當一個學生用“豎線表示木樁，橫線表示籬笆”時，教師及時引導“除了能代替木樁，還能代替情境圖中的什么物體”，使學生自然地用數學符號抽象出間隔排列物體的本質特征。盡管學生的表達方式不同，但殊途同歸，使繁雜的規律變得簡單，滲透了化繁為簡的思想。隨著物體數量的增多，學生繼續用“畫”的方法進行探索和驗證，交流中發現沒有必要全部畫出，甚至還可以不畫，只需找到是誰沒有物體和它對應即可。在從“畫”到“不畫”的數學抽象中，學生初步體會到一一對應思想能幫助他們既準確又快捷地解決問題，從而深刻體悟生活中諸如一一間隔排列這一類問題的結構、內涵，其規律也自然浮出水面。經歷有痕的抽象過程，體驗無痕的數學思想，這期間學生獲得的不單單是數學結論，還有更為寶貴的研究問題的方法和實踐經驗。這種長期積淀的經驗，能更好地推動學生后續發展所必需的內在品格的形成。

三、強化“錯”“悟”的反思體驗

弗賴登塔爾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力。”在學習的過程中，犯錯是在所難免的，教師要允許學生犯錯，關鍵在于要引導學生在錯誤處進行反思，在糾錯、改錯中自然地感悟道理、領悟方法。學生只有在“悟”的過程中，才能進入認知本體，升華體驗高度，做到悟有所得。

【案例3】 “多邊形內角和”教學片段

師 四邊形的內角和是多少度呢？該怎樣研究？

生 （迫不及待）用量角器量出四個角，然后加起來不就知道了嗎？

生 對呀！

（不少學生也都跟著快速測量起來。）

師 大家測量的結果是什么？

（學生測量后發現同一個四邊形內角和卻不一樣，引發了小組討論。）

師 同學們用量的方法，求出的內角和為什么不一樣呢？

生 量的時候有誤差。

師 還有沒有更好的方法呢？

生 （展示）還可以用分的方法，連接四邊形的一條對角線，剛好將四邊形分成兩個三角形，一個三角形內角和是180°，所以四邊形內角和就是360°。

師 比較這兩種求四邊形內角和的方法，哪一種更好？

生 分三角形的方法比較好，非常簡潔清楚。

師 五邊形的內角和是多少度？請同學們拿出準備好的五邊形動手試一試。

（展示學生分法，見圖4～圖6。）

師 分三角形可是有技巧的，看看這三種分法，哪個結果是正確的？哪個錯了？問題出在哪里？

生 最后一種分法是正確的，五邊形的內角和正好等于3個三角形內角總和。

生 第一幅圖中心部分的角不能算作五邊形內角和，多算了180°；第二個多算了中間的一個周角360°。

師 你覺得怎樣分才既準確又方便呢？

生 分割線應該都在五邊形的頂點上。

生 可以從同一個頂點向其他頂點連分割線。

……

（學生繼續探索六邊形、七邊形內角和，并將研究的結果填寫在表格中。）

師 請同學們觀察表格，比較多邊形的邊數和分成的三角形個數，再聯系多邊形內角和的計算方法，你有怎樣的發現？

[小組討論后，總結得出：多邊形內角和=（邊數-2）×180°。]

師 “180°”指的是什么？“邊數-2”呢？

生 “180°”是一個三角形的內角和；“邊數-2”是三角形的個數。

師 為什么分成的三角形的個數正好是邊數減2？

生 四邊形能分2個三角形，五邊形能分成3個，每增加1條邊，分成的三角形個數也增加1，分成的三角形個數都比邊數少2。

……

師 （回顧探索過程，引導學生反思）想一想，我們是怎樣得到這個結論的？采用了哪些方法？在遇到問題時，我們又是如何解決的？還有哪些收獲？

出錯，是學生學習過程中必然的經歷。案例3中，學生正是在嘗試、出錯、反思、再嘗試、再反思這樣磕磕絆絆的探究過程中完成了研究，這是學生真實的研究狀態。測量是基本的、常用的實驗方法，學生容易想到和接受這種計算內角和的方法，因此對教師“善意的提醒”不愿理會，也不想去思考更優化的方法。而當他們發現“同一個四邊形內角和卻存在差異”時，想到測量的誤差給研究帶來了麻煩，意識到測量方法的局限性。正是這種反思，又引領學生進行深度思考，探索其他方法，從執迷不悟到恍然大悟，認識到數學的嚴謹性。當學生探索五邊形內角和出錯時，教師要求學生觀察、比較，探尋錯誤的原因，在比較反思中理解了多邊形內角和的意義，找到了既方便又快捷的分三角形的方法，在糾錯中領悟了方法的本質。學生通過觀察表格發現實驗的結論時，教師在追問中啟發他們進一步反思，從而加深對多邊形內角和與邊數之間關系的理解，領悟規律的內涵。最后，組織學生對探索的過程“回頭看”，更是經驗積淀和能力提升的必要過程。在強化反思中，學生獲得一次又一次深刻的體驗，批判思維和創新思維得到開拓，學習能力得到提高。長此以往，學生的思維會變得條理化、清晰化、精確化、概括化，思維品質也將得到大幅提升。

參考文獻：

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